注意这里讲的是斯特林数而非斯特林公式. 斯特林数分两类:第一类斯特林数 和 第二类斯特林数. 分别记为. 首先描述第二类斯特林数. 描述为:将一个有n件物品的集合划分成k个非空子集的方法数. 比如集合{1,2,3,4}有以下划分: {1,2,3}U{4}   {1,2,4}U{3}   {1,3,4}U{2}   {2,3,4}U{1}  {1,2}U{3,4}   {1,3}U{2,4}  {1,4}U{2,3}. 7个这样的划分. 记为. 那么有一下第二类斯特林数交给你计算. 根据定义,易得…

整除性(divisible): 引入了代表整除性. m\n (m|n) 表示m整除n.注意这里的整除.表示的是n = km(k为整数). 在整除性这里.m必须是个正数.也许你可以描述n 是 m 的k倍.这种描述中m完全可以是任何数.而在整除性中的表达m整除n,规定了m必须是个正数.而0没有限制. 那么回答以下问题: 1:什么是0的倍数? 2:什么能被0整除? 3:什么能被-1整除? 4:什么能被1整除? 5:2Pi能被Pi整除吗? 6: 2Pi能被2整除吗? 答案分别是: 1:0 2:没有任何数…

数学杂烩总结(多项式/形式幂级数+FWT+特征多项式+生成函数+斯特林数+二次剩余+单位根反演+置换群) 因为不会做目录所以请善用ctrl+F 本来想的是笔记之类的,写着写着就变成了资源整理 一些有的没的的前置 导数 \(f'(x)=\lim\limits_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{f(x+\triangle x)-f(x)}{\triangle x}\) \(\sin x:\cos x\) \(\cos x:-\sin x\) \(\ln x:\frac{…

题意:f[i],g[i]分别表示用1*2的骨牌铺2*n和3*n网格的方案数,求ΣC(f(i),k)和ΣC(g(i),k),对998244353取模,其中l<=i<=r,1<=l<=r<=1e18 题解:显然打表发现f[i]为斐波那契数列,g[2i+1]=0,g[2i]=4g[2i-2]-g[2i-4]. 然后考虑m=2的斐波那契部分:k是给定的,仅需求斐波那契数列的下降幂,然后可以用第一类斯特林数去转换,然后求斐波那契数列的幂之和,假设斐波那契数列的两个特征根为a,b,则f(…

题目 题目里要求的是: \[\sum_{k=0}^n f(k) \times X^k \times \binom nk \] 这里面出现了给定的多项式,还有组合数,这种题目的套路就是先把给定的普通多项式转成下降幂多项式.这一步可以做到\(O(mlogm)\),(模板)但是这题不需要,这个后面再说.假设现在已经得出了f的下降幂多项式的系数\(b_i\),则: \[\begin{align} f(k)&=\sum_{i=0}^m b_ik^{\underline i}\\ ans&=\sum_…

Description “简单无向图”是指无重边.无自环的无向图(不一定连通). 一个带标号的图的价值定义为每个点度数的k次方的和. 给定n和k,请计算所有n个点的带标号的简单无向图的价值之和. 因为答案很大,请对998244353取模输出.$n \le 10^9,k \le 200000$ 化学学考时含义推式子+手动打表找规律得到了一个$O(nlogn)$的式子开心的很我以为我要AC了回来看数据范围就升天了. 问NC大神这题用到了什么:斯特林数/伯努利数.然后就自闭了学了一天的知识点还去做了点…

插板法基础知识 斯特林数见百科 #include<iostream> #include<cmath> #include<cstdio> #include<cstring> #define LL long long #define eps 1e-7 #define MOD 1000000007 using namespace std; ][]={},stir2[][]={}; int main(){ ;i<=;i++){ c[i][]=c[i][i]=;…

Machine scheduling Time Limit: 5000/2000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others) Total Submission(s): 1000    Accepted Submission(s): 363 Problem Description A Baidu's engineer needs to analyze and process large amount of data o…

Count the Buildings Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65536/65536 K (Java/Others)Total Submission(s): 1249    Accepted Submission(s): 408 Problem Description There are N buildings standing in a straight line in the City, numbere…

这道题其实就是斯特林数,找不同的集合,一共有多少中组法,递推式就是dp[n][k] = dp[n - 1][k - 1] + k * dp[n - 1][k]; 这个式子可以这么解释,dp[n][k]就是总数为n分成k个集合一共有多少种, 它就有两种情况一种是第一个自己一个集合(也就是他自己一堆), 那么这种情况下的种类就是dp[n - 1][k - 1],就是剩下的n -1 个有k -1堆, 还有一种就是先把第一个拿出来,然后将剩下的n- 1个分成k个集合, 然后再把第一个随便放入一个, 但是…

Examining the Rooms Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others) Total Submission(s): 1138    Accepted Submission(s): 686 Problem Description A murder happened in the hotel. As the best detective in the town, yo…

[BZOJ5093]图的价值(第二类斯特林数,组合数学,NTT) 题面 BZOJ 题解 单独考虑每一个点的贡献: 因为不知道它连了几条边,所以枚举一下 \[\sum_{i=0}^{n-1}C_{n-1}^i·i^k·2^{\frac{n(n-1)}{2}}\] 因为有\(n\)个点,所以还要乘以一个\(n\) 所以,我们真正要求的就是: \[\sum_{i=0}^{n-1}C_{n-1}^i·i^k\] 怎么做? 看到了\(i^k\)想到了第二类斯特林数 \[m^n=\sum_{i=0}^{m}…

[BZOJ4555]求和(第二类斯特林数,组合数学,NTT) 题面 BZOJ 题解 推推柿子 \[\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^iS(i,j)·j!·2^j\] \[=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^nS(i,j)·j!·2^j\] \[=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^nj!·2^j(\frac{1}{j!}\sum_{k=0}^j(-1)^k·C_j^k·(j-k)^i)\] \[=\sum_{j=0}^n2^j\sum_{k=0}^j(-1)^k…

[BJOI2019]勘破神机(斯特林数,数论) 题面 洛谷 题解 先考虑\(m=2\)的情况. 显然方案数就是\(f_i=f_{i-1}+f_{i-2}\),即斐波那契数,虽然这里求出来是斐波那契的第\(n+1\)项,但是本质上没什么区别,就默认是斐波那契数列了. 斐波那契数列的特征根是\(\alpha=\frac{1+\sqrt 5}{2},\beta=\frac{1-\sqrt 5}{2}\),然后大力设一下通项是\(f_n=A\alpha^n+B\beta^n\),可以解出\(f_n=\f…

目录 参考资料 前言 暴力 nlog^2n的做法 nlogn的做法 代码 参考资料 百度百科 斯特林数 学习笔记-by zhouzhendong 前言 首先是因为这道题,才去研究了这个玩意:[2019雅礼集训][第一类斯特林数][NTT&多项式]permutation 感觉这个东西非常的...巧妙. 暴力 第一类斯特林树S(n,k)就是将n个数字划分为k个不相区分的圆排列的方案数(即忽略顺序). 首先,第一类斯特林数有一个人尽皆知的\(O(n^2)\)递推式: \[S(n,k)=S(n-1,k-…

目录 题意 输入格式 输出格式 思路 代码 题意 找有多少个长度为n的排列,使得从左往右数,有a个元素比之前的所有数字都大,从右往左数,有b个元素比之后的所有数字都大. n<=2*10^5,a,b<=n 输入格式 输入三个整数n,a,b. 输出格式 输出一个整数,表示答案. 思路 这道题是真的神啊... 首先,根据官方题解的思路,首先有一个n^2的DP: 定义dp[i][j]表示一个长度为i的排列,从前往后数一共有j个数字大于所有排在它前面的数字. 首先有转移式: \[dp[i][j]=dp[…

传送门 弱化版:FJOI2016 建筑师 由上面一题得到我们需要求的是\(\begin{bmatrix} N - 1 \\ A + B - 2 \end{bmatrix} \times \binom {A+B-2} {A - 1}\) 注意到这题的复杂度瓶颈是求第一类斯特林数,因为求组合数可以\(O(N)\),但是暂时我们求第一类斯特林数只有\(O(N^2)\)的方法 考虑第一类斯特林数的转移式子:\(\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{b…

题目大意: 对1到n求题目中描述的那个式子. 题目分析: 幂不好处理,转化为斯特林数. 根据$ n^k= \sum_ { i=0 }^k S(k,i)×i!×C(n,i) $. 我们可以将问题转化为对每个u和$ j=1 \sim k $求$ \sum_ { i=1 }^n \binom{dist(u,i)}{j} $. 通过杨辉三角向子树做一遍树形DP,再向父亲做一遍树形DP即可. 代码: #include<bits/stdc++.h> using namespace std; ; int n…

题目描述 有一个\(n\)个元素的随机置换\(P\),求\(P\)分解出的轮换个数的\(m\)次方的期望\(\times n!\) \(n\leq 100000,m\leq 30\) 题解 解法一 有一种暴力的做法:设\(f_{i,j}\)为\(i\)个元素的随机置换\(P\),分解出的轮换个数的\(j\)次方的期望\(\times i!\) 考虑第\(P_i\)是什么. 如果是\(i\),那么就多了一个轮换,用二项式定理展开得到\(\sum_{k=0}^jf_{i-1,k}\binom{j}{…

CTT=清华集训 题目大意 有\(n\)个点,点权为\(a_i\),你要连接一条边,使该图变成一颗树. 对于一种连边方案\(T\),设第\(i\)个点的度数为\(d_i\),那么这棵树的价值为: \[ val(T)=(\prod_{i=1}^na_i^{d_i}d_i^m)(\sum_{i=1}^nd_i^m) \] 求所有生成树的价值和\(\bmod 998244353\) \(n\leq 30000,m\leq 30\) 题解 很容易想到prufer序列 先把式子化简: \[ \begin{…

题目描述 给你\(n,m\),求所有\(n\)个点的简单无向图中每个点度数的\(m\)次方的和. \(n\leq {10}^9,m\leq {10}^5\) 题解 \(g_n\)为\(n\)个点的无向图个数,\(f_n\)为\(n\)个点的答案. \[ \begin{align} g_n&=2^{\binom{n}{2}}\\ f_n&=ng_{n-1}\sum_{i=0}^{n-1}\binom{n-1}{i}i^m\\ &=ng_{n-1}\sum_{i=0}^{n-1}\bi…

[BZOJ5339][TJOI2018]教科书般的亵渎(斯特林数) 题面 BZOJ 洛谷 题解 显然交亵渎的次数是\(m+1\). 那么这题的本质就是让你求\(\sum_{i=1}^n i^{m+1}\),中间再减掉几项直接暴力就行了. 所以只要考虑求这个东西. 比如说斯特林数? \[m^n=\sum_{i=0}^{n}{m\choose i}i!\begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix}\] 那么 \[ \begin{aligned} \sum_{i=1}^n i^m&=…

题目描述 “简单无向图”是指无重边.无自环的无向图(不一定连通). 一个带标号的图的价值定义为每个点度数的k次方的和. 给定n和k,请计算所有n个点的带标号的简单无向图的价值之和. 因为答案很大,请对998244353取模输出. 题解 因为懒得敲公式了,所以就直接粘题解了. 我们发现在这张图中每个点都是等价的,所以我们就只需要考虑一个点的贡献,最后乘上n就可以了. . 当一个点的度数为i时,我们可以从其他n-1个点中任意挑出i个点和它连边,而其余n-1个点之间可以任意连边. 然后我们发现后面那一…

传送门:CF原网 洛谷 题意:给定 $n,k$,求 $\sum\limits^n_{i=1}\dbinom{n}{i}i^k\bmod(10^9+7)$. $1\le n\le 10^9,1\le k\le 5000$. 很水的一道题. 根据第二类斯特林数的性质: $$n^k=\sum^k_{i=1}\begin{Bmatrix}k\\i\end{Bmatrix}i!\dbinom{n}{i}$$ 那么直接套进去: $$\sum\limits^n_{i=1}\dbinom{n}{i}\sum^k…

https://vjudge.net/problem/HDU-4625 题意 给出一颗树,边权为1,对于每个结点u,求sigma(dist(u,v)^k). 分析 贴个官方题解 n^k并不好转移,于是用第二类斯特林数转化一下,这样可以预处理第二类斯特林数,而sigma(C(dist(u,v),i))则利用C(n,x)=C(n-1,x)+C(n-1,x-1)来进行树DP转移得到. 设dp[u][k]=sigma(C(dist(u,v),k)),则dp[u][k]=dp[v][k]+dp[v][k-…

传送门并没有 思路 见到那么小的\(k\)次方,又一次想到斯特林数. \[ ans=\sum_{T} f(T)^k = \sum_{i=0}^k i!S(k,i)\sum_{T} {f(T)\choose i} \] 很套路地,考虑后面那个式子的组合意义:对于每一个点集的导出子图,选出\(i\)条边的方案数. 很套路地,我们想到树形DP. 设\(dp_{x,s,0/1}\)表示\(x\)子树内的所有非空点集的导出子图里选出\(s\)条边,点集里有/没有\(x\),的方案数. 每次加上一棵子树,就…

传送门 思路 又见到这个\(k\)次方啦!按照套路,我们将它搞成斯特林数: \[ ans_x=\sum_{i=0}^k i!S(k,i)\sum_y {dis(x,y) \choose i} \] 前面可以枚举,考虑后面那东西怎么求. 我们不知道为什么但就是考虑DP:设: \[ dn_{x,t}=\sum_{y\in x} {dis(x,y) \choose t}\\ up_{x,t}=\sum_{y\notin x} {dis(x,y) \choose t} \] 其中\(y\in x\)表示…

洛谷 Codeforces 这题真是妙的很. 通过看题解,终于知道了\(\sum_n f(n)^k​\)这种东西怎么算. update:经过思考,我对这题有了更深的理解,现将更新内容放在原题解下方. 思路 发现\(\sum_S (f(S))^k\)这东西因为有个\(k\)次方,所以特别难算,考虑拆开: \[ x^k=\sum_{i=0}^k {x \choose i} \times i! \times S(k,i) \] 其中\(S(n,m)\)是第二类斯特林数,即\(n\)个元素放进\(m​\…

BZOJ 洛谷 挺套路但并不难的一道题 \(Description\) 给定一棵\(n\)个点的树和\(K\),边权为\(1\).对于每个点\(x\),求\(S(x)=\sum_{i=1}^ndis(x,i)^K\). \(n\leq50000,\ k\leq150\). \(Solution\) 和其它求\(x^k\)的题一样,依旧用第二类斯特林数展开.(二项式定理依旧可以得到部分分,依旧不想看=-=) \[\begin{aligned}S(x)&=\sum_{i=1}^ndis(x,i)^K…

题目链接 对于单独一个点,我们枚举它的度数(有多少条边)来计算它的贡献:\[\sum_{i=0}^{n-1}i^kC_{n-1}^i2^{\frac{(n-2)(n-1)}{2}}\] 每个点是一样的,所以\[Ans=n\cdot 2^{\frac{(n-2)(n-1)}{2}}\sum_{i=0}^{n-1}C_{n-1}^ii^k\] 考虑如何计算\(\sum_{i=0}^{n-1}C_{n-1}^ii^k\). 然后...dalao看到\(i^k\)就想起了第二类斯特林数: \(S(n,m…