城市规划 时间限制:40s      空间限制:256MB 题目描述 刚刚解决完电力网络的问题, 阿狸又被领导的任务给难住了.  刚才说过, 阿狸的国家有n个城市, 现在国家需要在某些城市对之间建立一些贸易路线, 使得整个国家的任意两个城市都直接或间接的连通. 为了省钱, 每两个城市之间最多只能有一条直接的贸易路径. 对于两个建立路线的方案, 如果存在一个城市对, 在两个方案中是否建立路线不一样, 那么这两个方案就是不同的, 否则就是相同的. 现在你需要求出一共有多少不同的方案.  好了, 这就…
题目链接 BZOJ3456 题解 真是一道经典好题,至此已经写了分治\(NTT\),多项式求逆,多项式求\(ln\)三种写法 我们发现我们要求的是大小为\(n\)无向联通图的数量 而\(n\)个点的无向图是由若干个无向联通图构成的 那么我们设\(F(x)\)为无向联通图数量的指数型生成函数 设\(G(x)\)为无向图数量的指数型生成函数 \(G(x)\)很好求 而 \[G(x) = \frac{F(x)}{1!} + \frac{F^2(x)}{2!} + \frac{F^3(x)}{3!} +…
设f[i]为连通图的数量,g[i]为不连通图的数量,显然有f[i]=2i*(i-1)/2-g[i],g[i]通过枚举1所在连通块大小转移,有g[i]=Σf[j]*C(i-1,j-1)·2(i-j)*(i-j-1)/2,也即f[i]=2i*(i-1)/2-(i-1)!·Σf[j]·2(i-j)*(i-j-1)/2/(j-1)!/(i-j)!.显然是一个卷积形式,可以分治NTT. 进一步将式子化的更优美一点.设h[i]=2i*(i-1)/2,有f[i]=h[i]-(i-1)!·Σf[j]·h[i-j…
题目链接 BZOJ3456 题解 之前我们用分治\(ntt\)在\(O(nlog^2n)\)的复杂度下做了这题,今天我们使用多项式求逆 设\(f_n\)表示\(n\)个点带标号无向连通图数 设\(g_n\)表示\(n\)个点图的数量,显然\(g_n = 2^{{n \choose 2}}\) 枚举\(1\)号点所在联通块大小,我们有 \[g_n = \sum\limits_{i = 1}^{n} {n - 1 \choose i - 1}f_{i}g_{n - i}\] 代入\(g_n\) \[…
题意 链接 Sol Orz yyb 一开始想的是直接设\(f_i\)表示\(i\)个点的无向联通图个数,枚举最后一个联通块转移,发现有一种情况转移不到... 正解是先设\(g(n)\)表示\(n\)个点的无向图个数,这个方案是\(2^{\frac{i(i-1)}{2}}\)(也就是考虑每条边选不选) 考虑如何得到\(g\) \[g(n) = \sum_{i=0}^n C_{n-1}^{i-1}f(i) g(n-i)\] 直接将\(2^{\frac{n(n-1)}{2}}\)带入然后化简一下可以得…
题面 传送门 题解 妈呀这辣鸡题目调了我整整三天--最后发现竟然是因为分治\(NTT\)之后的多项式长度不是\(2\)的幂导致把多项式的值存下来的时候发生了一些玄学错误--玄学到了我\(WA\)的点全都是\(WA\)在\(2\)的幂次行里-- 看到这种题目二话不说先推倒 \[ \begin{aligned} [x^k]Ans &={1\over nm}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\left(a_i+b_j\right)^k\\ &={1\over nm}\sum_{i=…
Description 刚刚解决完电力网络的问题, 阿狸又被领导的任务给难住了. 刚才说过, 阿狸的国家有n个城市, 现在国家需要在某些城市对之间建立一些贸易路线, 使得整个国家的任意两个城市都直接或间接的连通. 为了省钱, 每两个城市之间最多只能有一条直接的贸易路径. 对于两个建立路线的方案, 如果存在一个城市对, 在两个方案中是否建立路线不一样, 那么这两个方案就是不同的, 否则就是相同的. 现在你需要求出一共有多少不同的方案. 好了, 这就是困扰阿狸的问题. 换句话说, 你需要求出n个点的…
[BZOJ3456]城市规划(生成函数,多项式运算) 题面 求\(n\)个点的无向连通图个数. \(n<=130000\) 题解 \(n\)个点的无向图的个数\(g(n)=2^{C_n^2}\).设\(n\)个点的无向连通图个数为\(f(n)\).有等式: \[g(n)=\sum_{i=1}^{n}C_{n-1}^{i-1}f(i)g(n-i)\] 即考虑枚举\(1\)号点所在联通块的点. 将\(g(n)\)带入式子 \[2^{C_n^2}=\sum_{i=1}^{n}C_{n-1}^{i-1}…
[CF438E]The Child and Binary Tree(多项式运算,生成函数) 题面 有一个大小为\(n\)的集合\(S\) 问所有点权都在集合中,并且点权之和分别为\([0,m]\)的二叉树的个数. \(n,m<=10^5\) 题解 设\(f(i)\)表示点权和为\(i\)的二叉树个数,\(c(i)\)是集合中数的生成函数,那么我们可以得到 \[f(n)=\sum_{i=1}^{n}c(i)\sum_{j=0}^{n-i}f(j)f(n-i-j)\] 显然有\(f(0)=1\) 构…
[BZOJ3771]Triple(生成函数,多项式运算) 题面 有\(n\)个价值\(w\)不同的物品 可以任意选择\(1,2,3\)个组合在一起 输出能够组成的所有价值以及方案数. \(n,w<=40000\) 题解 对于每一个出现的价值,就在对应的位置上\(+1\) 于是我们就有了一个生成函数\(A(x)\),代表着出现了一次的价值. 设\(B(x),C(x)\)分别代表着两个物品组成的价值和三个物品组成的价值,我们不难得到以下式子. \[B(x)=A(x)*A(x)-D(x),C(x)=A…