Solution -「ARC 125F」Tree Degree Subset Sum

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Solution -「ARC 125F」Tree Degree Subset Sum

$\mathcal{Description}$ Link. 给定含有 $n$ 个结点的树,求非负整数对 $(x,y)$ 的数量,满足存在 $\exist S\subseteq V,~|S|=x\land\sum_{u\in S}d_u=y$,其中 $d_u$ 表示点 $u$ 的度数. $n\le2\times10^5$. $\mathcal{Solution}$ 方便期间,以下所有 $d_u$ 表示 $u$ 的度数 $-1$. 出题…

Solution -「ARC 104E」Random LIS

$\mathcal{Description}$ Link. 给定整数序列 $\{a_n\}$,对于整数序列 $\{b_n\}$,$b_i$ 在 $[1,a_i]$ 中等概率随机.求 $\{b_n\}$ 中 LIS(最长上升子序列)的期望长度.对 $10^9+7$ 取模. $n\le6$,$a_i\le10^9$. $\mathcal{Solution}$ 欺负这个 $n$ 小得可爱,直接 $\mathcal O(n!)$ 枚举 \(…

Solution -「ARC 101E」「AT 4352」Ribbons on Tree

$\mathcal{Description}$ Link. 给定一棵 $n$ 个点的树,其中 $2|n$,你需要把这些点两两配对,并把每对点间的路径染色.求使得所有边被染色的方案数,对 $10^9+7$ 取模. $n\le5000$. $\mathcal{Solution}$ 容斥,令 $f(S)$ 表示钦定边集 $S$ 全部为被覆盖的方案数.显然答案为: \[\sum_{S\subseteq E}(-1)^{|S|}f(S) \] $S$…

Solution -「HDU 5498」Tree

$\mathcal{Description}$ link. 给定一个 $n$ 个结点 $m$ 条边的无向图,$q$ 次操作每次随机选出一条边.问 $q$ 条边去重后构成生成树的方案总数,对 $p$ 取模. $\mathcal{Solution}$ 首先求出 $n-1$ 条边构成生成树的方案数,显然矩阵树定理. 接着,令 $f(i,j)$ 表示操作 $i$ 次,去重后有 $j$ 条边的方案数.那么有: \[f(i,j)=jf(i-1,j)…

Solution -「ARC 101D」「AT4353」Robots and Exits

$\mathcal{Description}$ Link. 有 $n$ 个小球,坐标为 $x_{1..n}$:还有 $m$ 个洞,坐标为 $y_{1..m}$,保证上述坐标两两不同.每次操作可以将所有小球向左或向右平移一个单位,若有小球的坐标与洞重合则掉进洞内.求所有小球都进洞时有多少种不同的状态.答案对 $(10^9+7)$ 取模. $n,m\le10^5$. $\mathcal{Solution}$ ARC 的题嘛--都这副德行.( 不考虑…

Solution -「ARC 110D」Binomial Coefficient is Fun

$\mathcal{Description}$ Link. 给定非负整数序列 $\{a_n\}$,设 $\{b_n\}$ 是一个非负整数序列且 $\sum_{i=1}^nb_i\le m$,求 \[\sum_{\{b_n\}}\prod_{i=1}^n\binom{b_i}{a_i}\bmod(10^9+7) \] $n,a_i\le2\times10^3$. $\mathcal{Solution}$ 鉴于这是 ARC D,可以直观感受到是一个代码不长的组…

Solution -「ARC 124E」Pass to Next

$\mathcal{Description}$ Link. 有 $n$ 个人站成一个环,初始时第 $i$ 个人手里有 $a_i$ 个球.第 $i$ 个人可以将自己手中任意数量的求给第 $i+1$ 个人,第 $n$ 个人则可以给第 $1$ 个人.设所有人同时进行一次传球后,第 $i$ 个人手里有 $b_i$ 个球,并令 $B$ 为所有可能的 $\lang b_n\rang$ 构成的集合,求 \[ \sum_{\lang b_n \rang\i…

Solution -「ARC 126E」Infinite Operations

$\mathcal{Description}$ Link. 给定序列 $\{a_n\}$,定义一次操作为: 选择 $a_i<a_j$,以及一个 $x\in\mathbb R_+$,使得 $a_i+x\le a_j-x$: 令 $a_i\leftarrow a_i+x,a_j\leftarrow a_j-x$,本次操作的得分为 $x$. 定义序列的得分为进行任意次操作能得到的最大得分和,现给定 $m$ 次形如 $a_x\leftarrow y$ 的修…

Solution -「ARC 126F」Affine Sort

$\mathcal{Description}$ Link. 给定 $\{x_n\}$,令 \[f(k)=\left|\{(a,b,c)\mid a,b\in[0,c),c\in[1,k],\left(\forall i\in[1,n),(ax_i+b)\bmod c<(ax_{i+1}+b)\bmod c\right)\}\right| \] 求出 \[\lim_{k\rightarrow+\infty}\frac{f(k)}{k^3}\bmod 998244353. \] …

Solution -「ARC 125E」Snack

$\mathcal{Description}$ Link. 把 $n$ 种零食分给 $m$ 个人,第 $i$ 种零食有 $a_i$ 个:第 $i$ 个人得到同种零食数量不超过 $b_i$,总数量不超过 $c_i$,求最多分出的零食数量. $n,m\le2\times10^5$. $\mathcal{Solution}$ 很容易看出这是网络流模型: 源点 $S$ 连向每种零食 $i$,容量 $a_i$: 零食 $i$ 连向人…

Solution -「Gym 102798K」Tree Tweaking

$\mathcal{Description}$ Link. 给定排列 $\{p_n\}$,求任意重排 $p_{l..r}$ 的元素后,将 $\{p_n\}$ 依次插入二叉搜索树时结点深度之和的最小值. $n\le10^5$,$r-l+1\le200$. $\mathcal{Solution}$ 先把不作修改的二叉搜索树建出来--按值升序遍历,单调栈维护即可,这就相当于建 $(p_i,i)$ 的笛卡尔树.考虑此时树上一个"可修改连通块"的性…

Solution -「ARC 058C」「AT 1975」Iroha and Haiku

$\mathcal{Description}$ Link. 称一个正整数序列为"俳(pái)句",当且仅当序列中存在连续一段和为 $x$,紧接着连续一段和为 $y$,再紧接着连续一段和为 $z$,其中 $x,y,z$ 为给定正整数.计数长度为 $n$,元素大小不超过 $10$ 的俳句. $n\le40$,$x+y+z\le17$. $\mathcal{Solution}$ 通过俳句的特征(连续三段和的限制)来正向计数会重复:一个俳…

Solution -「ARC 110F」Esoswap

$\mathcal{Description}$ Link. 给定 $0\sim n-1$ 的排列 $p_{0..n-1}$,每次操作给出 $i$,交换 $p_i$ 和 $p_{(i+p_i)\bmod n}$.构造一种使排列升序的操作序列. $n\le100$. $\mathcal{Solution}$ 反正兔子就一个样例观察法,一个暴力伪解拍上去就 AC 了.( 先讲讲我的伪解,观察样例解释: First, announce $i=6$.…

Solution -「ARC 110E」Shorten ABC

$\mathcal{Description}$ Link. 给定长度为 $n$,包含 A, B, C 三种字符的字符串 $S$,定义一次操作为将其中相邻两个不相同的字符替换为字符集中不同于这两个字符的另一种字符.求任意次操作后得到的不同字符串个数,答案对 $10^9+7$ 取模. $n\le10^6$. $\mathcal{Solution}$ 我们希望探究此种替换操作的结合性,trick 为将字符集替换为数字集,将操作表达为数字间的运算.对于本题,令 A…

Solution -「ARC 082D」Sandglass

$\mathcal{Description}$ Link. 一个沙漏内共 $Xg$ 沙,令初始时上半部分为 A,下半部分为 B.沙漏在 $r_1,r_2,\cdots,r_n$ 时刻会被瞬间翻转.$q$ 次询问,每次询问给出 $(t,a)$,求初始时 A 有 $ag$ 沙,$t$ 时刻时 A 内沙的质量.保证 $r_{1..n},t_{1..q}$ 升序. $n,q\le10^5$. $\mathcal{Solution}$ 显然,随着初始…

Solution -「ARC 063D」「AT 2149」Snuke's Coloring 2

$\mathcal{Decription}$ Link. 平面上有一个左下角坐标 $(0,0)$ 右上角坐标 $(W,H)$ 的矩形,起初长方形内部被涂白. 现在给定 $n$ 个点,你每次在以下 $4$ 种操作中选择一种: 将矩形内 $x<x_i$ 的区域涂黑: 将矩形内 $x>x_i$ 的区域涂黑: 将矩形内 $y<y_i$ 的区域涂黑: 将矩形内 $y>y_i$ 的区域涂黑. 最大化操作后白色矩阵周长. \(n\le3\tim…

Solution -「ARC 104F」Visibility Sequence

$\mathcal{Description}$ Link. 给定 $\{x_n\}$,对于满足 $h_i\in[1,x_i]$ 的序列 $\{h_n\}$,定义序列 $\{p_n\}$ 满足: \[p_i=\begin{cases}-1,&(\not\exist j<i)(h_j>h_i)\\\max_{j<i}\{j|h_j>h_i\},&\text{otherwise}\end{cases} \] 求所有可能出现的本质不同的 \(…

Solution -「ARC 104D」Multiset Mean

$\mathcal{Description}$ Link. 读题时间≈想题时间,草.( 给定 $N,K,M$,对于每个 $x\in[1,N]$ 的整数 $x$,统计多重集 $\{s\}$ 的个数,使得集合元素的平均数为 $x$,且满足对于任意 $i$, $s_i\in[1,N]$ 且 $\sum_j[s_i=s_j]\le K$,即相同元素至多出现 $K$ 次.答案对 $M$ 取模. $N,K\le100$. \(\mathcal{…

Solution -「ARC 104C」Fair Elevator

$\mathcal{Description}$ Link. 数轴从 $1\sim 2n$ 的整点上有 $n$ 个闭区间.你只知道每个区间的部分信息(可能不知道左或右端点,或者都不知道),问是否存在满足已知信息的 $n$ 个区间,满足: 每个整点是恰好一个区间的端点. 所有包含同一个整点的区间长度相等. 输入信息可能不合法. $n\le100$. $\mathcal{Solution}$ 老细节题了.( 考虑数轴上连续的一段区间 $[l,r]$,…

Solution -「CF 1375G」Tree Modification

$\mathcal{Description}$ Link. 给定一棵 $n$ 个结点的树,每次操作选择三个结点 $a,b,c$,满足 $(a,b),(b,c)\in E$,并令 $a$ 的所有邻接点(包括 $b$)与 $c$ 邻接且不再与 $a$ 邻接:再令 $a$ 与 $c$ 邻接.求至少几次操作使树变为菊花图. $n\le2\times10^5$. 操作图例: $\mathcal{Solution}$ 和 CF1025G 有…

[atARC125F]Tree Degree Subset Sum

令$a_{i}$为$i$的度数-1,那么$(x,s)$合法即等价于存在$S\subseteq [1,n],|S|=x$且$\sum_{k\in S}a_{k}=s$ 引理:$(x,s)$合法的必要条件为$-z\le s-x\le z-2$ 令$z$为$a_{i}$中为0的元素个数,考虑任意一个集合$S\subseteq [1,n]$,显然$-z\le \sum_{k\in S}a_{k}-|S|\le z-2$ 具体的,考虑该式即为$\sum_{k\in S}(a_{k}-1)$,那么将所有$a…

Solution Set -「ARC 107」

「ARC 107A」Simple Math Link. 答案为: \[\frac{a(a+1)\cdot b(b+1)\cdot c(c+1)}{8} \] 「ARC 107B」Quadruple Link. 枚举 $i=c+d$,则 $a+b=i+k$,乘法原理计数. 「ARC 107C」Shuffle Permutation Link. 由于矩阵内无相等元素,所以行和列的顺序可以直接乘法原理.以对行的排列方案计数为例,并查集维护所有可以交换位置的行,则行的方案…

「ARC 139F」Many Xor Optimization Problems【线性做法，踩标】

「ARC 139F」Many Xor Optimization Problems 对于一个长为 $n$ 的序列 $a$,我们记 $f(a)$ 表示从 $a$ 中选取若干数,可以得到的最大异或值. 现在给定 $n,m$,你需要对于所有长为 $n$,且 $0\le a_i<2^m$ 的序列,计算 $f(a)$ 的和. $1\le n,m\le 250000$. PS:本题解的做法可以做到 $n=10^9,m=10^7$. Solution 考虑给定序列 \(a…