Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)Total Submission(s): 3121    Accepted Submission(s): 778 Problem Description Assume that f(0) = 1 and 0^0=1. f(n) = (n%10)^f(n/10) for all n bigger than zero. Please c…

题目大意 让你求\(2^{2^{2^{\cdots}}}(mod)P\)的值. 前置知识 知识1:无限次幂怎么解决 让我们先来看一道全国数学竞赛的一道水题: 让你求解:\(x^{x^{x^{\cdots}}}=2\)方程的解. 对于上面的无限次幂,我们可以把这个式子移上去,得到了\(x^{2}=2\). 因为指数的原因,所以我们可以直接得到了\(x=\sqrt{2}\). 以上的问题,启示我们对于这一些无限次幂可以转移来解决. 以上的东西可能用不到 知识2:欧拉定理和扩展欧拉定理 详细请出门左拐…

\(Description\) 给定p, \(Solution\) 欧拉定理:\(若(a,p)=1\),则\(a^b\equiv a^{b\%\varphi(p)}(mod\ p)\). 扩展欧拉定理:\(a^b\equiv a^{b\%\varphi(p)+\varphi(p)}(mod\ p)\) (a为任意整数,b,p为正整数,且\(b>\varphi(p)\)(a,p不一定要互质).证明. 指数是无穷的,但是模数是有限的,从不断减小p去考虑. 设\(f(p)=2^{2^{2^{...}}…

题意 https://loj.ac/problem/2142 思路 一个数如果要作为指数,那么它不能直接对模数取模,这是常识: 诸如 \(c^{c^{c^{c..}}}\) 的函数递增飞快,不是高精度可以描述的,这也是常识. 所以,此题要用到很多数论知识. 欧拉函数 定义 \(\varphi(n)\) 为 \([1,n]\) 中与 \(n\) 互质的正整数个数(包括 \(1\)). 通式 \(\displaystyle \varphi(n)=n\prod_{p|n}(1-{1\over p})\…

题意:求\(2^{2^{2^{2^{...}}}}\%p\) 题解:可以发现用扩展欧拉定理不需要很多次就能使模数变成1,后面的就不用算了 \(a^b\%c=a^{b\%\phi c} gcd(b,c)==1\) \(a^b\%c=a^{b\%\phi c+\phi c} gcd(b,c)!=1\) //#pragma GCC optimize(2) //#pragma GCC optimize(3) //#pragma GCC optimize(4) //#pragma GCC optimize…

题目链接:https://www.nowcoder.com/acm/contest/142/A 题目描述 A ternary string is a sequence of digits, where each digit is either 0, 1, or 2. Chiaki has a ternary string s which can self-reproduce. Every second, a digit 0 is inserted after every 1 in the str…

[题目]D. Power Tower [题意]给定长度为n的正整数序列和模数m,q次询问区间[l,r]累乘幂%m的答案.n,q<=10^5,m,ai<=10^9. [算法]扩展欧拉定理 [题解]扩展欧拉定理的形式: $$a^b\equiv a^{b\%\varphi(p)+\varphi(p)} \ \ mod \ \ p \ \ (b\geq \varphi(p))$$ 特别注意当b<φ(p)且(a,p)≠1时不变. 假如现在是三个累乘幂a^(b^c),那么根据扩展欧拉定理: $$a^…

题目传送门 上帝与集合的正确用法 题目描述 根据一些书上的记载,上帝的一次失败的创世经历是这样的: 第一天, 上帝创造了一个世界的基本元素,称做“元”. 第二天, 上帝创造了一个新的元素,称作“α”.“α”被定义为“元”构成的集合.容易发现,一共有两种不同的“α”. 第三天, 上帝又创造了一个新的元素,称作“β”.“β”被定义为“α”构成的集合.容易发现,一共有四种不同的“β”. 第四天, 上帝创造了新的元素“γ”,“γ”被定义为“β”的集合.显然,一共会有16种不同的“γ”. 如果按照这样下去…

4869: [Shoi2017]相逢是问候 Time Limit: 40 Sec  Memory Limit: 512 MBSubmit: 1313  Solved: 471[Submit][Status][Discuss] Description Informatikverbindetdichundmich. 信息将你我连结.B君希望以维护一个长度为n的数组,这个数组的下标为从1到n的正整数.一共有m个操作,可以 分为两种:0 l r表示将第l个到第r个数(al,al+1,...,ar)中的每…

Priests of the Quetzalcoatl cult want to build a tower to represent a power of their god. Tower is usually made of power-charged rocks. It is built with the help of rare magic by levitating the current top of tower and adding rocks at its bottom. If…

P4139 上帝与集合的正确用法 \(2^{2^{2^{\dots}}}\bmod p\) 卡最优解倒数第一祭. 带一下扩展欧拉定理就好了. code: #include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <cmath> using namespace std; const int wx=10000017; int isprime[wx],prime[wx],phi[wx]; i…

Description Informatikverbindetdichundmich. 信息将你我连结.B君希望以维护一个长度为n的数组,这个数组的下标为从1到n的正整数.一共有m个操作,可以 分为两种:0 l r表示将第l个到第r个数(al,al+1,...,ar)中的每一个数ai替换为c^ai,即c的ai次方,其中c是 输入的一个常数,也就是执行赋值ai=c^ai1 l r求第l个到第r个数的和,也就是输出:sigma(ai),l<=i<=rai因为 这个结果可能会很大,所以你只需要输出结…

题目链接 BZOJ4869 题解 这题调得我怀疑人生,,结果就是因为某些地方\(sb\)地忘了取模 前置题目:BZOJ3884 扩展欧拉定理: \[c^a \equiv c^{a \mod \varphi(p) + [a \ge p]p} \pmod p\] 我们发现当我们进行\(0\)操作,就相当于在\(a\)底部添加一层\(c\) 当我们进行得足够多的时候,\(\varphi(p)\)就会取到\(1\),从而不再变化 所以每个位置操作次数其实是有限的,为\(O(logp)\)次 为何是\(O…

Time Limit: 5 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 3860  Solved: 1751[Submit][Status][Discuss] Description   根据一些书上的记载,上帝的一次失败的创世经历是这样的: 第一天, 上帝创造了一个世界的基本元素,称做“元”. 第二天, 上帝创造了一个新的元素,称作“α”.“α”被定义为“元”构成的集合.容易发现,一共有两种不同的“α”. 第三天, 上帝又创造了一个新的元素,称作“β”.“β”被定义为“α…

链接:E.简单数据结构1 题意: 给一个长为n的序列,m次操作,每次操作: 1.区间加 2.对于区间,查询 ,一直到- 请注意每次的模数不同.   题解:扩展欧拉定理降幂 对一个数p取log(p)次的欧拉函数等于1,故可将操作2的复杂度降到log(p),可以直接求解.用树状数组的小技巧,可以在log的时间直接求出当前的a[i].具体见代码. #include <bits/stdc++.h> using namespace std; ; const int INF = 0x3f3f3f3f; ;…

题目描述 Informatik verbindet dich und mich. 信息将你我连结. B君希望以维护一个长度为n的数组,这个数组的下标为从1到n的正整数.一共有m个操作,可以分为两种:0 l r表示将第l个到第r个数(al,al+1,...,ar)中的每一个数ai替换为c^ai,即c的ai次方,其中c是输入的一个常数,也就是执行赋值ai=c^ai1 l r求第l个到第r个数的和,也就是输出:sigma(ai),l<=i<=rai因为这个结果可能会很大,所以你只需要输出结果mod…

题目描述 根据一些书上的记载,上帝的一次失败的创世经历是这样的: 第一天, 上帝创造了一个世界的基本元素,称做“元”. 第二天, 上帝创造了一个新的元素,称作“α”.“α”被定义为“元”构成的集合.容易发现,一共有两种不同的“α”. 第三天, 上帝又创造了一个新的元素,称作“β”.“β”被定义为“α”构成的集合.容易发现,一共有四种不同的“β”. 第四天, 上帝创造了新的元素“γ”,“γ”被定义为“β”的集合.显然,一共会有16种不同的“γ”. 如果按照这样下去,上帝创造的第四种元素将会有655…

扩展欧拉定理: \[ a^x \equiv a^{x\mathrm{\ mod\ }\varphi(p) + x \geq \varphi(p) ? \varphi(p) : 0}(\mathrm{\ mod\ }p)\] #include <iostream> #include <cstring> #include <cstdio> using namespace std; typedef long long ll; ll aa, cc; char bb[100000…

题目传送门 题目中的式子很符合扩展欧拉定理的样子.(如果你还不知扩展欧拉定理,戳).对于那一堆糟心的2,我们只需要递归即可,递归边界是模数为1. 另外,本题中好像必须要用快速乘的样子...否则无法通过.... $Code$ #include<cstdio> #include<algorithm> using namespace std; ; int T,p; int phi[lim]; void init_phi() { phi[]=; ;i<=lim;i++) phi[i]…

Problem Description Sample Input 2 Sample Output 2 Hint 1. For N = 2, S(1) = S(2) = 1. 2. The input file consists of multiple test cases. 解题思路:由于指数很大,要用到欧拉降幂公式,即扩展欧拉定理:$ a^n \equiv a^{n \; mod \;\varphi(p)} (mod \; p)$,其中$gcd(a, p) = 1$.题目的意思就是给出一个N,…

Code: #include<bits/stdc++.h> #define maxn 10000004 #define ll long long using namespace std; void setIO(string s) { string in=s+".in"; freopen(in.c_str(),"r",stdin); } int cnt; int phi[maxn],vis[maxn],prime[maxn]; ll qpow(ll a,l…

本蒟蒻现在才知带扩展欧拉定理. 对于任意的\(b\geq\varphi(p)\)有 \(a^b\equiv a^{b\ mod\ \varphi(p)+\varphi(p)}(mod\ p)\) 当\(b<\varphi(p)\)有 \(a^b\equiv a^{b\ mod\ \varphi(p)}(mod\ p)\) \(b\)和\(p\)可以不互质 然后这题就简单了... #include<iostream> #include<cstring> #include<…

题意 给你 $n$ 个 $w_i$ 和一个数 $p$,$q$个询问,每次询问一个区间 $[l,r] $,求 $w_l ^{w_{l+1}^{{\vdots}^{w_r}}} \ \% p$ 分析 由扩展欧拉定理: $$a^b\equiv \begin{cases} a^{b\%\phi(p)}~~~~~~~~~~~gcd(a,p)=1\\ a^b~~~~~~~~~~~~~~~~~~gcd(a,p)\neq1,b<\phi(p)\\ a^{b\%\phi(p)+\phi(p)}~~~~gcd(a,…

题目链接 https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3884 分析 扩展欧拉定理裸题 欧拉定理及证明: 如果\((a,m)=1\),则\(a^{\phi(m)} \equiv 1 \mod m\) \(Prove:\)设\(x\)取遍\(m\)的缩系,则\(ax\)取遍\(m\)的缩系,即 \[\prod x = \prod ax \mod m\] 因为这样的\(a\)有\(\phi(m)\)个 \[\prod x = \prod x *a…

分析 考虑使用欧拉函数的计算公式化简原式,因为有: \[lcm(i_1,i_2,...,i_k)=p_1^{q_{1\ max}} \times p_2^{q_{2\ max}} \times ... \times p_m^{q_{m\ max}}\] 其实就是分解质因数,丢到那个式子里: \[\varphi(lcm(i_1,i_2,...,i_k))=\prod (p_i-1)p_i^{q_{i\ max}-1}\] 容易发现可以分开讨论每个质数,计算每个\(p_i^j\)在多少种\(i_1…

(不会证明--以后再说) 费马小定理 对于任意\(a,p \in N_+\),有 \(a^{p-1} \equiv 1\pmod {p}\) 推论: \(a^{-1} \equiv a^{p-2} \pmod{p}\) 即\(a^{p-2}\)为\(a\)模\(p\)意义下的乘法逆元. 欧拉定理 对于\(a,p \in N^*\)且\(a \perp p\),有\(a^{\varphi (p)} \equiv 1 \pmod {p}\),其中\(\perp\)表示互质. 其中\(\varphi…

题意: 已知\(f(0)=1,f(n)=(n\%10)^{f(n/10)}\),求\(f(n)\mod m\) 思路: 由扩展欧拉定理可知:当\(b>=m\)时,\(a^b\equiv a^{b\%\varphi(m)+\varphi(m)}\mod m\),那么我们可以通过这个式子直接去递归求解. 在递归的时候每次给下一个的模数都是\(phi(mod)\),那么我们求出来之后,怎么知道要不要再加\(phi(m)\)? 我们可以在每次返回的时候用一个特殊的快速幂返回正确的值.然后每次特判返回值的…

题目链接 昨天考试考到了欧拉公式,结果发现自己不会,就来恶补一下. 欧拉公式 \(a^b \bmod p = a^{b}\) \(b < \varphi(p)\) \(a^b \bmod p = a^{b\bmod \varphi(p) + \varphi(p)}\) $b \geq \varphi(p) $ 具体证明的话可以看一下 扶咕咕的博客,我也是看他的博客才懂得QWQ. 在预处理的的时候,我们就可以判断一下 \(b\) 的大小,具体的话可以这么来实现 LL get(int p) { bo…

4869: [Shoi2017]相逢是问候 题意:一个序列,支持区间\(a_i \leftarrow c^{a_i}\),区间求和.在模p意义下. 类似于开根操作,每次取phi在log次后就不变了. 不互质怎么办? 我才知道, \[ n^x \equiv n^{x \mod \varphi(p)\ +\ \varphi(p)} \pmod p,\ x \ge \varphi(p) \] 不要求互质,只要求\(x \ge \varphi(p)\) 然后就很好做了...线段树维护每个点的操作次数和和…

Description   根据一些书上的记载,上帝的一次失败的创世经历是这样的: 第一天, 上帝创造了一个世界的基本元素,称做“元”. 第二天, 上帝创造了一个新的元素,称作“α”.“α”被定义为“元”构成的集合.容易发现,一共有两种不同的“α”. 第三天, 上帝又创造了一个新的元素,称作“β”.“β”被定义为“α”构成的集合.容易发现,一共有四种不同的“β”. 第四天, 上帝创造了新的元素“γ”,“γ”被定义为“β”的集合.显然,一共会有16种不同的“γ”. 如果按照这样下去,上帝创造的第四…