题目 [国家集训队] Crash 的文明世界 前置 斯特林数\(\Longrightarrow\)斯特林数及反演总结 做法 \[\begin{aligned} ans_x&=\sum\limits_{i=1}^ndis(i,x)^k\\ &=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=0}^k\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}C_{dis(i,x)}^jj!\\ &=\sum\limits_{j=0}^k\begin{Bmatr…

题意 给定一个有 $n$ 个结点的树,设 $S(i)$ 为第 $i$ 个结点的“指标值”,定义为 $S(i)=\sum_{i=1}^{n}dist(i,j)^k$,$dist(i, j)$ 为结点 $i$ 到结点 $j$ 的最小距离.请输出每个结点的指标值.($n \leq 5000, k \leq 150$) 分析 一个常用的转化 $$n^k=\sum_{i=0}^{k}S(k,i) \times C(n,i) \times i!$$ 证明可以考虑组合意义,等式的左边就是把 $k$ 个球放在…

这个题非常巧妙啊~ #include <bits/stdc++.h> #define M 170 #define N 50003 #define mod 10007 #define LL long long #define setIO(s) freopen(s".in","r",stdin) using namespace std; inline int qpow(int x,int y) { int tmp=1; for(;y;y>>=1,…

题意:给定一棵树,求$S(i)=\sum_{j=1}^{n}dist(i,j)^k$.题解:根据斯特林数反演得到:$n^m=\sum_{i=0}^{n}C(n,i)\times i!\times S(m,i)$故$S(i)=\sum_{k=1}^{m}S(m,k)\times k!\times\sum_{j=1}^{n}C(dist(i,j),k)$用$f[i][k]$表示$C(dist(i,j),k)$,通过$Pascal$公式:$C(n,m)=C(n,m-1)+C(n-1,m-1)$,用树形…

$x^k=\sum_{i=1}^k Stirling2(k,i)\times i!\times C(x,i)$ 设$f[i][j]=\sum_{k=1}^n C(dist(i,k),j)$. 则可以利用$C(i,j)=C(i-1,j-1)+C(i-1,j)$,通过树形DP求出$f$. 时间复杂度$O((n+k)k)$. #include<cstdio> const int N=50010,M=155,P=10007; int n,k,i,j,x,y,S[M][M],fac[M],g[N],v[…

题面 解析 这题一眼换根DP啊 首先,我们考虑一下如何转换\(n^m\)这个式子, 先把式子摆出来吧:\(n^m=\sum_{j=0}^mS(m,j)C_n^jj!\) 其中\(S(m,j)\)表示第二类斯特林数, (其实就是把\(m\)个不同的小球放到\(j\)个相同的盒子里,且盒子不为空的方案数) 我们感性理解一下(懒得不会推式子), \(n^m\)其实就表示将\(m\)个不同的球放入\(n\)个不同的盒子里, 而我们可以枚举有\(j\)个盒子里面放了小球, 那么方案数就是\(S(m,j)\…

根据组合意义,有nk=ΣC(n,i)*i!*S(k,i) (i=0~k),即将k个有标号球放进n个有标号盒子的方案数=在n个盒子中选i个将k个有标号球放入并且每个盒子至少有一个球. 回到本题,可以令f[i][j]表示ΣC(dis(i,k),j) (k为i子树中节点),通过C(i,j)=C(i-1,j)+C(i-1,j-1)转移. #include<iostream> #include<cstdio> #include<cmath> #include<cstdlib…

题目链接 BZOJ2159 题解 显然不能直接做点分之类的,观察式子中存在式子\(n^k\) 可以考虑到 \[n^k = \sum\limits_{i = 0} \begin{Bmatrix} k \\ i \end{Bmatrix} {n \choose i}i!\] 发现\(k\)很小,对于每个点可以直接\(O(k)\)计算 所以我们只需求出 \[f[i][j] = \sum\limits_{x = 1}^{N}{dis(i,x) \choose j}\] 转移可以利用 \[{n \choo…

Description 传送门 给你一个n个点的树,边权为1. 对于每个点u, 求:\(\sum_{i = 1}^{n} distance(u, i)^{k}\) $ n \leq 50000, k \leq 150 $ Solution 咱们化一下式子: \(\sum_{i = 1}^{n} distance(u,i) ^ {k}\) \(=\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 0}^{k} C(dis(u, i), j)* S2(k, j) * j!\) \(=\sum_{j…

[BZOJ2159]Crash的文明世界(第二类斯特林数,动态规划) 题面 BZOJ 洛谷 题解 看到\(k\)次方的式子就可以往二项式的展开上面考,但是显然这样子的复杂度会有一个\(O(k^2)\),因此需要换别的方法. 注意到自然指数幂和第二林斯特林数之间的关系: \[n^k=\sum_{i=0}^k \begin{Bmatrix}k\\i\end{Bmatrix}{n\choose i}i!\] 那么将答案式化简 \[\begin{aligned} Ans_x&=\sum_{i=1}^N…