题面传送门 一道多项式的 hot tea 首先考虑将题目的限制翻译成人话,我们记 \(c_i\) 为 \(i\) 的出现次数,那么题目的限制等价于 \(\sum\limits_{i=1}^D\lfloor\dfrac{c_i}{2}\rfloor\le m\).不难发现这里涉及下取整,稍微有些棘手,因此考虑将这个下取整去掉,显然 \(\lfloor\dfrac{c_i}{2}\rfloor=\dfrac{c_i-c_i\bmod 2}{2}\),故原式可化为 \(\sum\limits_{i=1…

洛谷题面传送门 二项式反演好题. 首先看到"恰好 \(k\) 个极大值点",我们可以套路地想到二项式反演,具体来说我们记 \(f_i\) 为钦定 \(i\) 个点为极大值点的方案数,那么 \[ans=\dfrac{1}{(nml)!}\sum\limits_{i=k}^{\min(n,m,l)}f_i(-1)^{i-k}\dbinom{i}{k} \] 考虑怎么求 \(f_i\),首先我们肯定要选出 \(i\) 个极大的位置.我们假设 \(g_i\) 为选出 \(i\) 个极大的位置的…

题目传送门:LOJ #3120. 题意简述: 称一个长度为 \(n\),元素取值为 \([1,D]\) 的整数序列是合法的,当且仅当其中能够选出至少 \(m\) 对相同元素(不能重复选出元素). 问合法序列个数. 题解: 设颜色为 \(c\) 的珍珠的个数为 \(\mathrm{cnt}_c\),则一个方案合法当且仅当: \[\begin{aligned}\sum_{c=1}^{D}\left\lfloor\frac{\mathrm{cnt}_c}{2}\right\rfloor&\ge m\\…

洛谷题面传送门 一道究极恶心的毒瘤六合一题,式子推了我满满两面 A4 纸-- 首先我们可以将式子拆成: \[ans=\prod\limits_{i=1}^A\prod\limits_{j=1}^B\prod\limits_{k=1}^C(\dfrac{ij}{\gcd(i,j)\gcd(i,j)})^{f(type)} \] 也就是说我们需要算出以下四项式子的值: \[\prod\limits_{i=1}^A\prod\limits_{j=1}^B\prod\limits_{k=1}^Ci^{f…

蒟蒻语 这题太玄学了,蒟蒻写篇题解来让之后复习 = = 蒟蒻解 假设第 \(i\) 个颜色有 \(cnt_i\) 个珍珠. \(\sum\limits_{i=1}^{n} \left\lfloor\frac{cnt_i}{2}\right\rfloor \ge m\) \(\sum\limits_{i=1}^{n} cnt_i - cnt_i \mod 2 \ge 2m\) \(n - \sum\limits_{i=1}^{n} cnt_i \mod 2 \ge 2m\) \(\sum\limi…

原题链接 差不多算自己推出来的第一道题QwQ 题目大意 \(T\)组询问,每次问你\(1\leqslant x\leqslant N\),\(1\leqslant y\leqslant M\)中有多少\((x,y)\)满足\(gcd(x,y)\in \mathbb{P}\) 数据范围 \(T=10000\),\(1\leqslant N,M\leqslant 10000000\) 显然,暴力不可做. 这种公约数计数的题貌似大多都是用莫比乌斯反演做的?套路啊,套路. 首先,我们先很套路地设一个函数…

公约数的和 传送门 分析 这道题很显然答案为 \[Ans=\sum_{i=1}^n\sum_{j=i+1}^n (i,j)\] //其中\((i,j)\)意味\(gcd(i,j)\) 这样做起来很烦,看起来是\(O(N^2)\)的辣鸡复杂度,我们考虑这个问题的弱化版 求\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(i,j)\] 然后通过一些优美的容斥就可以算出原答案 现在我们设\[f(d)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n[(i,j)=d]\] 这个式子表示,在\(i=1…

https://www.luogu.org/problemnew/show/P4449 \(F(n)=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{i=1}^{m} gcd(i,j)^k\) 首先加方括号,枚举g,提g:(\(min\)表示\(min(n,m)\)) \(\sum\limits_{g=1}^{min} g^k \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{i=1}^{m} [gcd(i,j)==g]\) \(\sum\limits_{…

易得 $\sum\limits_{g=1}^{n} g \sum\limits_{k=1}^{n} \mu(k) \lfloor\frac{n}{gk}\rfloor \lfloor\frac{n}{gk}\rfloor $ 记 \(T=gk\) 枚举 \(T\) ,注意这里既然满足 \(T=gk\) 要保证两个乘起来确实是 \(T\) ,选择把 \(k\) 换成 $\frac{T}{g} $ . $\sum\limits_{T=1}^{n} \lfloor\frac{n}{T}\rfloor…

https://www.luogu.org/problemnew/show/P1390 求 $\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m} gcd(i,j) $ 不会,看题解: 类似求gcd为p的求法: $ f(n) = \sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m} gcd(i,j) =\sum\limits_{i=1}^{N} d \sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}…