[NAIPC2016]Jewel Thief(决策单调性+分治) 题面 原题提交地址(题目编号H) 原题面下载地址 有\(n\)个物品,每个物品有一个体积\(w_i\)和价值\(v_i\),现在要求对\(V \in [1,m]\),求出体积为\(V\)的 背包能够装下的最大价值 \(1 ≤ n ≤ 1000000; 1 ≤ m ≤ 100000; 1 ≤ w_i ≤ 300; 1 ≤ v_i ≤ 10^9\) 分析 决策单调性发现 注意到物品的体积很小,考虑按体积分类,选取同种体积的物品时,一定…

P2877 [USACO07JAN]牛校Cow School 01分数规划是啥(转) 决策单调性分治,可以解决(不限于)一些你知道要用斜率优化却不会写的问题 怎么证明?可以暴力打表 我们用$ask(l,r,dl,dr)$表示处理区间$[l,r]$时,这段区间的决策点已固定在$[dl,dr]$中 设$mid=(l+r)/2$,暴力处理$mid$的最优决策点$dm$ 再向下分治$ask(l,mid-1,dl,dm)$,$ask(mid+1,r,dm,dr)$ 对于本题,先按$t[i]/p[i]$从大…

Bzoj4951:决策单调性 分治 国际惯例题面:一句话题面:供应商出货日期为Ei,售价为Pi:用户收购截止日期为Si,收购价格为Gi.我们要求max((Si-Ej)*(Gi-Pj)).显然如果我们把这两者都按照Ei,Si递增排序,则Pi,Gi都是单调降的.为什么?如果一个供应商生产时间后且价格高,显然你不会选择他:如果一个用户购买时间短且收购价格低,显然你也不会选择他.然后我们会写n^2暴力了.考虑优化. 这种DP要么斜率+数据结构优化,要么就是决策单调性.考虑斜率优化,发现这是一个三维凸包问…

P3515 [POI2011]Lightning Conductor 式子可转化为:$p>=a_j-a_i+sqrt(i-j) (j<i)$ $j>i$的情况,把上式翻转即可得到 下面给一张图证明这是满足决策单调性的 把$a_j+sqrt(i-j)$表示在坐标系上 显然$sqrt(i-j)$的增长速度趋缓 曲线$a$被曲线$b$超过后是无法翻身的 对两个方向进行决策单调性分治,取$max$即可 #include<iostream> #include<cstdio>…

题目描述 有这样一款新的坦克游戏.在游戏中,你将操纵一辆坦克,在一个N×M的区域中完成一项任务.在此的区域中,将会有许多可攻击的目标,而你每摧毁这样的一个目标,就将获得与目标价值相等的分数.只有获得了最高的分数,任务才算完成.同时,为了增加游戏的真实性和难度,该游戏还做了以下的限制: 1)坦克有射程r的限制.为方便计算,射程r规定为:若坦克位于(x, y)格,则它可攻击的目标(x1, y1)必须满足|x-x1|, |y-y1|∈[0, r]. 2)对坦克完成任务的时间有严格限制,规定为t秒.其中…

显然有决策单调性,但由于逆序对不容易计算,考虑分治DP. solve(k,x,y,l,r)表示当前需要选k段,待更新的位置为[l,r],这些位置的可能决策点区间为[x,y].暴力计算出(l+r)/2的决策位置s,两边递归下去继续操作.solve(k,x,s,l,mid-1),solve(k,s,y,mid+1,r). 注意到每个位置每层只会被一个区间遍历到,加上树状数组在线更新逆序对的复杂度,总复杂度为$O(kn\log^2n)$ #include<cstdio> #include<al…

https://loj.ac/problem/6039 我们设dp[i][j]表示考虑所有价值小于等于i的物品,带了j块钱的最大吸引力. 对于ci相同的物品,我们一定是从大到小选k个物品,又发现最大的k个的价值在k变大的时候增长率是单调减的. 同时对于同样的ci,被转移和转移到的状态mod ci同余. 这些dp值也具有单调性,因此这个dp具有决策单调性. 我们用分治优化转移.负责度O(c*k*logk) #include<iostream> #include<cstring> #i…

题目要求... 化简得... 显然m和sum^2是已知的,那么只要让sigma(si^2)最小,那就变成了求最小平方和的最小值,经典的决策单调性,用分治优化即可. 斜率优化忘得差不多就不写了 #include<iostream> #include<cstring> #include<cstdlib> #include<cstdio> #include<algorithm> #define ll long long using namespace…

传送门 题意简述:给一个N个点的凸多边形,求离每一个点最远的点. 思路:先根据初中数学知识证明决策是满足单调性的,然后上分治优化即可. 才不是因为博主懒得写二分+栈优化呢 代码: #include<bits/stdc++.h> #define ri register int using namespace std; inline int read(){ int ans=0; bool f=1; char ch=getchar(); while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')…

4367: [IOI2014]holiday假期 Time Limit: 20 Sec  Memory Limit: 64 MBSubmit: 421  Solved: 128[Submit][Status][Discuss] Description 健佳正在制定下个假期去台湾的游玩计划.在这个假期,健佳将会在城市之间奔波,并且参观这些城市的景点. 在台湾共有n个城市,它们全部位于一条高速公路上.这些城市连续地编号为0到n-1.对于城市i(0<i<n-1)而言,与其相邻的城市是i-1和i+1.…

题意 题目链接 给定一个长度为\(n\)的序列.你需要将它分为\(m\)段,每一段的代价为这一段内相同的数的对数,最小化代价总和. \(n<=10^5,m<=20\) Sol 看完题解之后的感受: 首先列出裸的dp方程,\(f[i][j]\)表示前\(i\)个位置,切了\(j\)次,转移的时候枚举上一次且在了哪儿 \(f[i][j] = max(f[k][j - 1] + w(k, i))\) \(w(k, i)\)表示\([k, i]\)内相同的数的对数.. 然后sb的我以为拿个单调队列维护…

用途 废话,当然是在DP式子满足某些性质的时候来优化复杂度-- 定义 对于\(j\)往大于\(j\)的\(i\)转移,可以表示成一个关于\(i\)的函数\(f_j(i)\),也就是\(dp_i=\max/\min\{f_j(i)\}\). 若是取\(\max\),并且在某一个地方\(f_j(i)\)从下面跑到了\(f_k(i)\)的上面(如果加入\(f_j(i)\)这个函数时本来就在\(f_k(i)\)的上面那么不算),就称之为\(j\)取代了\(k\).取\(\min\)同理. 如果满足决策单…

pro:给定N,M.输入N个物品,(si,vi)表示第i个物品体积为si,价值为vi,s<=300,vi<=1e9: N<1e6:现在要求,对于背包体积为1到M时,求出最大背包价值. sol:显然直接跑背包会爆炸. 发现物品体积都比较小,我们先对相同体积的排序,对于体积相同的一起处理. 然后发现转移都是在差为体积整数倍之间,按照容量对体积取模分组 ,发现组内部转移满足神奇的决策单调性. 然后就是s次分治. O(KClogC) #include<bits/stdc++.h> #…

题意 给定一个序列 \(\{a_1, a_2, \cdots, a_n\}\),要把它分成恰好 \(k\) 个连续子序列. 每个连续子序列的费用是其中相同元素的对数,求所有划分中的费用之和的最小值. \(2 \le n \le 10^5, 2 \le k \le \min(n, 20), 1 \le a_i \le n\) 题解 \(k\) 比较小,可以先考虑一个暴力 \(dp\) . 令 \(dp_{k, i}\) 为前 \(i\) 个数划分成 \(k\) 段所需要的最小花费. 那么转移如下…

题意: 给定一个序列,你要将其分为k段,总的代价为每段的权值之和,求最小代价. 定义一段序列的权值为$\sum_{i = 1}^{n}{\binom{cnt_{i}}{2}}$,其中$cnt_{i}$表示当前这段序列中数字大小为i的数的个数. 题解: 先考虑暴力DP, f[i][j]表示DP到i位,分为j段的最小代价. 则$f[i][j] = min(f[l - 1][j] + sum[l][i])$,其中sum[l][i]表示区间[l, i]分成一段的代价. 然后可以发现,这是具有决策单调性的…

洛谷题目传送门 貌似做所有的DP题都要先搞出暴力式子,再往正解上靠... 设\(f_{i,j}\)为前\(i\)个数分\(j\)段的最小花费,\(w_{l,r}\)为\([l,r]\)全在一段的费用. \[f_{i,j}=\min\limits_{k=1}^{i}\{f_{k,j-1}+w_{k,i}\}\] 显然\(j\)这一维可以滚掉,于是变成\(g_i=\min\limits_{k=1}^{i}\{f_k+w_{k,i}\}\)做\(m\)遍(题目中的\(k\)) 这又是一个决策单调性优化…

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2739 分治处理决策单调性的思想就是先找到一个询问,枚举所有可能的转移找到它的决策点,那么这个询问之前的询问的决策点就是在该决策点之前(含)的,这个询问之后的询问的决策点就是在该决策点之后(含)的. 但是有那个“(含)”,所以复杂度可能被卡? #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define…

设f[i][j]为前i个划成j段的最小代价,枚举上个划分点转移.容易想到这个dp有决策单调性,感性证明一下比较显然.如果用单调栈维护决策就不太能快速的求出逆序对个数了,改为使用分治,移动端点时树状数组维护即可,类似莫队的每次都在原有基础上更新.注意更新时先加再减.感觉复杂度非常玄学丝毫不能看出为啥只需要更新nlog次? #include<iostream> #include<cstdio> #include<cmath> #include<cstdlib>…

小Q有n本书,每本书有一个独一无二的编号,现在它们正零乱地在地上排成了一排. 小Q希望把这一排书分成恰好k段,使得每段至少有一本书,然后把每段按照现在的顺序依次放到k层书架的每一层上去.将所有书都放到书架上后,小Q这才突然意识到它们是乱序的,他只好把每一层的书分别按照编号 从小到大排序.排序每次可以在1单位时间内交换同一层上两本相邻的书. 请写一个程序,帮助小Q计算如何划分这k段,且如何交换这些书,使得总交换次数最少. Input 第一行包含两个正整数n; k(1≤n≤40000;1≤k≤min…

LINK 题目大意 给你一个序列分成k段 每一段的代价是满足\((a_i=a_j)\)的无序数对\((i,j)\)的个数 求最小的代价 思路 首先有一个暴力dp的思路是\(dp_{i,k}=min(dp_{j,k}+calc(j+1,i))\) 然后看看怎么优化 证明一下这个DP的决策单调性: trz说可以冥想一下是对的就可以 所以我就不证了 (其实就是决策点向左移动一定不会更优) 然后就分治记录当前的处理区间和决策区间就可以啦 //Author: dream_maker #include<bi…

Description 对于一个区间集合 {A1,A2--Ak}(K>1,Ai不等于Aj(i不等于J),定义其权值 S=|A1∪A2∪--AK|*|A1∩A2--∩Ak| 即它们的交区间的长度乘上它们并区间的长度. 显然,如果这些区间没有交集则权值为0. Your Task 给定你若干互不相等的区间,选出若干区间使其权值最大. Input 第一行n表示区间的个数 接下来n行每行两个整数l r描述一个区间[l,r] Output 在一行中输出最大权值 Sample Input 4 1 6 4 8…

每个pi要求 这个只需要正反DP(?)一次就行了,可以发现这个是有决策单调性的,用分治优化 #include<iostream> #include<cstring> #include<cstdlib> #include<cstdio> #include<cmath> #include<algorithm> using namespace std; ,inf=1e9; int n; ]; void read(int &k) {…

根据旋转卡壳,当逆时针遍历点时,相应的最远点也逆时针转动,满足决策单调性.于是倍长成链,分治优化DP即可,复杂度O(n^2). #include<cstdio> #include<algorithm> #define rep(i,l,r) for (int i=(l); i<=(r); i++) typedef long long ll; using namespace std; ,inf=1e9; int n,T,ans[N]; struct P{ int x,y,id;…

分析 好像是有一个叫这个名字的算法,链接. 令\(f[i][j][k]\)表示一辆每公里耗油量为\(1\)的货车从\(i\)到\(j\)中途加\(k\)次油最小的油箱容量.枚举所有的起点和中途加油的次数,这样就固定了两维,显然有DP方程: \[ f[i][j][k]= \min_{p=i}^{j} ( \max (f[i][p][k-1],a[j]-a[p])) \] 根据生活经验题意显然这个DP具有决策单调性,可以用分治优化一下. 具体来说就是每次大力求出\(mid=(l+r)/2\)的决策点…

2739: 最远点 Time Limit: 20 Sec Memory Limit: 256 MB Description 给你一个N个点的凸多边形,求离每一个点最远的点. Input 本题有多组数据,第一行一个数T,表示数据组数. 每组数据第一行一个数N,表示凸多边形点的个数,接下来N对数,依次表示1~N这N个点的坐标,按照逆时针给出. Output 对于每组数据输出N个数,第i个数表示离第i个点最远的点的编号,如果有多个最远点,输出编号最小的. Sample Input 1 4 0 0 1…

前缀和优化 当DP过程中需要反复从一个求和式转移的话,可以先把它预处理一下.运算一般都要满足可减性. 比较naive就不展开了. 题目 [Todo]洛谷P2513 [HAOI2009]逆序对数列 [Done]洛谷P2511 [HAOI2008]木棍分割 [Done]洛谷P4099 [HEOI2013]SAO [Done]NOIAC37 染色 单调队列优化 前置技能:单调队列(经典的问题模型:洛谷P1886 滑动窗口) 用于优化形如\(f_i=\min/\max_{j=l_i}^{i-1}\{g_…

update in 2019.1.21 优化了一下文中年代久远的代码 的格式…… 什么是决策单调性? 在满足决策单调性的情况下,通常决策点会形如1111112222224444445555588888..... 即不可能会出现后面点的决策点小于前面点的决策点这种情况. 那么这个性质应该如何使用呢? 1,二分. 考虑到决策点单调递增,因此我们考虑用单调队列存下当前的决策选取情况. 单调队列中存的量会带3个信息:这是哪个决策点,这个决策点会给哪个区间的点产生贡献(这是一个区间,所以算2个信息) 相当…

决策单调性: 对于一些dp方程,经过一系列的猜想和证明,可以得出,所有取的最优解的转移点(即决策点)位置是单调递增的. 即:假设f[i]=min(f[j]+b[j]) (j<i) 并且,对于任意f[i]的决策点g[i],总有f[i+1]的决策点g[i+1]>=g[i](或者<=g[i]) 那么,这个方程就具备决策单调性. 这个有什么用吗? 不懂具体优化方法的话确实也没有什么用.可能还是n^2的.只不过范围可能少了一些. 一 经典入门例题: Description: [POI2011]Li…

题意:给出N个人,现在让你分P组,每组的工作效率是最小结束时间-最大开始时间,要求每一组的效率的正数,求最大效率和.N<1000 思路: 把包含至少一个其他的分到A组:否则到B组. A组的要么单独分到一组,要么和它包含的某一个在一组(可以反证,假设已经分好组了,现在把不是单独分组的A加进去,如果分到不是包含关系的里面去,只会把答案变小). 分组可以用栈进行. 而不是N^2枚举,因为多个相同的时候我们可以要保留一个作为最小的一个分到B组. 然后,现在A里面的没有包含关系了,我们可以排序,排序后一定…

一般的式子都是 $f_i = max\{g_j + w_{(i,j)}\}$ 然后这个 $w$ 满足决策单调性,也就是对于任意 $i < j$ ,$best_i \leq best_j$ 这样就会有两种优化方式 1.$w_{(i,j)}$ 可以快速求 例如:NOI 2009 诗人小 G 题里给了你 $L,P$ 和单调递增的 $s$ 数组,然后 $f_i = min \{ f_j + |s_i-s_j-L-1|^P \} \space (j < i)$ 可以发现以一个点为最优决策的点是一段区间…