题目链接 map: //杜教筛 #include<map> #include<cstdio> typedef long long LL; const int N=5e6; int mu[N+3],P[N+3],cnt; bool Not_P[N+3]; std::map<LL,LL> sum; //std::map<LL,LL>::iterator it; void Init() { mu[1]=1; for(int i=2;i<N;++i) { if…

1244 莫比乌斯函数之和 基准时间限制:3 秒 空间限制:131072 KB 分值: 320 难度:7级算法题 收藏 关注 莫比乌斯函数,由德国数学家和天文学家莫比乌斯提出.梅滕斯(Mertens)首先使用μ(n)(miu(n))作为莫比乌斯函数的记号.具体定义如下: 如果一个数包含平方因子,那么miu(n) = 0.例如:miu(4), miu(12), miu(18) = 0. 如果一个数不包含平方因子,并且有k个不同的质因子,那么miu(n) = (-1)^k.例如:miu(2), mi…

题目链接: 1239:http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1239 1244:http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1244 杜教筛裸题,不过现在我也只会筛这俩前缀和... $$s(n)=\sum _{i=1}^{n}f(i)$$ 那么就有: $$\sum_{i=1}^{n}f(i)\lfloor \frac{n}{i} \…

虽然都写了,过也过了,还是觉得杜教筛的复杂度好玄学 设f*g=h,∑f=S, 则∑h=∑f(i)S(n/i下取整) 把i=1时单独拿出来,得到 S(n)=(∑h-∑2->n f(i)S(n/i下取整) 右边的部分可以分块解决 递归一下,≤一个阈值的暴力表出来 注意阈值以上的也要记忆化 复杂度不会算,但从本题来看过1e10没问题 #include <bits/stdc++.h> #define MAX 5000000 using namespace std; long long a,b,N…

51nod 1244 莫比乌斯函数之和 莫比乌斯函数,由德国数学家和天文学家莫比乌斯提出.梅滕斯(Mertens)首先使用μ(n)(miu(n))作为莫比乌斯函数的记号.具体定义如下: 如果一个数包含平方因子,那么miu(n) = 0.例如:miu(4), miu(12), miu(18) = 0. 如果一个数不包含平方因子,并且有k个不同的质因子,那么miu(n) = (-1)^k.例如:miu(2), miu(3), miu(30) = -1,miu(1), miu(6), miu(10)…

[51Nod 1244] - 莫比乌斯函数之和 求∑i=1Nμ(i)\sum_{i=1}^Nμ(i)∑i=1N​μ(i) 开推 ∑d∣nμ(d)=[n==1]\sum_{d|n}\mu(d)=[n==1]d∣n∑​μ(d)=[n==1] 移项 μ(d)=[n==1]−∑d∣n,d<nμ(d)∴S(N)=∑i=1Nμ(i)=∑i=1N([i==1]−∑d∣i,d<iμ(d))=1−∑i=1N∑d∣i,d<iμ(d)\mu(d)=[n==1]-\sum_{d|n,d<n}\mu(d)\…

题目链接:51nod 1244 莫比乌斯函数之和 题解参考syh学长的博客:http://www.cnblogs.com/AOQNRMGYXLMV/p/4932537.html %%% 关于这一类求积性函数前缀和的方法,学习参考博客:http://blog.csdn.net/skywalkert/article/details/50500009  要好好看大神的博客哦orz 用筛法预处理前N^(2/3)项,后面的记忆化搜索解决. 不太会用哈希,就用map记忆化一下: #include<cstdi…

[题目链接] http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1244 [题目大意] 计算莫比乌斯函数的区段和 [题解] 利用杜教筛: 求F(n)=∑(f(i)) 存在g=f*I,定义G(n)=∑(g(i)) 就可以得到F(n)=G(n)-∑(F(n/i)) 加一些预处理我们可以做到O(n^(2/3))求解F(n) 我们知道积性函数∑(miu(d))=0(d|n),又有∑(miu(d))=1(n=1), 所以∑∑(miu…

题目描述 求∑i=1n∑j=1n(i,j) mod (1e9+7)n<=1010\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(i,j)~mod~(1e9+7)\\n<=10^{10}i=1∑n​j=1∑n​(i,j) mod (1e9+7)n<=1010 题目分析 乍一看十分像裸莫比乌斯反演,然而nnn的范围让人望而却步 于是先变化一下式子 Ans=∑i=1n∑j=1n(i,j)Ans=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(i,j)Ans=i=1∑n​j=1∑n​(i,j…

[题意]给定n,求Σφ(i),n<=10^10. [算法]杜教筛 [题解] 定义$s(n)=\sum_{i=1}^{n}\varphi(i)$ 杜教筛$\sum_{i=1}^{n}(\varphi *I)(i)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}\varphi(d)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d=1}^{\frac{n}{i}}\varphi(d)$ 根据$id=\varphi*I$,$\sum_{i=1}^{n}(\varphi*I)(i)=\frac{i(i+1)…

1239 欧拉函数之和 基准时间限制:3 秒 空间限制:131072 KB 分值: 320 难度:7级算法题 收藏 关注 对正整数n,欧拉函数是小于或等于n的数中与n互质的数的数目.此函数以其首名研究者欧拉命名,它又称为Euler's totient function.φ函数.欧拉商数等.例如:φ(8) = 4(Phi(8) = 4),因为1,3,5,7均和8互质. S(n) = Phi(1) + Phi(2) + -- Phi(n),给出n,求S(n),例如:n = 5,S(n) = 1 +…

和bzoj 3944比较像,但是时间卡的更死 设\( f(n)=\sum_{d|n}\mu(d) g(n)=\sum_{i=1}^{n}f(i) s(n)=\sum_{i=1}^{n}\mu(i) \),然后很显然对于mu\( g(n)=1\),对于\( g(n)=n*(n+1)/2 \),然后可以这样转化一下: \[ g(n)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|n}\mu(d) \] \[ =\sum_{d=1}^{n}\mu(d)\left \lfloor \frac{n}{d}…

和上一题差不多,一个是μ*I=e,一个是φ*I=Id 稍改就得到了这题的代码 (我会告诉你我一开始逆元算错了吗) #include <bits/stdc++.h> #define MAX 5000000 #define MOD 1000000007 using namespace std; long long a,b,N; ],p[MAX],ans[MAX]; ]; long long work(long long n) { if(n<=MAX) return phi[n]; if(an…

[51NOD 1847]奇怪的数学题(莫比乌斯反演,杜教筛,min_25筛,第二类斯特林数) 题面 51NOD \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nsgcd(i,j)^k\] 其中\(sgcd\)表示次大公约数. 题解 明摆着\(sgcd\)就是在\(gcd\)的基础上除掉\(gcd\)的最小因数. 所以直接枚举\(gcd\). \[\begin{aligned} ans&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n sgcd(i,j)^k\\ &=\sum_{i=1…

我也不知道什么是"莫比乌斯反演"和"杜教筛" Part0 最近一直在搞这些东西 做了将近超过20道题目吧 也算是有感而发 写点东西记录一下自己的感受 如果您真的想学会莫比乌斯反演和杜教筛,请拿出纸笔,每个式子都自己好好的推一遍,理解清楚每一步是怎么来的,并且自己好好思考. Part1莫比乌斯反演 莫比乌斯反演啥都没有,就只有两个式子(一般只用一个) 原来我已经写过一次了,再在这里写一次 就只写常用的那个吧 基本的公式 对于一个函数\(f(x)\) 设\(g(x)=\…

[BZOJ3930]选数(莫比乌斯反演,杜教筛) 题面 给定\(n,K,L,R\) 问从\(L-R\)中选出\(n\)个数,使得他们\(gcd=K\)的方案数 题解 这样想,既然\(gcd=K\),首先就把区间缩小一下 这样变成了\(gcd=1\) 设\(f(i)\)表示\(gcd\)恰好为\(i\)的方案数 那么,要求的是\(f(1)\) 设\(g(x)=\sum_{d|x}f(d)\) 所以\(g(x)\)表示\(x|gcd\)的方案数 这个不是很好求吗? 所以一波莫比乌斯反演 \[f(1)…

[BZOJ4652]循环之美(莫比乌斯反演,杜教筛) 题解 到底在求什么呢... 首先不管他\(K\)进制的问题啦,真是烦死啦 所以,相当于有一个分数\(\frac{i}{j}\) 因为值要不相等 所以有\(i \perp j\),也就是\(gcd(i,j)=1\) 现在考虑\(K\)进制 先从熟悉的\(10\)进制入手 如果一个最简分数是纯循环小数 我们知道,他的分母里面不含\(2,5\) 而且,巧极了\(10=2*5\) 于是乎,\(YY\)一下 如果\(K\)进制中一个分数是纯循环小数 那…

[Luogu3768]简单的数学题(莫比乌斯反演,杜教筛) 题面 洛谷 \[求\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nijgcd(i,j)\] $ n<=10^9$ 题解 很明显的把\(gcd\)提出来 \[\sum_{d=1}^nd\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nij[gcd(i,j)==d]\] 习惯性的提出来 \[\sum_{d=1}^nd^3\sum_{i=1}^{n/d}\sum_{j=1}^{n/d}ij[gcd(i,j)==1]\] 后面这玩意很明显的来一发…

[LOJ#572]Misaka Network 与求和(莫比乌斯反演,杜教筛,min_25筛) 题面 LOJ \[ans=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n f(gcd(i,j))^k\] 其中\(f(x)\)表示\(x\)的次大质因子. 题解 这个数据范围不是杜教筛就是\(min\_25\)筛了吧... 看到次大质因子显然要\(min\_25\)筛了吧... 莫比乌斯反演的部分比较简单,懒得写过程了. \[ans=\sum_{T=1}^n [\frac{n}{T}]^2\sum_…

1220 约数之和 题意:求\(\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \sigma_1(ij)​\) \[ \sigma_0(ij) = \sum_{x\mid i}\sum_{y\mid j}[(x,y)=1]\\ \sigma_1(ij) = \sum_{x\mid i}\sum_{y\mid j}x\cdot\frac{j}{y}[(x,y)=1] \\ \] 怎么证明第二个式子? \[ \sigma_1(n) = \prod_i(1 + p_i + p_i^2 + ...…

题解 求积性函数的前缀和?杜教筛! 这不给一发杜教筛入门必备之博客= = https://blog.csdn.net/skywalkert/article/details/50500009 好了,然后我试着在这里推导一下式子 我们利用一个卷积就是 \(\mu * I = e\) 写成熟悉的形式就是 \([n = 1] = \sum_{d | n} \mu(d)\) 哎?和杜教筛有什么关系啊 $1 = \sum_{i = 1}^{n}[i = 1] = \sum_{i = 1}^{n} \sum_…

bzoj3944 题目描述 输入 一共T+1行 第1行为数据组数T(T<=10) 第2~T+1行每行一个非负整数N,代表一组询问 输出 一共T行,每行两个用空格分隔的数ans1,ans2 样例输入 6 1 2 8 13 30 2333 样例输出 1 1 2 0 22 -2 58 -3 278 -3 1655470 2 bzoj4805 同上,不需要求mu 题解 杜教筛 公式推导: 这里有一个难点(其实也不能算难),就是由枚举d|i到枚举j≤⌊n/i⌋.此时可以看作下面语句的i是上面语句的i/d,…

传送门 思路 (以下令\(F(n)=f(n)^k\)) 首先肯定要莫比乌斯反演,那么可以推出: \[ ans=\sum_{T=1}^n \lfloor\frac n T\rfloor^2\sum_{d|T}F(d)\mu(T/d) \] 可以整除分块,但后面的东西怎么办呢? 令\(G(T)=F*\mu\),那么就有 \[ ans=\sum_{T=1}^n \lfloor\frac n T\rfloor^2G(T) \] 看到\(\mu\)函数有点烦,考虑用杜教筛的式子消去它. \[ g(1)S(…

4805: 欧拉函数求和 Time Limit: 15 Sec  Memory Limit: 256 MBSubmit: 614  Solved: 342[Submit][Status][Discuss] Description 给出一个数字N,求sigma(phi(i)),1<=i<=N Input 正整数N.N<=2*10^9 Output 输出答案.   Sample Input 10 Sample Output 32 HINT   Source By FancyCoder   直…

https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4805 给出一个数字N,求sigma(phi(i)),1<=i<=N https://blog.csdn.net/popoqqq/article/details/45023331 ←杜教筛的一些讲解 杜教筛用来求积性函数前缀和,本题同bzoj 3944,bzoj 3944多了一个求sigma( μ ( i ) ) #include<iostream> #include<cstd…

做题重心转移到 LOJ 了. 至于为什么,如果你知道“……”的密码,就去看吧. LOJ 上用户自创题大多数都不可做,今天看到个可做题(而且还是个水题),就来做了一发. 明显枚举立方根.(以下令 $m=\lfloor\sqrt[3]{n}\rfloor$) $$\sum\limits_{i=1}^m\sum\limits_{j=i^3}^{\min(n,(i+1)^3-1)}\gcd(i,j)$$ 由于 $i=m$ 比较特殊,我们把它拎出来:(其实就是把 $\min$ 拆开) $$\sum\lim…

Description 去年的Lucas非常喜欢数论题,但是一年以后的Lucas却不那么喜欢了. 在整理以前的试题时,发现了这样一道题目“求Sigma(f(i)),其中1<=i<=N”,其中 表示i的约数个数.他现在长大了,题目也变难了. 求如下表达式的值: 一行一个整数ans,表示答案模1000000007的值. Sample Input 2 Sample Output 8 HINT 对于100%的数据n <= 10^9. 题解: 解锁新技能:杜教筛. 再复习一下: 若$F(n)=\s…

[CQOI2015]选数(luogu) Description 题目描述 我们知道,从区间 [L,H](L 和 H 为整数)中选取 N 个整数,总共有 (H-L+1)^N 种方案. 小 z 很好奇这样选出的数的最大公约数的规律,他决定对每种方案选出的 N 个整数都求一次最大公约数,以便进一步研究. 然而他很快发现工作量太大了,于是向你寻求帮助.你的任务很简单,小 z 会告诉你一个整数 K, 你需要回答他最大公约数刚好为 K 的选取方案有多少个. 由于方案数较大,你只需要输出其除以 10^9+7 …

[BZOJ3944]Sum Description Input 一共T+1行 第1行为数据组数T(T<=10) 第2~T+1行每行一个非负整数N,代表一组询问 Output 一共T行,每行两个用空格分隔的数ans1,ans2 Sample Input 6 1 2 8 13 30 2333 Sample Output 1 1 2 0 22 -2 58 -3 278 -3 1655470 2 题解: 当i等于1时就是答案,剩余的部分递归算下去就行了(先预处理出1000000以内的答案,其余的答案要用…

题面 令d(n)d(n)d(n)表示nnn的约数之和求 ∑i=1n∑j=1nd(ij)\large\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nd(ij)i=1∑n​j=1∑n​d(ij) 题目分析 先给结论 d(ij)=∑x∣i∑y∣jxj/y[(x,y)==1]\large d(ij)=\sum_{x|i}\sum_{y|j}xj/y[(x,y)==1]d(ij)=x∣i∑​y∣j∑​xj/y[(x,y)==1] 可以通过 传送门 类似的证明方法证明 拖更- AC code #includ…