问题描述 洲阁筛解决的问题主要是\(n\)范围较大的积性函数前缀和. ​ 已知一积性函数\(f(i)\),求\(\sum_{i=1}^nf(i)\). \(n\leq10^{12}\). 求解方法 如果\(f(i)\)在质数处的取值比较简单,那么可以运用洲阁筛来求解. ​ 我们需要两个辅助数组. \(g_{i,j}\) 定义如下: \[ \begin{aligned} g_{i,j}&=\sum_{k=2}^i[k与p_1,p_2,...,p_j互质或就是其中某个质数]\; s(k)\\ &…

题意:要求对于1~n,每个数的约数(不包括1和其本身)的和. 题解:由于题目数据有2*10^9之大,因而不能直接暴力.需要考虑积性函数的特性,由于必定有重复的约数出现,因而可以对重复约数所在的区间进行合并.由于对于较小的约数,其对应的较大的约数重复区间较小,所以可以先将较小的约数进行合并操作,然后对其对应的较大的约数的区间进行求和.以n=10为例,对于约数2而言,1~10中有2的约数的有10/2-1个(要减去2本身),而对于2在1~10内相对应的约数4和5,则可以直接进行求和操作,求和区间为[s…

下文中所有讨论都在数论函数范围内开展. 数论函数指的是定义域为正整数域, 且值域为复数域的函数. 数论意义下的和式处理技巧 因子 \[ \sum_{d | n} a_d = \sum_{d | n} a_{\frac n d} \] 双重因子 \[ \sum_{k | n} \sum_{j | k} a_{k, j} = \sum_{k | n} \sum_{j | \frac n k} a_{jk, k} \] \[ \sum_{n | k} \sum_{k | j} a_{k, j} = \…

洲阁筛 给定一个积性函数$F(n)$,求$\sum_{i = 1}^{n}F(n)$.并且$F(n)$满足在素数和素数次幂的时候易于计算. 显然有: $\sum_{i = 1}^{n} F(n) = \sum_{i = 1}^{\sqrt{n}}F(i) \left(\sum_{\sqrt{n} < p\leqslant n/i, p\ is\ a\ prime} F(p) \right) + \sum_{i = 1, i\ has\ no\ prime\ factor\ greater\ th…

问题描述 快速求素数处点值比较好求的积性函数前缀和 大致过程 Step1.求出一定范围内的素数处点值之和(\(g\)) Step2.利用上面的\(g\)求出一个\(f\)然后用\(f\)求出前缀和 具体过程 (这里约定一下,在下面的内容中用\(p\)表示一个素数,用\(P_i\)表示素数列表中的第\(i\)项) 这里以求\(\sum \phi(i)\)为例 首先对于素数\(p\)来说,\(\phi(p)=p-1\)的,因此我们可以快速求出素数处点值的和\(\sum \phi(p)=\sum p…

题目大意 有 \(n\) 个整数 \(a_1,a_2,\ldots,a_n\),每个数的范围是 \([1,m]\).还有 \(k\) 个限制,每个限制 \(x_i,y_i\) 表示 \(a_{x_i}\leq a_{y_i}\). 问有多少种不同的情况,以及所有情况中 \({\sigma_0(\gcd(a_1,a_2,\ldots,a_n))}^3\) 的和. \(n\leq 20,m\leq {10}^{10}\) 题解 记 \(f(x)\) 为当 \(m=x\) 时第一问的答案. 记 \(g…

传送门 比赛秒写完ABC结果不会D--最后C还fst了qwq 首先可以想到一个约数个数\(^2\)乘上\(K\)的暴力DP,但是显然会被卡 在\(10^{15}\)范围内因数最多的数是\(978217616376000=2^6 \times 3^4 \times 5^3 \times 7^2 \times 11 \times 13 \times 17 \times 19 \times 23 \times 29\),它有\(26880\)个因数 但是不难发现:在我们的答案中参与计算的只有约数个数函…

好久没更博客了,先水一篇再说.其实这个做法应该算是杜教筛的一个拓展. powerful number的定义是每个质因子次数都 $\geq 2$ 的数.首先,$\leq n$ 的powerful number个数是 $O(\sqrt{n})$ 的,这是因为所有powerful number显然可以表示成 $a^2b^3$,所以个数不超过 $\sum_{i=1}^{\sqrt{n}} (n/i^2)^{1/3}$,积分积一下就算出来了.求所有 $\leq n$ 的powerful number只要暴…

http://codeforces.com/contest/757/problem/E 题意 Sol 非常骚的一道题 首先把给的式子化一下,设$u = d$,那么$v = n / d$ $$f_r(n) = \sum_{d \mid n} \frac{f_{r - 1}(d) + f_{r - 1}(\frac{n}{d})}{2}$$ $$= \sum_{d\mid n} f_{r - 1}(d)$$ 很显然,这是$f_r(n)$与$1$的狄利克雷卷积 根据归纳法可以证明$f_r(n)$为积性…

算法原理 本文参考了 zzq's blog . \(\text{powerful number}\) 的定义是每个质因子次数都 \(\ge 2\) 的数,有个结论是 \(\ge n\) 的 \(\text{powerful number}\) 只有 \(\mathcal O(\sqrt n)\) 个,如何找这些数呢?用暴力 \(\text{dfs}\) 从小到达枚举质因子及其幂次即可(类似于 \(\text{min_25}\) 第二部分). 比如对于函数 \(F(p^q) = p^k\) 其中…