NOI模拟题1 Problem A: sub

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NOI模拟题1 Problem A: sub

题面 Sample Input 5 7 2 -1 -3 1 1 1 2 1 3 3 4 3 5 2 1 3 0 2 1 2 1 2 1 1 -3 2 Sample Output 2 4 5 2 HINT Solution 首先考虑序列上的这个问题: 给定一个序列, 有两种操作修改一个位置上的值询问某个区间中的连续段的最大权值和做法是: 用一个线段树维护这个序列, 每个节点所对应的区间记录以下4个信息: sum表示整个区间的权值和 leftMax表示以包含从最左边开始的区间的连续段最大权值和…

NOI模拟题6 Problem C: Circle

Solution 首先这个矩阵, 很明显的就是Vandermonde矩阵. 我们有公式: \[ |F_n| = \prod_{1 \le j < i \le n} (a_i - a_j) \] 套圈的半径, 显然就是最小圆覆盖问题. 考虑到数据范围比较大, 我们直接做肯定是不行的. 这时候就涉及到一个神奇的东西: 我们知道假如行列式的某两行相同, 则该行列式的值为\(0\). 考虑这道题, 我们发现它生成数据的方式非常奇怪, 假设生成\(x\)组询问, 则所有询问两两不相同的概率为 \[ \pr…

NOI模拟题5 Problem A: 开场题

Solution 注意到\(\gcd\)具有结合律: \[ \gcd(a, b, c) = \gcd(a, \gcd(b, c)) \] 因此我们从后往前, 对于每个位置\(L\), 找到每一段不同的\(\gcd(a_x, a_{x + 1}, \cdots, a_R)\). 我们注意到这样的\(R\)最多只有\(\log\)段. 每个位置合并其后面一个位置的信息. 同时我们还维护序列的前缀异或和, 对于每个异或值, 都开一颗线段树来存储其出现的位置. 随便乱搞即可. #include <cst…

NOI模拟题4 Problem C: 填格子(board)

Solution 首先我们要有敏锐的直觉: 我们将每一列中不选哪种颜色看作是一个序列, 则我们发现这个序列要求相邻两位的颜色不同. 我们还发现, 一个这样的序列对应两种不同的合法的棋盘, 因此统计合法棋盘数的问题, 就转化为了统计合法序列数. 我们不妨设\(R > G > B\). 我们可以用R将这个序列切成\(R - 1\)或\(R\)或\(R + 1\)段, 这取决于序列的开头/结尾是否放R. 一旦确定了序列开头和结尾是否放R, 我们在后面就只考虑在序列中间放R, 而不考虑开头和结尾. 每…

NOI模拟题4 Problem B: 小狐狸(fox)

Solution 考虑分开统计朝向每一个方向的所有狐狸对答案的贡献. 比如说以向右为例, 我们用箭标表示每一只狐狸的方向, 用\('\)表示当前一步移动之前的每一只狐狸的位置. \[ \begin{aligned} \sum_{d_i = \rightarrow} x_iy_i &= \left( \sum_{d_i = \rightarrow} S \times (x_i' + 1)y_i' \right) + \left( \sum_{d_i = \uparrow} L \times x_i…

NOI模拟题4 Problem A: 生成树(mst)

Solution 我们考虑答案的表达式: \[ ans = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n - 1} (w_i - \overline{w})^2}{n - 1}} \] 其中\(w[i]\)表示选择的每一条边的权值. 考虑一种朴素的做法: 我们枚举每一个\(\overline{w}\), 把所有边按照其对答案的贡献\((w_i - \overline{w})^2\)排序, 然后用普通的kruskal解决即可. 这种做法的本质在于枚举每一个可能的\((w_i - \ove…