【xsy1301】原题的价值组合数+斯特林数+FFT

题目大意:求$n\times2^{\frac{(n-1)(n-2)/2}{2}}\sum\limits_{i=0}^{n-1}\dbinom{n-1}{i}i^k$ 数据范围:$n≤10^9$,$k≤10^5$,答案对$998244353$取模. 我们令$F(n,k)=\sum\limits_{i=0}^{n-1}\binom{n-1}{i}i^k$. 那么最终要输出的东西显然就是$n\times2^{\frac{(n-1)(n-2)/2}{2}}F(n,k)$ 我们令$G(n,k)=(n-1)…

【bzoj5093】 [Lydsy1711月赛]图的价值组合数+斯特林数+NTT

Description "简单无向图"是指无重边.无自环的无向图(不一定连通). 一个带标号的图的价值定义为每个点度数的k次方的和. 给定n和k,请计算所有n个点的带标号的简单无向图的价值之和. 因为答案很大,请对998244353取模输出. Input 第一行包含两个正整数n,k(1<=n<=10^9,1<=k<=200000). Output 输出一行一个整数,即答案对998244353取模的结果. Sample Input 6 5 Sample Outpu…

【洛谷2791】幼儿园篮球题（第二类斯特林数，NTT）

[洛谷2791]幼儿园篮球题(第二类斯特林数,NTT) 题面洛谷题解对于每一组询问,要求的东西本质上就是: \[\sum_{i=0}^{k}{m\choose i}{n-m\choose k-i}i^L\] 如果没有后面那个部分,就是一个范德蒙恒等式,所以就要把这个$i^L$直接拆掉. 然后直接拿第二类斯特林数来拆: \[i^L=\sum_{j=0}^L\begin{Bmatrix}L\\j\end{Bmatrix}{i\choose j}j!\] 于是就把答案拆成了: \[\begi…

【CF960G】Bandit Blues（第一类斯特林数,FFT）

[CF960G]Bandit Blues(第一类斯特林数,FFT) 题面洛谷 CF 求前缀最大值有$a$个,后缀最大值有$b$个的长度为$n$的排列个数. 题解完完全全就是[FJOI]建筑师的加强版本. 显然每一个前缀最大值和一段连续的区间构成了一个环排列,显然每个前缀最大值就是这个环中的最大值.而全局最大值一定把前后缀最大值分开. 所以答案考虑除最大值外,左侧需要$a-1$个前缀最大值,右侧需要$b-1$个前缀最大值.也就是一共要$a+b-2$个环,那么这一部分的贡…

【XSY1301】原题的价值第二类斯特林数 NTT

题目描述给你$n,m$,求所有$n$个点的简单无向图中每个点度数的$m$次方的和. $n\leq {10}^9,m\leq {10}^5$ 题解 $g_n$为$n$个点的无向图个数,$f_n$为$n$个点的答案. \[ \begin{align} g_n&=2^{\binom{n}{2}}\\ f_n&=ng_{n-1}\sum_{i=0}^{n-1}\binom{n-1}{i}i^m\\ &=ng_{n-1}\sum_{i=0}^{n-1}\bi…

[2016北京集训测试赛17]crash的游戏-[组合数+斯特林数+拉格朗日插值]

Description Solution 核心思想是把组合数当成一个奇怪的多项式,然后拉格朗日插值..:哦对了,还要用到第二类斯特林数(就是把若干个球放到若干个盒子)的一个公式: $x^{n}=\sum _{i=0}^{n}C(n,i)*i!*S(i,x)$ 围观大佬博客(qaq公式太难打了) Code #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<cmath> using na…

hdu 4045 2011北京赛区网络赛F 组合数+斯特林数 ***

插板法基础知识斯特林数见百科 #include<iostream> #include<cmath> #include<cstdio> #include<cstring> #define LL long long #define eps 1e-7 #define MOD 1000000007 using namespace std; ][]={},stir2[][]={}; int main(){ ;i<=;i++){ c[i][]=c[i][i]=;…

BZOJ.5093.[Lydsy1711月赛]图的价值(NTT 斯特林数)

题目链接对于单独一个点,我们枚举它的度数(有多少条边)来计算它的贡献:\[\sum_{i=0}^{n-1}i^kC_{n-1}^i2^{\frac{(n-2)(n-1)}{2}}\] 每个点是一样的,所以\[Ans=n\cdot 2^{\frac{(n-2)(n-1)}{2}}\sum_{i=0}^{n-1}C_{n-1}^ii^k\] 考虑如何计算$\sum_{i=0}^{n-1}C_{n-1}^ii^k$. 然后...dalao看到$i^k$就想起了第二类斯特林数: \(S(n,m…

洛谷 P2791 - 幼儿园篮球题（第二类斯特林数）

题面传送门首先写出式子: \[ans=\sum\limits_{i=0}^m\dbinom{m}{i}\dbinom{n-m}{k-i}·i^L \] 看到后面有个幂,我们看它不爽,因此考虑将其拆开,具体来说,根据普通幂转下降幂的式子: \[i^L=\sum\limits_{j=1}^L\begin{Bmatrix}L\\j\end{Bmatrix}\dbinom{i}{j}·j! \] 我们可以得到 \[ans=\sum\limits_{i=0}^m\dbinom{m}{i}\dbinom{…

poj 1430 Binary Stirling Number 求斯特林数奇偶性数形结合| 斯特林数奇偶性与组合数的关系+lucas定理好题

题目大意求子集斯特林数$\left\{\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right\}\%2$ 方法1 数形结合推荐一篇超棒的博客by Sdchr 就是根据斯特林的递推式,分奇偶讨论得到一个函数$P_{n,m}\equiv\left\{\begin{matrix}n\\m\end{matrix}\right\}\% 2$ 再根据函数递推式通过画图,数形结合转化成图中从一点走到另一点的方案数变成组合问题求解做法这是给连插板都不会的我看的 \(a_1…

bzoj5093图的价值：多项式，斯特林数（二项式反演）

Description “简单无向图”是指无重边.无自环的无向图(不一定连通). 一个带标号的图的价值定义为每个点度数的k次方的和. 给定n和k,请计算所有n个点的带标号的简单无向图的价值之和. 因为答案很大,请对998244353取模输出.$n \le 10^9,k \le 200000$ 化学学考时含义推式子+手动打表找规律得到了一个$O(nlogn)$的式子开心的很我以为我要AC了回来看数据范围就升天了. 问NC大神这题用到了什么:斯特林数/伯努利数.然后就自闭了学了一天的知识点还去做了点…

BZOJ 5093: [Lydsy1711月赛]图的价值第二类斯特林数+NTT

定义有向图的价值为图中每一个点的度数的 $k$ 次方之和. 求:对于 $n$ 个点的无向图所有可能情况的图的价值之和. 遇到这种题,八成是每个点单独算贡献,然后累加起来. 我们可以枚举一个点的度数是多少,然后试着去算该情况下的贡献,即 $\sum_{i=0}^{n-1}\binom{n-1}{i}i^k$ 由于一共有 $n$ 个点,而除了我们限定的边之外其余的边都是可以随便连的. 故 \(Ans=n\times 2^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}\times \su…

【BZOJ5093】图的价值（第二类斯特林数，组合数学，NTT）

[BZOJ5093]图的价值(第二类斯特林数,组合数学,NTT) 题面 BZOJ 题解单独考虑每一个点的贡献: 因为不知道它连了几条边,所以枚举一下 \[\sum_{i=0}^{n-1}C_{n-1}^i·i^k·2^{\frac{n(n-1)}{2}}\] 因为有$n$个点,所以还要乘以一个$n$ 所以,我们真正要求的就是: \[\sum_{i=0}^{n-1}C_{n-1}^i·i^k\] 怎么做? 看到了$i^k$想到了第二类斯特林数 \[m^n=\sum_{i=0}^{m}…

BZOJ5093图的价值(斯特林数)

题目描述 “简单无向图”是指无重边.无自环的无向图(不一定连通). 一个带标号的图的价值定义为每个点度数的k次方的和. 给定n和k,请计算所有n个点的带标号的简单无向图的价值之和. 因为答案很大,请对998244353取模输出. 题解因为懒得敲公式了,所以就直接粘题解了. 我们发现在这张图中每个点都是等价的,所以我们就只需要考虑一个点的贡献,最后乘上n就可以了. . 当一个点的度数为i时,我们可以从其他n-1个点中任意挑出i个点和它连边,而其余n-1个点之间可以任意连边. 然后我们发现后面那一…

洛谷P4609 [FJOI2016]建筑师（第一类斯特林数+组合数）

题面洛谷题解 (图片来源于网络,侵删) 以最高的柱子$n$为分界线,我们将左边的一个柱子和它右边的省略号看作一个圆排列,右边的一个柱子和它左边的省略号看作一个圆排列,于是,除了中间的最高的柱子,我们可以把剩下的$n-1$根柱子放入这$A+B-2$(左边$A-1$个右边$B-1$个)个圆排列中(第一类斯特林数),然后在根据组合数进行区分,有: \[ ans=s_{n-1}^{A+B-2}\times C_{A+B-2}^{A-1} \] 预处理第一类斯特林和组合数即可. #…

【洛谷2791】幼儿园篮球题第二类斯特林数+NTT

求 $\sum_{i=0}^{k}\binom{m}{i}\binom{n-m}{k-i}i^L$ $(1\leqslant n,m\leqslant 2\times 10^7,1\leqslant L\leqslant 2\times 10^5)$ 这个式子比较简洁,然后也没啥可推的,所以我们将 $i^L$ 展开. 那么原式为 \(\sum_{i=0}^{k}\binom{m}{i}\binom{n-m}{k-i}\sum_{j=0}^{i}\binom{i}{j}S(L,j)\t…

BZOJ5093 图的价值——推式子+第二类斯特林数

原题链接题解题目等价于求这个式子 \[ans=n2^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}\sum\limits_{i=0}^{n-1}\binom{n-1}{i}i^k\] 有这么一个式子 \[i^k=\sum\limits_{j=0}^{i}\begin{Bmatrix} k\\ j \end{Bmatrix}j!\binom{i}{j}\] 代入可得 \[ans=n2^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}\sum\limits_{i=0}^{n-1}\binom{n-1}…

luoguP6620 [省选联考 2020 A 卷] 组合数问题(斯特林数)

luoguP6620 [省选联考 2020 A 卷] 组合数问题(斯特林数) Luogu 题外话: LN切这题的人比切T1的多. 我都想到了组合意义乱搞也想到可能用斯特林数为啥还是没做出来... 我怕不是除了数据结构啥也不会. 我是傻逼. 题解时间不弄纯柿子推导,来点阳间的组合意义证明. 首先毫无疑问拆成: $$ \sum_{i=0}^{m} a_{i} \sum_{k=0}^{n} k^{i} \cdot x^{k} \cdot \binom{n}{k} $$ 然后考虑如何求 $$ \sum…

[题解] LOJ 3300 洛谷 P6620 [省选联考 2020 A 卷] 组合数问题数学，第二类斯特林数，下降幂

题目题目里要求的是: \[\sum_{k=0}^n f(k) \times X^k \times \binom nk \] 这里面出现了给定的多项式,还有组合数,这种题目的套路就是先把给定的普通多项式转成下降幂多项式.这一步可以做到$O(mlogm)$,(模板)但是这题不需要,这个后面再说.假设现在已经得出了f的下降幂多项式的系数$b_i$,则: \[\begin{align} f(k)&=\sum_{i=0}^m b_ik^{\underline i}\\ ans&=\sum_…

BZOJ 2159: Crash 的文明世界（树形dp+第二类斯特林数+组合数）

题意给定一棵 $n$ 个点的树和一个常数 $k$ , 对于每个 $i$ , 求 \[\displaystyle S(i) = \sum _{j=1} ^ {n} \mathrm{dist}(i, j)^k\] $n ≤ 50000, k ≤ 150$ 题解先划划那个 $S(i)$ 的式子我们需要知道一个化 $x^n(n \ge 0)$ 的东西qwq \[\displaystyle x^n=\sum_{k=0}^{n}\begin{Bmatrix} n \\ k \e…

bzoj 5093 [Lydsy1711月赛]图的价值——第二类斯特林数

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=5093 不要见到组合数就拆! 枚举每个点的度数,则答案为 $ n*\sum\limits_{i=0}^{n-1}C_{n-1}^{i}*2^{C_{n-1}^{2}}*i^{k} $ (又是那个公式:$ x^{n}=\sum\limits_{k=0}^{n}C_{x}^{k}*(k!)*S(n,k) $) \( = n*2^{C_{n-1}^{2}}\sum\limits_{i=0}…

bzoj 5093 [Lydsy1711月赛]图的价值 NTT+第二类斯特林数

[Lydsy1711月赛]图的价值 Time Limit: 30 Sec Memory Limit: 256 MBSubmit: 245 Solved: 128[Submit][Status][Discuss] Description “简单无向图”是指无重边.无自环的无向图(不一定连通). 一个带标号的图的价值定义为每个点度数的k次方的和. 给定n和k,请计算所有n个点的带标号的简单无向图的价值之和. 因为答案很大,请对998244353取模输出. Input 第一行包含两个正整数n,…

bzoj 5093 图的价值 —— 第二类斯特林数+NTT

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=5093 每个点都是等价的,从点的贡献来看,得到式子: $ ans = n * \sum\limits_{d=0}^{n-1} d^{k} * 2^{C_{n-1}^{2}} * C_{n-1}^{d} $ 使用 $ n^{k} = \sum\limits_{i=0}^{k} S(k,i) * i! *C_{n}^{i} $ 得到 \( ans = n * \sum\limits_{d…

【bzoj5093】[Lydsy1711月赛]图的价值（NTT+第二类斯特林数）

题意: 给定$n$个点,一个图的价值定义为所有点的度数的$k$次方之和. 现在计算所有$n$个点的简单无向图的价值之和. 思路: 将式子列出来: \[ \sum_{i=1}^n\sum_{j=0}^{n-1}{n-1\choose j}2^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}j^k \] 表示分别考虑每个点的贡献,我们只需要枚举其度数即可,其余的边任意连. 然后我们将后面的$j^k$用第二类斯特林数展开: \[ \begin{aligned} &\sum_{i=1}^{n…