「算法笔记」Splay

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「算法笔记」Splay

一.简介 Splay(伸展树)是平衡树中的一种.它通过不断将某个节点旋转到根节点的位置,使整棵树仍满足 BST 的性质,并且保持平衡而不至于退化为链. 频繁访问的节点会被移动到离根节点较近的位置,进而获得更快的访问速度. 可以通过均摊复杂度证明,\(n\) 个点,进行 \(m\) 次 Splay 操作,最终的时间复杂度是 \(\mathcal{O}((n+m)\log n)\).证明. 二.基本操作一些维护的信息: \(rt\) \(tot\) \(fa(x)\) \(lc(x)\) \(rc…

「算法笔记」快速数论变换（NTT）

一.简介前置知识:多项式乘法与 FFT. FFT 涉及大量 double 类型数据操作和 \(\sin,\cos\) 运算,会产生误差.快速数论变换(Number Theoretic Transform,简称 NTT)在 FFT 的基础上,优化了常数及误差. NTT 其实就是把 FFT 中的单位根换成了原根. NTT 解决的是多项式乘法带模数的情况,可以说有些受模数的限制,多项式系数应为整数. 二.原根与 NTT 「算法笔记」基础数论 2 中提及了原根的部分内容. 对于质数 \(p\),若…

「算法笔记」树形 DP

一.树形 DP 基础又是一篇鸽了好久的文章--以下面这道题为例,介绍一下树形 DP 的一般过程. POJ 2342 Anniversary party 题目大意:有一家公司要举行一个聚会,一共有 \(n\) 个员工,其中上下级的关系通过树形给出.每个人都不想与自己的直接上级同时参加聚会.每个员工都有一个欢乐度,举办聚会的你需要确定邀请的员工集合,使得它们的欢乐度之和最大,并且没有一个受邀的员工需要与他的直接上级共同参加聚会.\(n\leq 6000\). Solution: 考虑一个子树往上转…

「算法笔记」2-SAT 问题

一.定义 k-SAT(Satisfiability)问题的形式如下: 有 \(n\) 个 01 变量 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\),另有 \(m\) 个变量取值需要满足的限制. 每个限制是一个 \(k\) 元组 \((x_{p_1},x_{p_2},\cdots,x_{p_k})\),满足 \(x_{p_1}\oplus x_{p_2}\oplus\cdots\oplus x_{p_k}=a\).其中 \(a\) 为 \(0\) 或 \(1\),\(\oplus\) 是某种二元…

「算法笔记」Polya 定理

一.前置概念接下来的这些定义摘自置换群 - OI Wiki. 1. 群若集合 \(s\neq \varnothing\) 和 \(S\) 上的运算 \(\cdot\) 构成的代数结构 \((S,\cdot)\) 满足一下性质: 封闭性:\(\forall a,b\in S,a\cdot b\in S\). 结合律:\(\forall a,b,c\in S,(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)\). 单位元:\(\exists e\in S,\forall…

「算法笔记」Link-Cut Tree

一.简介 Link-Cut Tree (简称 LCT) 是一种用来维护动态森林连通性的数据结构,适用于动态树问题. 类比树剖,树剖是通过静态地把一棵树剖成若干条链然后用一种支持区间操作的数据结构维护,而 LCT 则是动态地去处理这个问题.这里引入实链剖分. 实链剖分: 与重链剖分类似,同样将与某一个儿子的连边划分为实边,其余儿子的连边为虚边. 对于一个点连向它儿子的所有边,选择⼀条边为实边,其他边为虚边.虚实之间是可以进行转换的.对于⼀条由实边组成的链,我们称之为实链. 每个节点能且仅…

「算法笔记」状压 DP

一.关于状压 dp 为了规避不确定性,我们将需要枚举的东西放入状态.当不确定性太多的时候,我们就需要将它们压进较少的维数内. 常见的状态: 天生二进制(开关.选与不选.是否出现--) 爆搜出状态,给它们编号 1. 状态跟某一个信息集合内的每一条都有关.(如 dp 套 dp) 2. 若干条精简而相互独立的信息压在一起处理. (如每个数字是否出现) 在使用状压 dp 的题目当中,往往能一眼看到一些小数据范围的量,切人点明确.而有些题,这样的量并不明显,需要更深人地分析题目性质才能找到. 二.预备知识…