素数必然符合题意. 对于合数,如若它是某个素数x的k次方(k为某个素数y减去1),一定不符合题意.只需找出这些数. 由约数个数定理,其他合数一定符合题意. 就从小到大枚举素数,然后把它的素数-1次方都排除即可. #include<cstdio> #include<cmath> using namespace std; #define MAXP 1000100 #define EPS 0.00000001 typedef long long ll; ll L,R; bool isNo…

对于任何正整数x,其约数的个数记作g(x).例如g(1)=1.g(6)=4.如果某个正整数x满足:g(x)>g(i) 0<i<x,则称x为反质数. 所以,n以内的反质数即为不超过n的约数个数最多的数. 怎样计算约数个数? 约数个数定理:对于一个大于1正整数n可以分解质因数:n=p1^a1*p2^a2*p3^a3*…*pk^ak,则n的正约数的个数就是(a1+1)(a2+1)(a3+1)…(ak+1) .其中a1.a2.a3…ak是p1.p2.p3,…pk的指数.   所以,只需枚举一个数…

题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1492 这里先讲一下约数个数定理: 对于正整数x,将其质因分解为 x = pow(p1, a) * pow*(p2, b) * pow(p3, c) * ... 则其约数个数为:num(x) = (a+1) * (b+1) * (c+1) *... 推导: 由约数定义可知p1^a1的约数有:p1^0, p1^1, p1^2......p1^a1 ,共(a1+1)个;同理p2^a2的约数有(a2+1)个…

前言:想了两个小时orz,最后才想到要用约数个数定理…… ------------- 题目大意: 给定$n,q,A[1],A[2],A[3]$ 现有$A[i]=(A[i-1]+A[i-2]+A[i-3])mod q$ 求$(\sum_{i=1}^n \prod_{d|i} d^{A_i})mod10007$的值. $n\leq 300000,q,A[1],A[2],A[3]\leq 10^{16}$. ------------------------ 朴素算法是$O(n^2 \log n)$的,…

/** 题目:hdu6069 Counting Divisors 链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6069 题意:求[l,r]内所有数的k次方的约数个数之和. 思路: 用(1+e1)*(1+e2)*...*(1+en)的公式计算约数个数. 素数筛出[l,r]内的素因子,然后直接计算结果.(一开始我用vector存起来,之后再处理,结果超时, 时间卡的很紧的时候,vector也会很占用时间.) */ #include<iostream>…

d(x)表示x的约数个数,让你求(l,r<=10^12,r-l<=10^6,k<=10^7) #include<cstdio> using namespace std; #define MOD 998244353ll #define MAXP 1000100 typedef long long ll; ll x,y; int T,K; bool isNotPrime[MAXP+10]; int num_prime,prime[MAXP+10]; void shai() { f…

题意 计算\(\sum_{i=l}^kd(i^k)(d_i代表i的因子数)\) 分析 比赛搞了3个小时都没搞出来,有两个思维上的trick 1.要先遍历素数,再遍历[L,R],而不是枚举每个数,然后对每个数进行质因数分解 2.比赛的时候我有想过枚举素数,但是忘记因子计算公式可以分开相乘,而不用一次性求粗来,导致我们队的崩盘,我要背锅!!! 具体的做法:枚举每个素数,并枚举[L,R]中的素数的倍数,对于每个倍数,统计因子个数,用b[i]代表第i个数的因子数,具体键代码 #include <bits…

地址:http://acm.split.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6069 题目: Counting Divisors Time Limit: 10000/5000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 524288/524288 K (Java/Others)Total Submission(s): 1235    Accepted Submission(s): 433 Problem Description In mathem…

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6069 [题意] 给定l,r,k,求 d(n)是n的因子个数 [思路] [Accepted] #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<string> #include<cmath> #include<algorithm> #include<queue>…

题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6069 题目意思:首先解释一下d[n]这个函数表示n有多少个因子,百度一下可以知道这个函数是一个非完全积性函数,d[n]=d[i]*d[j]当且仅当i*j=n,且i和j互质,现在求一个[l,r]区间的所有数d[i^k]的和. 思路:比赛场上知道xjb推出了题目给的这个公式d(n​^k​​)=(kc​1​​+1)(kc​2​​+1)...(kc​m​​+1),还是很容易推了的,可能百度也可以找到吧,还是…

谁是英雄 时间限制:1000 ms  |  内存限制:65535 KB 难度:3 描述 十个数学家(编号0-9)乘气球飞行在太平洋上空.当横越赤道时,他们决定庆祝一下这一壮举.于是他们开了一瓶香槟.不幸 的是,软木塞在气球上打了一个洞,氢气泄漏,气球开始下降,眼看就要落入海中,所有人将要被鲨鱼吃掉. 但是尚有一线生机--若其中一人牺牲自己跳下去的话,那他的朋友们还能多活一会儿.但仍然有一个问题存在--谁 跳下去?所以他们想了一个非常公平的办法来解决这个问题--首先,每人写一个整数ai:然后计 算…

题目: POJ1845 分析: 首先用线性筛把\(A\)分解质因数,得到: \[A=p_1^{a_1}*p_2^{a_2}...*p_n^{a_n} (p_i是质数且a_i>0) \] 则显然\(A^B\)分解质因数后为 \[A=p_1^{a_1B}*p_2^{a_2B}...*p_n^{a_nB} (p_i是质数且a_i>0) \] 接下来隆重推出约数和定理:(证明见[知识总结]约数个数定理和约数和定理及其证明) \[Sum=\prod_{i=1}^n \sum_{j=0}^{a_i}p_i…

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3629 如果要搜索,肯定得质因数分解吧:就应该朝这个方向想. **约数和定理: 对于任意一个大于1的正整数N可以分解正整数:N=P₁^a₁ P₂^a₂…Pn^an,则由约数个数定理可知N的正约数有(a₁+1)(a₂+1)(a₃+1)…(an+1)个,那么N的(a₁+1)(a₂+1)(a₃+1)…(an+1)个正约数的和为f(N)=(P₁^0+P₁^1+P₁^2+…P₁^a₁)(P₂^0+P₂…

Mathematicians love all sorts of odd properties of numbers. For instance, they consider to be an interesting number, since it is the first odd number for which the sum of its divisors is larger than the number itself. To help them search for interest…

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3629 扫除了一个知识盲点:约数和定理 约数和定理: 对于一个大于1正整数n可以分解质因数:n=p1^a1*p2^a2*p3^a3*…*pk^ak,则由约数个数定理可知n的正约数有(a₁+1)(a₂+1)(a₃+1)…(ak+1)个,那么n的(a₁+1)(a₂+1)(a₃+1)…(ak+1)个正约数的和为f(n)=(p1^0+p1^1+p1^2+…p1^a1)(p2^0+p2^1+p2^2+…

https://ac.nowcoder.com/acm/contest/907/B t次询问,每次给你一个数n,求在[1,n]内约数个数最多的数的约数个数 分析: 根据约数和定理:对于一个大于1正整数n可以分解质因数:n=p1^a1*p2^a2*p3^a3*…*pk^ak,则由约数个数定理可知n的正约数有(a₁+1)(a₂+1)(a₃+1)…(ak+1)个, 暴力算出每一个数的约数的个数,超时! 根据唯一分解定理,我们知道每一个数都可以用质因子的积表示,而约数的个数只与指数有关! 我们知道pn>…

2693: jzptab Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 512 MBSubmit: 1194  Solved: 455[Submit][Status][Discuss] Description Input 一个正整数T表示数据组数 接下来T行 每行两个正整数 表示N.M Output T行 每行一个整数 表示第i组数据的结果 Sample Input 1 4 5 Sample Output 122 HINT T <= 10000 N, M<=1000000…

Divisor counting 题目大意:定义f(n)表示整数n的约数个数.给出正整数n,求f(1)+f(2)+...+f(n)的值. 注释:1<=n<=1000,000 想法:我们再次有两种做法:文...武......想讲武的......我们其实这次更博只是为了介绍一种知识点——线性筛法筛积性函数.这里,给出线性筛的万能筛法. 1.初值:显然,初值是必要的. 2.我们类比欧拉筛,用k(n)举例.当n是素数时的情况使我们必须的,这相当于初值一样重要. 3.又因为,我们主要筛积性函数,显然函数…

题面 求\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^md(ij)\) \(\leq 50000\)组数据,\(1\leq n,m\leq 50000\). 题目分析 首先,你需要知道一个结论: \[ d(ij)=\sum\limits_{x|i}\sum\limits_{y|j}[gcd(x,y)==1] \] 你可以认为\(x,y\)表示你选择的因数为\(\frac i x \cdot y\),即:\(x\)表示\(i\)中不要的部分,\(y\)表示\(j\)中要的部分. 如果\(gcd…

题目链接 题意 输入一个整数\(n\)\((n\leq 1e6)\),设\(f(x)=\sum_{i=1}^n x\mod i\),你需要输出\(f(1),f(2)...,f(n)\). 输入输出格式 输入格式: 一个正整数n. 输出格式: 一行用空格分隔的n个整数\(f(1),f(2)...f(n)\). 输入输出样例 输入样例#1: 10 输出样例#1: 9 16 22 25 29 27 29 24 21 13 思路 列表 \i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x mod i\ x…

Counting Divisors Time Limit: 10000/5000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 524288/524288 K (Java/Others)Total Submission(s): 3170    Accepted Submission(s): 1184 Problem Description In mathematics, the function d(n) denotes the number of divisors of…

4514: [Sdoi2016]数字配对 Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 726  Solved: 309[Submit][Status][Discuss] Description 有 n 种数字,第 i 种数字是 ai.有 bi 个,权值是 ci. 若两个数字 ai.aj 满足,ai 是 aj 的倍数,且 ai/aj 是一个质数, 那么这两个数字可以配对,并获得 ci×cj 的价值. 一个数字只能参与一次配对,可以不参与配对. 在…

只会搬运YL巨巨的博客 积性函数 定义 积性函数:对于任意互质的整数a和b有性质f(ab)=f(a)f(b)的数论函数. 完全积性函数:对于任意整数a和b有性质f(ab)=f(a)f(b)的数论函数 性质 两个积性函数的狄利克雷卷积仍为积性函数. 若积性函数满足 \(f(n^p)=f^p(n)\)则它一定是完全积性函数.因为一个数可以唯一分解,则它一定可以表示成质数相乘的形式:因为他时积性函数所以,\(f(\prod_{i=1}^{n}p_i)=\prod _{i=1}^{n}f(p_i)\),…

题目链接:http://codeforces.com/problemset/problem/893/E 题意: 共q组数据(q <= 10^5),每组数据给定x,y(x,y <= 10^6). 问你有多少种长度为y,乘积为x的整数数列.(可以有负数) 题解: 首先考虑数列只有正整数的情况. 将x分解质因数:x = ∑ a[i]*p[i] 由于x较大,所以要先用线性筛求出素数,再枚举素数分解质因数. 那么一个乘积为x的数列可以看做,将x的所有∑ p[i]个质因子,分配到了y个位置上. 设f(i)…

这题首先要会线性筛约数个数,并求出前缀和 bool vis[maxn]; int mm,mu[maxn],prime[maxn],num[maxn],sum[maxn],d[maxn],sum1[maxn]; void init(){ mu[]=;num[]=; ;i<maxn;i++){ if(!vis[i]){ prime[++mm]=i; mu[i]=-; num[i]=; d[i]=; } ;j<=mm;j++){ if(prime[j]*i>=maxn)break; vis[i…

[问题描述] 从1− N中找一些数乘起来使得答案是一个完全平方数,求这个完全平方数最大可能是多少. [输入格式] 第一行一个数字N. [输出格式] 一行,一个整数代表答案对100000007取模之后的答案. [样例输入] 7 [样例输出] 144 [样例解释] 但是塔外面有东西. [数据规模与约定] 对于20%的数据,1<=N<=100. 对于50%的数据,1<=N<=5000. 对于70%的数据,1<=N<=10^5. 对于100%的数据,1<=N<=5*…

洛谷题目传送门 蒟蒻惊叹于一道小小的数论题竟能涉及这么多知识点!不过,掌握了这些知识点,拿下这道题也并非难事. 题意一行就能写下来: 给定\(N,G\),求\(G^{\sum \limits _{d|N}C(N,d)}(\mod999911659)\) 乍一看,指数这么大,要怎么处理好呢?上费马小定理. 平时用费马小定理求逆元用多了,\(a^{p-2}\equiv inv(a)(\mod p)\),搞得蒟蒻差点忘了它原本的样子\(a^{p-1}=1(\mod p)\),那原式的指数\(\sum…

1968: [Ahoi2005]COMMON 约数研究 Time Limit: 1 Sec  Memory Limit: 64 MB Submit: 2939  Solved: 2169 [Submit][Status][Discuss] Description Input 只有一行一个整数 N(0 < N < 1000000). Output 只有一行输出,为整数M,即f(1)到f(N)的累加和. Sample Input 3 Sample Output 5 题解 我们知道一个数x的约数个数…

n!质因数分解后P的个数=n/p+n/(p*p)+n/(p*p*p)+......直到n<p*p*p*...*p //主要代码,就这么点东西,数学真是厉害啊!幸亏我早早的就退了数学2333 do { n/=m; w+=n; }while(n);…

给[L,R]区间的每一个数都质因数分解的复杂度可以达到(R-L)logR,真的涨姿势…… 另外,质因数分解有很重要的一点,就是只需要打sqrt(R)以内的素数表就够了……因为超过sqrt(R)的至多只有一个,分解其他的那些剩下的就是了. 果然学习的过程中要精益求精,把时间和空间都尽量降到最低. 此外还有一个很重要的公式.d(i)表示i的因子个数.那么 #include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; ; ];…