不要以为用上Stirling数就一定离正解更近,FFT都是从DP式本身出发的. 设f[i]为i个积木的所有方案的层数总和,g[i]为i个积木的方案数,则答案为$\frac{f[i]}{g[i]}$ 转移枚举第一层是哪些积木:$$f_n=g_n+\sum_{i=1}^{n}\binom{n}{i}f_{n-i},f_0=0$$$$g_n=\sum_{i=1}^{n}\binom{n}{i}g_{n-i},g_0=1$$ 转化成卷积形式:$$\frac{f_n}{n!}=\frac{g_n}{n!}…

第一眼生成函数.四个等比数列形式的多项式相乘,可以化成四个分式.其中分母部分是固定的,可以多项式求逆预处理出来.而分子部分由于项数很少,询问时2^4算一下贡献就好了.这个思路比较直观.只是常数巨大,以及需要敲一发类似任意模数ntt的东西来避免爆精度.成功以这种做法拿下luogu倒数rank1,至于bzoj不指望能过了. #include<iostream> #include<cstdio> #include<cmath> #include<cstdlib>…

传送门 题解 比赛的时候光顾着算某一个\(n\)的答案是多少忘了考虑不同的\(n\)之间的联系了--而且我也很想知道为什么推着推着会变成一个二项式反演-- 设\(f_n\)为\(n\)块积木时的总的层数,\(g_n\)为\(n\)块积木时总的方案数,则有\[g_n=\sum_{i=1}^n\binom{n}{i}g_{n-i}\] \[f_n=g_n+\sum_{i=1}^n\binom{n}{i}f_{n-i}\] \(g\)的话就是枚举第一层有哪几个,\(f\)的话也是枚举第一层有几个,前面…

生成函数这个东西太好用了~ code: #include <bits/stdc++.h> #define ll long long #define setIO(s) freopen(s".in","r",stdin) using namespace std; const int mod=998244353,G=3,N=1000003; int A[N],B[N],F[N],g[N],inv2,C[N],D[N],tmp1[N]; inline int q…

显然的做法是求出斯特林数,但没有什么优化空间. 考虑一种暴力dp,即设f[i]为i块积木的所有方案层数之和,g[i]为i块积木的方案数.转移时枚举第一层是哪些积木,于是有f[i]=g[i]+ΣC(i,j)·f[i-j],g[i]=ΣC(i,j)·g[i-j] (j=1~i). 考虑优化 .我们发现这个转移非常像卷积.写成卷积形式,有f[i]=g[i]+Σi!·Σf[i-j]/j!/(i-j)!,g[i]=i!·Σg[i-j]/j!/(i-j)!.直接分治NTT即可. 诶是不是强行多了个log?考…

设f[i]为i个积木能堆出来的种类,g[i]为i个积木能堆出来的种类和 \[ f[n]=\sum_{i=1}^{n}C_{n}^{i}g[n-i] \] \[ g[n]=\sum_{i=1}^{n}C_{n}^{i}f[n-i]+g[n] \] 理解就是选出包含最后一个的块,然后剩下的按照之前的拼 化简,设s为\( \frac{1}{n!} \),G为\( \frac{g[n]}{n!} \),F为\( \frac{fn]}{n!} \),把组合数拆开,变成卷积形式,然后化简就变成 \[ F=\…

传送门 调了1h竟然是因为1004535809写成了998244353 "恰好有\(K\)种颜色出现了\(S\)次"的限制似乎并不容易达到,考虑容斥计算. 令\(c_j\)表示强制\(j\)种颜色恰好出现\(S\)次,其他颜色随意染的方案数.可以通过生成函数知道 \(\begin{align*} c_j &= \binom{m}{j} n! [x^n] (\frac{x^k}{k!})^j (\sum\limits_{i=0}^\infty \frac{x^i}{i!})^{m…

题目大意 本题的满二叉树定义为:不存在只有一个儿子的节点的二叉树. 定义一棵满二叉树\(A\)包含满二叉树\(B\)当且经当\(A\)可以通过下列三种操作变成\(B\): 把一个节点的两个儿子同时删掉 把一棵子树替换成根的的左子树或右子树. 定义\(k\)连树为一棵只有恰好\(k\)个叶子的满二叉树,如果某个节点有一个右孩子,那么这个右孩子一定是一个叶子. 对于给定的\(k\)和\(n\),对于所有在\(1\)到\(n\)之间的\(i\),你需要求出所有叶子节点恰好为\(i\),且不包含\(k\…

传送门 codeforces传送门codeforces传送门codeforces传送门 生成函数好题. 卡场差评至今未过 题意简述:nnn个点的二叉树,每个点的权值KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '\inC' at position 4: v_i\̲i̲n̲C̲=\{a_1,a_2,...a-,定义一棵树的权值为所有点的权值之和,问有多少棵树满足其权值等于i(i=1,2,...,m)i(i=1,2,...,m)i(i=1,2,...,m) 对每个点的…

首先,我们构造一个函数$G(x)$,若存在$k∈C$,则$[x^k]G(x)=1$. 不妨设$F(x)$为最终答案的生成函数,则$[x^n]F(x)$即为权值为$n$的神犇二叉树个数. 不难推导出,$[x^n]F(x)=\sum_{i=0}^{n}[x^i]G(x)\sum_{j=0}^{n-i}[x^j]F(j)\times [x^{n-j-i}]F(n-j-i)$. (这个式子的意思就是说,不妨设当前根节点的权值为i,然后枚举左右两个子树的权值) 这个式子显然可以通过动规的方式去推,从而得出…