Description 刚开始你有一个数字0,每一秒钟你会随机选择一个[0,2^n-1]的数字,与你手上的数字进行或(c++,c的|,pascal 的or)操作.选择数字i的概率是p[i].保证0<=p[i]<=1,Σp[i]=1问期望多少秒后,你手上的数字变成2^n-1. Input 第一行输入n表示n个元素,第二行输入2^n个数,第i个数表示选到i-1的概率 Output 仅输出一个数表示答案,绝对误差或相对误差不超过1e-6即可算通过.如果无解则要输出INF Sample Input 2…

[luogu 3175] [HAOI2015]按位或 题面 刚开始你有一个数字0,每一秒钟你会随机选择一个[0,2^n-1]的数字,与你手上的数字进行按位或运算.问期望多少秒后,你手上的数字变成2^n-1. 分析 前置知识:min-max容斥 记\(\max(S)\)为集合\(S\)中的最大值,\(\min(S)\)为集合\(S\)中的最小值(如果\(S=\emptyset\) ,那\(\max(S)=\min(S)=0\)),那么有 \[\max(S)=\sum _{T\subseteq S}…

题目链接:洛谷 题目大意:给定正整数 $n$.一开始有一个数字 $0$,然后每一秒,都有 $p_i$ 的概率获得 $i$ 这个数 $(0\le i< 2^n)$.一秒恰好会获得一个数.每获得一个数,就要将我们有的数与获得的数进行按位或.问期望经过多少秒后,我们的数变成 $2^n-1$. $1\le n\le 20,\sum p_i=1$. %%%stO shadowice1984 Orz%%% 首先定义 $\min(S)$ 表示 $S$ 中第一个变为 $1$ 的元素的时间.(其中 $S$ 是一个…

考虑min-max容斥 \(E[max(S)] = \sum \limits_{T \subset S} min(T)\) \(min(T)\)是可以被表示出来 即所有与\(T\)有交集的数的概率的和的倒数 通过转化一下,可以考虑求所有与\(T\)没有交集的数的概率和 即求\(T\)的补集的子集的概率和 用FMT随意做下吧... 注意:概率为1的时候需要特判 复杂度\(O(2^n * n)\) #include <cstdio> #include <vector> #include…

题目链接 BZOJ4036 题解 好套路的题啊,,, 我们要求的,实际上是一个集合\(n\)个\(1\)中最晚出现的\(1\)的期望时间 显然\(minmax\)容斥 \[E(max\{S\}) = \sum\limits_{T \subseteq S} (-1)^{|T| + 1}E(min\{T\})\] 那么问题就转化为了求每个集合中最早出现的\(1\)的期望时间 假如在\(k\)时刻出现,那么前\(k - 1\)时刻一定都是取的补集的子集,记\(T\)补集的所有子集概率和为\(P\) \…

其实也不是FWT--我也不知道刷FWT专题问什么会刷出来这个东西 这是min-max容斥讲解:https://www.zybuluo.com/ysner/note/1248287 总之就是设min(s),max(s)分别表示集合s里最早和最晚出现的元素,显然E(amx(全集))就是答案 然后有这样的式子: \[ E(max(s))=\sum_{s'\in s}E(min(s'))*(-1)^{|s'|+1} \] \[ E(min(s))=\frac{1}{\sum_{s'\cap s!=\ph…

题目链接 \(Description\) 给定\(n\)个正整数\(a_i\).求有多少个子序列\(a_{i_1},a_{i_2},...,a_{i_k}\),满足\(a_{i_1},a_{i_2},...,a_{i_k}\) \(and\)起来为\(0\). \(n\leq10^6,\quad 0\leq a_i\leq10^6\). \(Solution\) 这个数据范围..考虑按位容斥: 令\(g_x\)表示\(x\)的二进制表示中\(1\)的个数,\(f_x\)表示有多少个\(a_i\)…

[BZOJ4036]按位或(Min-Max容斥,FWT) 题面 BZOJ 洛谷 题解 很明显直接套用\(min-max\)容斥. 设\(E(max\{S\})\)表示\(S\)中最晚出现元素出现时间的期望,\(min\)同理. 那么\(E(max\{S\})=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|}E(min\{T\})\) 考虑怎么求\(E(min\{T\})\),很容易发现只需要或上了任何一位就行了. 也就是 \[E(min\{T\})=\frac{1}{\sum_{G\c…

Online Judge:Hdu6053 Label:容斥,前缀和 题面: 题目描述 给你一个长度为\(N\)的序列A,现在让你构造一个长度同样为\(N\)的序列B,并满足如下条件,问有多少种方案数?答案对\(1e9+7\)取模. \(1≤Bi≤Ai\) 对于任意(l,r) \((1≤l≤r≤N)\),有\(gcd(b_l,b_{l+1}...b_r)>=2\) 输入 The first line is an integer T(1≤T≤10) describe the number of te…

传送门 如果每个位置上的数字的意义是这个位置被加进集合的最早时间,那么我们要求的就是集合中最大数的期望,使用Min-Max容斥,\(E(max(S))=\sum_{T\subset S}(-1)^{|T|+1}E(min(T))\),这里的\(E(min(T))\)是集合中加进数字的期望时间,根据题意,加进一个集合数字概率为\(\sum_{s\cap T\ne\emptyset}P_s\),对应的期望,也就是\(E(min(T))=\frac{1}{\sum_{s\cap T\ne\emptys…

正题 题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P3175 题目大意 开始有一个\(n\)位二进制数\(s=0\),每次有\(p_i\)概率选取数字\(i\)让\(s\)或上这个数字\(i\),求期望多少次能够让\(s\)的\(n\)个位都变为\(1\). 解题思路 因为是或所以我们只关心最后一个选中的数,设第\(i\)位选中的期望次数为\(E(i)\)的话答案就是\(max\{E(i)\}\). 又是期望又是\(max\)所以可以直接上\(\text{min-…

题面 传送门:https://www.luogu.org/problemnew/show/P1450 Solution 这是一道很有意思的在背包里面做容斥的题目. 首先,我们可以很轻松地想到暴力做背包的做法. 就是对于每一次询问,我们都做一次背包. 复杂度O(tot*s*log(di)) (使用二进制背包优化) 显然会T得起飞. 接下来,我们可以换一种角度来思考这个问题. 首先,我们可以假设没有每个物品的数量的限制,那么这样就会变成一个很简单的完全背包问题. 至于完全背包怎么写,我们在这里就不做…

真的是个好(毒)题(瘤).其中枚举的思想尤其值得借鉴. \(40pts\):插头\(dp\),记录插头的同时记录每一列的连接状况,复杂度\(O(N*M*2^{n + m} )\). \(100pts\):容斥\(+\)插头\(/\)轮廓线.目前要维护每两行和每两列的限制,我们把两个限制分开讨论.预处理一下每个子矩阵如果不作限制的可行方案,然后人为地进行限制分割.对于列的限制用容斥解决,对于行的限制套在里面逐行枚举做一次\(dp\),就可以把复杂度降到可以接受的\(O(m^3*2^n)\). 代码…

现在看来这道题真的不难啊~ 正着求不好求,那就反着求:答案=总-全不是质数 这里有一个细节要特判:1不是质数,所以在算全不是质数的时候要特判1 code: #include <bits/stdc++.h> #define N 104 #define M 20000002 #define mod 20170408 #define ll long long #define setIO(s) freopen(s".in","r",stdin) using na…

期望的线性性: \[E(x+y)=E(x)+E(y) \] 证明: \[E(x+y)=\sum_i \sum_j(i+j)*P(i=x,j=y) \] \[=\sum_i\sum_ji*P(i=x,j=y)+\sum_i\sum_jj*P(i=x,j=y) \] \[=\sum_ii*P(i=x)+\sum_jj*P(j=y) \] \[=E(x)+E(y) \] Min - Max 容斥: 我们现在有一个全集 \(U= \lbrace{a_1,a_2,a_3,...,a_n}\rbrace\)…

$\min - \max$ 容斥 Part 1 对于简单的$\min - \max$容斥有一般形式,表达为:$\max(S)=\sum\limits_{T\subseteq S}(-1)^{|T|-1}\times \min(T)$ 对于上述式子,可以简单的理解. 对于$S$中的每一项,其中的最大值为第$i$项 由于$|T|$非空,一共有$2^{|S|}-1$个$T$,其中,对于非最大值的任意一项,都包含至少一个比其大的元素 所以这些元素的选择情况构成了$2^{k}$幂,其中$|T|$的奇偶分布…

题目描述 刚开始你有一个数字0,每一秒钟你会随机选择一个[0,2^n-1]的数字,与你手上的数字进行或(c++,c的|,pascal 的or)操作.选择数字i的概率是p[i].保证0<=p[i]<=1,Σp[i]=1问期望多少秒后,你手上的数字变成2^n-1. 题解 MIN-MAX容斥 大概就是这么两个东西,做题思路大概就是正难则反吧,max不好求但min好求,就可以直接用这种方法上了. 现在我们算maxV(S),然鹅它不好算,所以我们就转换求所有minV(S). 考虑一个事件发生的概率为p,…

传送门 套路题 看到\(n \leq 20\),又看到我们求的是最后出现的位置出现的时间的期望,也就是集合中最大值的期望,考虑min-max容斥. 由\(E(max(S)) = \sum\limits_{T \subset S} (-1)^{|T| + 1} E(min(T))\),我们要求的就是一个集合至少有一个数字出现的期望时间.那么\(E(min(T)) = \frac{1}{\sum\limits_{S' \cap T \neq \emptyset} p_{S'}}\). \(\sum\…

题目传送门 https://lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4036 题解 变成 \(2^n-1\) 的意思显然就是每一个数位都出现了. 那么通过 MinMax 容斥,可以把问题转化为对于一个集合 \(S\),求 \(S\) 中至少有一个元素出现的概率. 这个问题等价于求 \(S\) 中没有任何一个元素出现的概率,即出现的数都是 \(S\) 的补集的子集的概率. 这个问可以通过 SoSDP 实现,时间复杂度 \(O(n2^n)\). 关于 SoSDP 这…

bzoj4036 / P3175 [HAOI2015]按位或 是一个 min-max容斥 的板子题. min-max容斥 式子: $ \displaystyle max(S) = \sum_{T\sube S} (-1)^{|T|+1} min(T) $ 并且很优秀的是,它在期望情况下成立! 这个有什么关系呢.. 如果每一位分开考虑,如果第 $ i $ 位变成 1 的期望时间是 $ T(i) $ 那么求的是 $ E(max(T_{1\dots n})) $ 这个可以 min-max容斥 求 $…

题解: 之前听说过这个东西但没有学 令$max(S)$表示S中编号最大的元素,$min(S)$表示编号中最小的元素 $$max(S)=\sum{T \in S} {(-1)}^{|T|+1} min(T) $$ $$min(S)=\sum{T \in S} {(-1)}^{|T|+1} max(T) $$ 然后再在外面套个期望 $$E(max(S))=\sum{T \in S} {(-1)}^{|T|+1} E(min(T))$$ hdu 4336 定义大小比较为出现时间早晚 $E(max(S)…

Endless Spin 给你一段长度为[1..n]的白色区间,每次随机的取一个子区间将这个区间涂黑,问整个区间被涂黑时需要的期望次数. n<=50 题解 显然是min-max容斥,但是n的范围太大,不能暴力枚举. 设计DP,令f(i,j,k)表示前i个球中必须选第i个球,有j种区间可以选择并且选择他们不会涂黑决定要涂黑的球,决定要涂黑的球的个数是奇数还是偶数的方案数. 转移就考虑第i个球必须选时,上一个决定要选的球是哪个就行了. 注意这题需要实现一个高精度. CO int N=51; LL d…

题目链接 https://www.luogu.org/problem/P4707 题解 最近被神仙题八连爆了-- 首先Min-Max容斥肯定都能想到,问题是这题要用一个扩展版的--Kth Min-Max容斥 这个东西需要对Min-Max容斥的本质有着比较深刻的理解. 首先我们从另一个角度证明Min-Max容斥的正确性: \(\max(S)=\sum_{T\in S}f(|T|)\min(T)\), 对于第\((x+1)\)大来说它被计算的次数是\(\sum_{k\ge 0} {x\choose…

题目 好神的题啊 我们发现我们求这个东西如果常规\(dp\)的话可以建出一张拓扑图来,但是边的级别高达\(3^n\),转移的时候还要解方程显然不能通过本题 我们考虑神仙的\(min-max\)容斥 设\(Emax(S)\)表示集合\(S\)中最晚出现的那个自己出现的期望时间,\(Emin(S)\)表示集合\(S\)最早出现的那个子集出现的期望时间 我们套上公式 \[Emax(S)=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|+1}Emin(T)\] 我们考虑\(Emin(T)\)怎么…

题目大意:刚开始有一个数$x=0$,每秒钟有一个数$y\in[0,2^n)(n\leqslant20)$按一定概率随机出现,数$i$的概率为$p_i$,保证$\sum\limits_{i=0}^{2^n-1}p_i=1$.然后$x\to x|y$,问期望多少时间后,$x=2^n-1$ 题解:$Min-Max$容斥$$\max(S)=\sum\limits_{T\subseteq S}(-1)^{|T|+1}\min(T)\\\min(S)=\sum\limits_{T\subseteq S}(-…

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4036 min-max容斥:https://blog.csdn.net/ez_2016gdgzoi471/article/details/81416333 二项式反演:https://blog.csdn.net/ez_2016gdgzoi471/article/details/81408416 而出现 \( S \) 的期望,就是 \( S \) 每一位出现的期望中的最大值: 所以 \( E…

题目分析 与hdu4336 Card Collector相似,使用min-max容斥. 设\(\max(S)\)表示集合\(S\)中最后一位出现的期望时间. 设\(\min(S)\)表示集合\(S\)中最初一位出现的期望时间. 由min-max容斥可得: \(\max(T)=\sum\limits_{S \subseteq T}(-1)^{|T|-1}\min(S)\) 考虑求每一个\(\min(S)\). 一个很显然的暴力代码: for(int i=0;i<(1<<n);i++){ d…

传送门:https://lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4036 Description 刚开始你有一个数字0,每一秒钟你会随机选择一个[0,2^n-1]的数字,与你手上的数字进行或(c++,c的|,pascal 的or)操作.选择数字i的概率是p[i].保证0<=p[i]<=1,Σp[i]=1问期望多少秒后,你手上的数字变成2^n-1. Input 第一行输入n表示n个元素,第二行输入2^n个数,第i个数表示选到i-1的概率 Output 仅输出一个…

[Luogu3175] [BZOJ4036] [DarkBZOJ没有spj] 原理-shadowice 本题题解 我们要求的,实际上是一个集合\(n\)个\(1\)中最晚出现的\(1\)的期望时间 显然\(minmax\)容斥 \(E(max\{S\})=∑_{T⊆S}(−1)^{|T|+1}E(min\{T\})\) 那么问题就转化为了求每个集合中最早出现的\(1\)的期望时间 假如在\(k\)时刻出现,那么前\(k−1\)时刻一定都是取的补集的子集,记\(T\)补集的所有子集概率和为\(P\…

Description: 刚开始你有一个数字0,每一秒钟你会随机选择一个$[0,2^n)$的数字,与你手上的数字进行或(C++, C 的 |, Pascal 的 or)操作. 选择数字i的概率是$p_i$ (保证$p \le p_i \le 1$,$\sum p_i =1$ )问期望多少秒后,你手上的数字变成$2^n-1$.($n \le 20$) 日常:想->问NC大聚聚这题有什么新知识点->学知识点->做->调... 全是新知识点,难度也都不低.一个知识点一道题也不知道自己是不…