洛谷 P5408 【模板】第一类斯特林数·行

传送门首先,有 \[ x^{\overline n}=\sum_k\begin{bmatrix}{n\\ k}\end{bmatrix}x^{k}\\ \] 那么我们只需要求出$x^{\overline n}$即可,考虑倍增 \[ x^{\overline 2n}=x^{\overline n}(x+n)^{\overline n} \] 假设我们现在已经求出了$x^{\overline n}$,考虑如何求出$(x+n)^{\overline n}$ 开始颓柿子 \[ \begin…

Luogu P5408 【模板】第一类斯特林数·行

为什么要做这题呢,当然是有用啊qwq 首先我们考虑非常经典的式子: \[x^{\overline{n}}=\sum_i \left[^n_i\right] x^i\] 然后上倍增: \[x^{\overline{2n}}=x^{\overline{n}}(x+n)^{\overline{n}}\] 相当于我们已经有了一个多项式$f(x)$,现在要求另一个多项式$f(x+c)$ \[f(x+c)=\sum_i f_i(x+c)^i\] \[=\sum_i x_i\sum_j f_j\tim…

洛谷P4609 [FJOI2016]建筑师【第一类斯特林数】

题目链接洛谷P4609 题解感性理解一下: 一神带$n$坑所以我们只需将除了$n$外的$n - 1$个元素分成$A + B - 2$个集合,每个集合选出最大的在一端,剩余进行排列,然后选出$A - 1$个集合放左边,剩余放右边容易发现分割集合并内部排列实质对应第一类斯特林数\[\begin{bmatrix} n - 1 \\ A + B - 2 \end{bmatrix}\] 所以答案就是 \[\begin{bmatrix} n - 1 \\ A + B - 2 \e…

洛谷P4609 [FJOI2016]建筑师（第一类斯特林数+组合数）

题面洛谷题解 (图片来源于网络,侵删) 以最高的柱子$n$为分界线,我们将左边的一个柱子和它右边的省略号看作一个圆排列,右边的一个柱子和它左边的省略号看作一个圆排列,于是,除了中间的最高的柱子,我们可以把剩下的$n-1$根柱子放入这$A+B-2$(左边$A-1$个右边$B-1$个)个圆排列中(第一类斯特林数),然后在根据组合数进行区分,有: \[ ans=s_{n-1}^{A+B-2}\times C_{A+B-2}^{A-1} \] 预处理第一类斯特林和组合数即可. #…

题解 P5320 - [BJOI2019]勘破神机（推式子+第一类斯特林数）

洛谷题面传送门神仙题(为什么就没能自己想出来呢/zk/zk) 这是我 AC 的第 $2\times 10^3$ 道题哦首先考虑 $m=2$ 的情况,我们首先可以想到一个非常 trivial 的 DP:$dp_i$ 表示填好前 $i$ 列的方案数,那么第 $i$ 列显然有横着放和竖着放两种可能,方案数分别是 $dp_{i-2}$ 和 $dp_{i-1}$,因此我们有 $dp_i=dp_{i-2}+dp_{i-1}$,边界条件 $dp_0=1$,显然这个递推式…

【CF715E】Complete the Permutations（容斥，第一类斯特林数）

[CF715E]Complete the Permutations(容斥,第一类斯特林数) 题面 CF 洛谷给定两个排列$p,q$,但是其中有些位置未知,用$0$表示. 现在让你补全两个排列,定义两个排列$p,q$之间的距离为每次选择$p$中两个元素交换,使其变成$q$的最小次数. 求距离恰好为$[0,n-1]$的填数方案数. 加强的题目在$BZOJ$上有,戳这里. 题解看到这道题目就觉得无比熟悉.回头翻了翻发现果然是省队集训的时候的题目... 果然都是原题啊..…

【CF960G】Bandit Blues（第一类斯特林数,FFT）

[CF960G]Bandit Blues(第一类斯特林数,FFT) 题面洛谷 CF 求前缀最大值有$a$个,后缀最大值有$b$个的长度为$n$的排列个数. 题解完完全全就是[FJOI]建筑师的加强版本. 显然每一个前缀最大值和一段连续的区间构成了一个环排列,显然每个前缀最大值就是这个环中的最大值.而全局最大值一定把前后缀最大值分开. 所以答案考虑除最大值外,左侧需要$a-1$个前缀最大值,右侧需要$b-1$个前缀最大值.也就是一共要$a+b-2$个环,那么这一部分的贡…

【Luogu4609】建筑师（第一类斯特林数，组合数学）

[Luogu4609]建筑师(组合数学) 题面洛谷题解首先发现整个数组一定被最高值切成左右两半,因此除去最高值之后在左右分开考虑. 考虑一个暴力$dp$ ,设$f[i][j]$表示用了$i$个数并且能够看到$j$个的方案数,强制最大值在最右侧. 每次添加最小的一个数放进来:$f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i-1][j]*(i-2)$ 如果把它放在最前面,答案加一,也就是$f[i-1][j-1]$转移过来, 否则的话,因为最大值强制放在最后面,所以还剩下…

Codeforces 715E - Complete the Permutations（第一类斯特林数）

Codeforces 题面传送门 & 洛谷题面传送门神仙题.在 AC 此题之前,此题已经在我的任务计划中躺了 5 个月的灰了. 首先考虑这个最短距离是什么东西,有点常识的人(大雾)应该知道,对于一个排列 $p$ 而言,通过交换两个元素使其变成 $1,2,3,4,\cdots,n$ 的最少步数等于 $n$ 减去该排列中置换环的个数,因此对于两个排列 $a,b$ 而言,将 $a$ 变成 $b$ 所需的最少步数即是在所有 $a_i$ 与 $b_i$ 之间连 \(a_i…

如何快速求解第一类斯特林数--nlog^2n + nlogn

目录参考资料前言暴力 nlog^2n的做法 nlogn的做法代码参考资料百度百科斯特林数学习笔记-by zhouzhendong 前言首先是因为这道题,才去研究了这个玩意:[2019雅礼集训][第一类斯特林数][NTT&多项式]permutation 感觉这个东西非常的...巧妙. 暴力第一类斯特林树S(n,k)就是将n个数字划分为k个不相区分的圆排列的方案数(即忽略顺序). 首先,第一类斯特林数有一个人尽皆知的$O(n^2)$递推式: \[S(n,k)=S(n-1,k-…

洛谷P3373 [模板]线段树 2(区间增减.乘区间求和)

To 洛谷.3373 [模板]线段树2 题目描述如题,已知一个数列,你需要进行下面两种操作: 1.将某区间每一个数加上x 2.将某区间每一个数乘上x 3.求出某区间每一个数的和输入输出格式输入格式: 第一行包含三个整数N.M.P,分别表示该数列数字的个数.操作的总个数和模数. 第二行包含N个用空格分隔的整数,其中第i个数字表示数列第i项的初始值. 接下来M行每行包含3或4个整数,表示一个操作,具体如下: 操作1: 格式:1 x y k 含义:将区间[x,y]内每个数乘上k 操作2: 格式:…

【UVA 11077】 Find the Permutations (置换+第一类斯特林数)

Find the Permutations Sorting is one of the most used operations in real life, where Computer Science comes into act. It is well-known that the lower bound of swap based sorting is nlog(n). It means that the best possible sorting algorithm will take…

CF960G(第一类斯特林数)

题目 CF960G 做法设$f(i,j)$为$i$个数的序列,有$j$个前缀最大值的方案数我们考虑每次添一个最小数,则有:$f(i,j)=f(i-1,j)+(i-1)*f(i-1,j-1)$,显然这是第一类斯特林数从而我们得到一个朴素的答案:\[Ans=\sum\limits_{i=1}^{n}f_{i,a-1}×f_{n-1-i,b-1}×C_{n-1}^i\] 理解:枚举$i+1$为最大值添的位置,则已限制了前缀最值个数及后缀最值个数,然后再乘上前半部分所填的数观…

【HDU 4372】 Count the Buildings (第一类斯特林数)

Count the Buildings Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 65536/65536 K (Java/Others)Total Submission(s): 1249 Accepted Submission(s): 408 Problem Description There are N buildings standing in a straight line in the City, numbere…

【组合数学：第一类斯特林数】【HDU3625】Examining the Rooms

Examining the Rooms Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others) Total Submission(s): 1138 Accepted Submission(s): 686 Problem Description A murder happened in the hotel. As the best detective in the town, yo…

【2019雅礼集训】【CF 960G】【第一类斯特林数】【NTT&多项式】permutation

目录题意输入格式输出格式思路代码题意找有多少个长度为n的排列,使得从左往右数,有a个元素比之前的所有数字都大,从右往左数,有b个元素比之后的所有数字都大. n<=2*10^5,a,b<=n 输入格式输入三个整数n,a,b. 输出格式输出一个整数,表示答案. 思路这道题是真的神啊... 首先,根据官方题解的思路,首先有一个n^2的DP: 定义dp[i][j]表示一个长度为i的排列,从前往后数一共有j个数字大于所有排在它前面的数字. 首先有转移式: \[dp[i][j]=dp[…

CF960G Bandit Blues 第一类斯特林数、NTT、分治/倍增

传送门弱化版:FJOI2016 建筑师由上面一题得到我们需要求的是$\begin{bmatrix} N - 1 \\ A + B - 2 \end{bmatrix} \times \binom {A+B-2} {A - 1}$ 注意到这题的复杂度瓶颈是求第一类斯特林数,因为求组合数可以$O(N)$,但是暂时我们求第一类斯特林数只有$O(N^2)$的方法考虑第一类斯特林数的转移式子:\(\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{b…

HDU3625(SummerTrainingDay05-N 第一类斯特林数)

Examining the Rooms Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)Total Submission(s): 1661 Accepted Submission(s): 1015 Problem Description A murder happened in the hotel. As the best detective in the town, yo…

CF960G Bandit Blues 【第一类斯特林数 + 分治NTT】

题目链接 CF960G 题解同FJOI2016只不过数据范围变大了考虑如何预处理第一类斯特林数性质 \[x^{\overline{n}} = \sum\limits_{i = 0}^{n}\begin{bmatrix} n \\ i \end{bmatrix}x^{i}\] 分治$NTT$即可在$O(nlog^2n)$的时间内预处理出同一个$n$的所有$\begin{bmatrix} n \\ i \end{bmatrix}$ 其实还有比较优美的倍增$fft$的\(O(…

HDU 4372 Count the Buildings——第一类斯特林数

题目大意:n幢楼,从左边能看见f幢楼,右边能看见b幢楼楼高是1~n的排列. 问楼的可能情况把握看到楼的本质! 最高的一定能看见! 计数问题要向组合数学或者dp靠拢.但是这个题询问又很多,难以dp 如果把能看见的和之后挡住的看成一组的话... 那么可以看成这样: 每一组要固定第一个,,后面可以随便动,n!/n=(n-1)! 第一类斯特林数圆排列! 可分成的组数是:S[n-1][f+b-2](扣除中间最高的) 每一个圆排列只有最大值靠前的唯一展开方式所以方案数是S[n-1][f+b-2]*C(…

CF960G Bandit Blues 分治+NTT（第一类斯特林数）

$ \color{#0066ff}{ 题目描述 }$ 给你三个正整数 $n$,$a$,$b$,定义 $A$ 为一个排列中是前缀最大值的数的个数,定义 $B$ 为一个排列中是后缀最大值的数的个数,求长度为 $n$ 的排列中满足 $A = a$ 且 $B = b$ 的排列个数.$n \le 10^5$,答案对 $998244353$ 取模. $\color{#0066ff}{输入格式}$ 三个整数n,a,b \(\color{#0066ff}{输出格式}\…

HDU 3625 第一类斯特林数

题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3625 题意: n个房间,房间里面放着钥匙,允许破门而入k个,拿到房间里面的钥匙后可以打开对应的门,但是1号门不能破门而入,求这样检查完所有房间,概率是多少? 分析: 钥匙随机放到房间,全排列有n!: n个房间,破k个门进入,就是第一类斯特林数S(n,k): 但是,第一个门不能破门而入,就是要减去S(n-1,k-1): 然后求和SUM = S(n,i) {1<=i<=k} 概率就是 SUM / N…

hdu 4372 Count the Buildings —— 思路+第一类斯特林数

题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4372 首先,最高的会被看见: 然后考虑剩下 $ x+y-2 $ 个被看见的,每个带了一群被它挡住的楼,其实方案数是圆排列,每个圆从最高的楼开始断掉都是不同的方案: 再把这 $ x+y-2 $ 个圆排列分成两组放左右两边,它们按最高楼的高度就自动有顺序了,不必再算: $ s[i][j] $ 表示第一类斯特林数,答案就是 $ s[n-1][x+y-2] * C_{x+y-2}^{x-1} $…

UVA11077 Find the Permutations —— 置换、第一类斯特林数

题目链接:https://vjudge.net/problem/UVA-11077 题意: 问n的全排列中多有少个至少需要交换k次才能变成{1,2,3……n}. 题解: 1.根据过程的互逆性,可直接求{1,2,3……n}至少需要交换多少次才能变成{a1,a2,a3……an},因此可直接把{a1,a2,a3……an}看成是{1,2,3……n}的置换.为什么呢? 答:1 2 3 2 3 1 可知把“2 3 1”看作是经过置换后的序列,则:2-->1(2放到1).3-->2(3放到2).1--&g…

hdu 3625 Examining the Rooms —— 第一类斯特林数

题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3625 学习斯特林数:https://blog.csdn.net/qq_33229466/article/details/75042895 https://www.cnblogs.com/gzy-cjoier/p/8426987.html http://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/Stirling-Number.html 关于这道题: 得到一把钥匙后,可以连续开的门与钥匙…

【HDU4372】Count the Buildings （第一类斯特林数）

Description $N$座高楼,高度均不同且为$1~N$中的数,从前向后看能看到$F$个,从后向前看能看到$B$个,问有多少种可能的排列数. $T$组询问,答案模$1000000007$.其中$n\leq 2000,T\leq 100000$ 题解: 可以考虑现将最高的拿出来,那么可以考虑左边需要有$F-1$个房子成递增关系,那么可以将左边的房子分成$F-1$个组,右边有$B-1$个房子成递减关系,也是如此. 不禁想到第一类斯特林数,$s(p,k)$是将将$p$个物体排成$k$个非空循环排…