「ARC 139F」Many Xor Optimization Problems【线性做法，踩标】

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「ARC 139F」Many Xor Optimization Problems【线性做法，踩标】

「ARC 139F」Many Xor Optimization Problems 对于一个长为 $n$ 的序列 $a$,我们记 $f(a)$ 表示从 $a$ 中选取若干数,可以得到的最大异或值. 现在给定 $n,m$,你需要对于所有长为 $n$,且 $0\le a_i<2^m$ 的序列,计算 $f(a)$ 的和. $1\le n,m\le 250000$. PS:本题解的做法可以做到 $n=10^9,m=10^7$. Solution 考虑给定序列 \(a…

「TJOI / HEOI2016」求和的一个优秀线性做法

我们把$S(i, j)j!$看成是把$i$个球每次选择一些球(不能为空)扔掉,选$j$次后把所有球都扔掉的情况数(顺序有关).因此$S(i, j)j! = i![x^i](e^x - 1)^j$ 为了求出答案,我们需要研究如下的生成函数的性质. \(P(x) = \sum_{i = 0}^{n}(2e^x - 2)^i = \sum_{i = 0}^{n} 2^i \sum_{j = 0}^{i} (-1)^{i - j}e^{jx} {i \choose j} = \sum_{…

Solution Set -「ARC 107」

「ARC 107A」Simple Math Link. 答案为: \[\frac{a(a+1)\cdot b(b+1)\cdot c(c+1)}{8} \] 「ARC 107B」Quadruple Link. 枚举 $i=c+d$,则 $a+b=i+k$,乘法原理计数. 「ARC 107C」Shuffle Permutation Link. 由于矩阵内无相等元素,所以行和列的顺序可以直接乘法原理.以对行的排列方案计数为例,并查集维护所有可以交换位置的行,则行的方案…

Solution -「ARC 104E」Random LIS

$\mathcal{Description}$ Link. 给定整数序列 $\{a_n\}$,对于整数序列 $\{b_n\}$,$b_i$ 在 $[1,a_i]$ 中等概率随机.求 $\{b_n\}$ 中 LIS(最长上升子序列)的期望长度.对 $10^9+7$ 取模. $n\le6$,$a_i\le10^9$. $\mathcal{Solution}$ 欺负这个 $n$ 小得可爱,直接 $\mathcal O(n!)$ 枚举 \(…

Solution -「ARC 101D」「AT4353」Robots and Exits

$\mathcal{Description}$ Link. 有 $n$ 个小球,坐标为 $x_{1..n}$:还有 $m$ 个洞,坐标为 $y_{1..m}$,保证上述坐标两两不同.每次操作可以将所有小球向左或向右平移一个单位,若有小球的坐标与洞重合则掉进洞内.求所有小球都进洞时有多少种不同的状态.答案对 $(10^9+7)$ 取模. $n,m\le10^5$. $\mathcal{Solution}$ ARC 的题嘛--都这副德行.( 不考虑…

Solution -「ARC 110D」Binomial Coefficient is Fun

$\mathcal{Description}$ Link. 给定非负整数序列 $\{a_n\}$,设 $\{b_n\}$ 是一个非负整数序列且 $\sum_{i=1}^nb_i\le m$,求 \[\sum_{\{b_n\}}\prod_{i=1}^n\binom{b_i}{a_i}\bmod(10^9+7) \] $n,a_i\le2\times10^3$. $\mathcal{Solution}$ 鉴于这是 ARC D,可以直观感受到是一个代码不长的组…

Solution -「ARC 124E」Pass to Next

$\mathcal{Description}$ Link. 有 $n$ 个人站成一个环,初始时第 $i$ 个人手里有 $a_i$ 个球.第 $i$ 个人可以将自己手中任意数量的求给第 $i+1$ 个人,第 $n$ 个人则可以给第 $1$ 个人.设所有人同时进行一次传球后,第 $i$ 个人手里有 $b_i$ 个球,并令 $B$ 为所有可能的 $\lang b_n\rang$ 构成的集合,求 \[ \sum_{\lang b_n \rang\i…

Solution -「ARC 126E」Infinite Operations

$\mathcal{Description}$ Link. 给定序列 $\{a_n\}$,定义一次操作为: 选择 $a_i<a_j$,以及一个 $x\in\mathbb R_+$,使得 $a_i+x\le a_j-x$: 令 $a_i\leftarrow a_i+x,a_j\leftarrow a_j-x$,本次操作的得分为 $x$. 定义序列的得分为进行任意次操作能得到的最大得分和,现给定 $m$ 次形如 $a_x\leftarrow y$ 的修…

Solution -「ARC 126F」Affine Sort

$\mathcal{Description}$ Link. 给定 $\{x_n\}$,令 \[f(k)=\left|\{(a,b,c)\mid a,b\in[0,c),c\in[1,k],\left(\forall i\in[1,n),(ax_i+b)\bmod c<(ax_{i+1}+b)\bmod c\right)\}\right| \] 求出 \[\lim_{k\rightarrow+\infty}\frac{f(k)}{k^3}\bmod 998244353. \] …

Solution -「ARC 125F」Tree Degree Subset Sum

$\mathcal{Description}$ Link. 给定含有 $n$ 个结点的树,求非负整数对 $(x,y)$ 的数量,满足存在 $\exist S\subseteq V,~|S|=x\land\sum_{u\in S}d_u=y$,其中 $d_u$ 表示点 $u$ 的度数. $n\le2\times10^5$. $\mathcal{Solution}$ 方便期间,以下所有 $d_u$ 表示 $u$ 的度数 $-1$. 出题…

Solution -「ARC 125E」Snack

$\mathcal{Description}$ Link. 把 $n$ 种零食分给 $m$ 个人,第 $i$ 种零食有 $a_i$ 个:第 $i$ 个人得到同种零食数量不超过 $b_i$,总数量不超过 $c_i$,求最多分出的零食数量. $n,m\le2\times10^5$. $\mathcal{Solution}$ 很容易看出这是网络流模型: 源点 $S$ 连向每种零食 $i$,容量 $a_i$: 零食 $i$ 连向人…

Solution -「ARC 058C」「AT 1975」Iroha and Haiku

$\mathcal{Description}$ Link. 称一个正整数序列为"俳(pái)句",当且仅当序列中存在连续一段和为 $x$,紧接着连续一段和为 $y$,再紧接着连续一段和为 $z$,其中 $x,y,z$ 为给定正整数.计数长度为 $n$,元素大小不超过 $10$ 的俳句. $n\le40$,$x+y+z\le17$. $\mathcal{Solution}$ 通过俳句的特征(连续三段和的限制)来正向计数会重复:一个俳…

Solution -「ARC 101E」「AT 4352」Ribbons on Tree

$\mathcal{Description}$ Link. 给定一棵 $n$ 个点的树,其中 $2|n$,你需要把这些点两两配对,并把每对点间的路径染色.求使得所有边被染色的方案数,对 $10^9+7$ 取模. $n\le5000$. $\mathcal{Solution}$ 容斥,令 $f(S)$ 表示钦定边集 $S$ 全部为被覆盖的方案数.显然答案为: \[\sum_{S\subseteq E}(-1)^{|S|}f(S) \] $S$…

Solution -「ARC 110F」Esoswap

$\mathcal{Description}$ Link. 给定 $0\sim n-1$ 的排列 $p_{0..n-1}$,每次操作给出 $i$,交换 $p_i$ 和 $p_{(i+p_i)\bmod n}$.构造一种使排列升序的操作序列. $n\le100$. $\mathcal{Solution}$ 反正兔子就一个样例观察法,一个暴力伪解拍上去就 AC 了.( 先讲讲我的伪解,观察样例解释: First, announce $i=6$.…

Solution -「ARC 110E」Shorten ABC

$\mathcal{Description}$ Link. 给定长度为 $n$,包含 A, B, C 三种字符的字符串 $S$,定义一次操作为将其中相邻两个不相同的字符替换为字符集中不同于这两个字符的另一种字符.求任意次操作后得到的不同字符串个数,答案对 $10^9+7$ 取模. $n\le10^6$. $\mathcal{Solution}$ 我们希望探究此种替换操作的结合性,trick 为将字符集替换为数字集,将操作表达为数字间的运算.对于本题,令 A…

Solution -「ARC 082D」Sandglass

$\mathcal{Description}$ Link. 一个沙漏内共 $Xg$ 沙,令初始时上半部分为 A,下半部分为 B.沙漏在 $r_1,r_2,\cdots,r_n$ 时刻会被瞬间翻转.$q$ 次询问,每次询问给出 $(t,a)$,求初始时 A 有 $ag$ 沙,$t$ 时刻时 A 内沙的质量.保证 $r_{1..n},t_{1..q}$ 升序. $n,q\le10^5$. $\mathcal{Solution}$ 显然,随着初始…

Solution -「ARC 063D」「AT 2149」Snuke's Coloring 2

$\mathcal{Decription}$ Link. 平面上有一个左下角坐标 $(0,0)$ 右上角坐标 $(W,H)$ 的矩形,起初长方形内部被涂白. 现在给定 $n$ 个点,你每次在以下 $4$ 种操作中选择一种: 将矩形内 $x<x_i$ 的区域涂黑: 将矩形内 $x>x_i$ 的区域涂黑: 将矩形内 $y<y_i$ 的区域涂黑: 将矩形内 $y>y_i$ 的区域涂黑. 最大化操作后白色矩阵周长. \(n\le3\tim…

Solution -「ARC 104F」Visibility Sequence

$\mathcal{Description}$ Link. 给定 $\{x_n\}$,对于满足 $h_i\in[1,x_i]$ 的序列 $\{h_n\}$,定义序列 $\{p_n\}$ 满足: \[p_i=\begin{cases}-1,&(\not\exist j<i)(h_j>h_i)\\\max_{j<i}\{j|h_j>h_i\},&\text{otherwise}\end{cases} \] 求所有可能出现的本质不同的 \(…

Solution -「ARC 104D」Multiset Mean

$\mathcal{Description}$ Link. 读题时间≈想题时间,草.( 给定 $N,K,M$,对于每个 $x\in[1,N]$ 的整数 $x$,统计多重集 $\{s\}$ 的个数,使得集合元素的平均数为 $x$,且满足对于任意 $i$, $s_i\in[1,N]$ 且 $\sum_j[s_i=s_j]\le K$,即相同元素至多出现 $K$ 次.答案对 $M$ 取模. $N,K\le100$. \(\mathcal{…

Solution -「ARC 104C」Fair Elevator

$\mathcal{Description}$ Link. 数轴从 $1\sim 2n$ 的整点上有 $n$ 个闭区间.你只知道每个区间的部分信息(可能不知道左或右端点,或者都不知道),问是否存在满足已知信息的 $n$ 个区间,满足: 每个整点是恰好一个区间的端点. 所有包含同一个整点的区间长度相等. 输入信息可能不合法. $n\le100$. $\mathcal{Solution}$ 老细节题了.( 考虑数轴上连续的一段区间 $[l,r]$,…

「PKUWC 2018」随机算法 (60分部分分做法)

明天就是CTSC的DAY 2了qwq,晚上敲敲暴力攒攒RP,果断随便看了个题就是打暴力hhhhh 前50% O(3^N) 暴力没什么好说的,我们设F[S][s]为已经选了S集合中的点,并且这个集合中的点的最大独立集是s的方案数,最后统计完了乘上 n! 的逆元就好了. (s肯定是S的一个子集,所以复杂度是 3^n) 然鹅中间的暴力分只会链..... 首先如果n是奇数的话,那么最大独立集只可能是所有奇数点,所有这种情况下我们知道了选了的点的集合就知道独立集是什么了,所以可以直接 O(2^n) dp…

「LOJ#10050」「一本通 2.3 例 2」The XOR Largest Pair （Trie

题目描述在给定的 $N$ 个整数 $A_1,A_2,A_3...A_n$ 中选出两个进行异或运算,得到的结果最大是多少? 输入格式第一行一个整数$N$. 第二行$N$个整数$A_i$. 输出格式一个整数表示答案. 样例样例输入 5 2 9 5 7 0 样例输出 14 数据范围与提示对于$100%$的数据,$1≤N≤10^5$,$0≤Ai<2^{31}$. 题解这位朋友,你看这道题这样简洁,必然是很能拓展的题啊. 首先把每个数拆分二进制,从最高位(31位)开始,往0位走,算作一个字符串…

「AGC035C」 Skolem XOR Tree

「AGC035C」 Skolem XOR Tree 感觉有那么一点点上道了? 首先对于一个 $n$,若 $n\equiv 3 \pmod 4$,我们很快能够构造出一个合法解如 $n,n-1,n-2,..,1,n+n,n+n-1,n+n-2,...,n+1$. 若 $n\equiv 1 \pmod 4$,我们将 $n,n-1$ 拆分出来单独成一条链. 然后如果 $n$ 是偶数,可以想到对于这个 $n$ 单独处理,则剩下的问题转化为我们上面的问题. 考虑对于这个偶数特殊判…