MT【318】分式不等式双代换】的更多相关文章

已知$a,b>0$且$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{2}{3}$,求$\dfrac{1}{a-1}+\dfrac{4}{b-1}$的最小值. 解:令$m=\dfrac{1}{a},n=\dfrac{1}{b}$,则$m+n=\dfrac{2}{3}$$\dfrac{1}{a-1}+\dfrac{4}{b-1}=\dfrac{m}{1-m}+\dfrac{4n}{1-n}=\dfrac{1}{1-m}+\dfrac{4}{1-n}-5\ge\dfrac{(1+2…
关于namespace,双冒号::的用法. 防止引用多个模块在一个文件/类中,有重名的对象.::可以调用类的类方法,和常量. class Foo   BAR = "hello"   def self.hello     puts "world"   end end  p Foo::BAR ✅ Foo::hello  ✅ 根据用法规范,不建议用::给类的对象引用实例方法,应该用. (period句号) SelfYield. 当给方法传递一个块时,你期望这个方法会通过y…
实数$a,b,c$满足$a^2+b^2+c^2=1$求$f=\min\{(a-b)^2,(b-c)^2,(c-a)^2\}$的最大值 分析:由对称性不妨设$c\ge b\ge a$,令$b-a=s,c-b=t,$其中$s,t\ge 0$则条件变为$3a^2+(4s+2t)a+2s^2+2st+t^2-1=0$由判别式$\Delta\ge0$得$s^2+t^2+st\le\dfrac{3}{2}$故$f=\min\{s^2,t^2\}\le\dfrac{s^2+t^2+st}{3}\le\dfra…
若函数$f(x)=x^2+(\dfrac{1}{3}+a)x+b$在$[-1,1]$上有零点,则$a^2-3b$的最小值为_____ 分析:设零点为$x_0$,则$b=-x^2_0-(\dfrac{1}{3}+a)x_0$,$a^2-3b=a^2+3x_0^2+(1+3a)x_0=(a+\dfrac{3}{2}x_0)^2+\dfrac{3}{4}(x_0+\dfrac{2}{3})^2-\dfrac{1}{3}\ge-\dfrac{1}{3}$练习:设二次函数$f(x)=ax^2+(2b+1)…
] 评:此题有分析的味道在里面,用到了n次多项式的韦达定理,用到了零点存在定理以及代数基本定理:n次多项式在复数域上有n个根.…
1.转换方式 V-T型间接转换ADC. 2.  电路结构 图1是这种转换器的原理电路,它由积分器(由集成运放A组成).过零比较器(C).时钟脉冲控制门(G)和计数器(ff0-ffn)等几部分组成 图1 双积分A/D转换器     (1)积分器      积分器是转换器的核心部分,它的输入端所接开关S1由定时信号Qn控制.当Qn为不同电平时,极性相反的输入电压vI和参考电压 VREF将分别加到积分器的输入端,进行两次方向相反的积分,积分时间常数τ=RC.     (2)过零比较器     过零比较…
设$a,b,c>0,$满足$a+b+c\le abc$证明:$\dfrac{1}{\sqrt{1+a^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+b^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+c^2}}\le\dfrac{3}{2}$ 证明:设$a=\dfrac{1}{x},b=\dfrac{1}{y},c=\dfrac{1}{z}$由$a+b+c\le abc$知$xy+yz+zx\le 1$\begin{align}\label{} \sum\dfrac{1}{\sqrt{1+a^2}}…
解答:这里数学归纳法证明时指出关键的变形. 评:撇开琴生不等式自身的应用和意义外,单单就这个证明也是一道非常不错的练习数学归纳法的经典题目.…
评:切线不等式和琴生(Jesen)不等式都是有其几何意义的,在对称式中每一项单变量后利用图像的凹凸性得到一个线性的关系式.已知的条件往往就是线性条件,从而可以得到最值.…
(2018武汉大学自招)设$x,y,z\ge0,xy+yz+zx=1$证明:$\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{y+z}+\dfrac{1}{z+x}\ge \dfrac{5}{2}$ 证明:\begin{align*}\textbf{原式} & \iff 2\sum{(y+z)(z+x)}-5\prod(x+y)\ge0\\ & \iff 2\sum{z^2+(x+y)z+xy}-5\left((x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz\right)\ge0\\ &…
题目链接:http://poj.org/problem?id=1183 这道题关键在于数学式子的推导,由题目有1/a=(1/b+1/c)/(1-1/(b*c))---------->a=(b*c-1)/(b+c). 要求b+c的最小值,利用数学中的总体思想.令y=b+c.推导出ay=by-b^2-1. 再令t=b-a,得到了y=t+(a^2+1)/t+2a. 求y的最小值,非常easy想到数学中的基本不等式,x+a/x>=2根a.当x=a/x时取等号. 可是对于本题sqrt(a*a+1)不一定…
若正实数$x,y$满足$x^3+y^3=(4x-5y)y$ 则 $y$ 的最大值为____ 解答:$x^3+y^3+y^2=4(x-y)y\le x^2$,故$y^3+y^2=x^2-x^3=\dfrac{x(2-2x)x}{2}\le\dfrac{4}{27}$,故由$f(t)=t^3+t^2$的单调性$y\le \dfrac{1}{3}$…
当$x,y\ge0,x+y=2$时求下面式子的最小值:1)$x+\sqrt{x^2-2x+y^2+1}$2)$\dfrac{1}{5}x+\sqrt{x^2-2x+y^2+1}$ 解:1)$P(x,y)$为直线$x+y=2$上一点,点$H$为$P$到$y$轴的投影点, 设$A(1,0)$则$A$关于$x+y=2$的对称点$A'(2,1)$ 故$x+\sqrt{x^2-2x+y^2+1}=|PH|+|PA|= |PH|+|PA'|\ge2$2)$\dfrac{1}{5}x+\sqrt{x^2-2x…
已知 $a,b,c\in\mathbb R$,求证:$|a|+|b|+|c|+|a+b+c|\geqslant |a+b|+|b+c|+|c+a|$ 分析:不妨设$c=\max\{a,b,c\},\dfrac{a}{c}=x,\dfrac{b}{c}=y$两边同除$|c|$后只需证明 $|x|+|y|+1+|x+y+1|\ge|x+y|+|y+1|+|x+1|$注意到恒等式$|x|+|y|+|z|=\max\{|x+y+z|,|x+y-z|,|x-y+z|,|x-y-z|\}$,易得. 练习:…
(2014北约自主招生)已知正实数$x_1,x_2,\cdots,x_n$满足$x_1x_2\cdots x_n=1,$求证:$(\sqrt{2}+x_1)(\sqrt{2}+x_2)\cdots(\sqrt{2}+x_n)\ge(\sqrt{2}+1)^n$ 分析:根据$\dfrac{\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+x_k}}{n}\ge\sqrt[n]{\prod\limits_{k=1}^n\dfrac{\sqrt{2}}{\sqr…
如图.在正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中,点$M,N$分别是直线$CD,AB$上的动点,点$P$是$\Delta A_1C_1D_1$内的动点(不包括边界),记直线$DP$与$MN$所成角为$\theta$,若$\theta$的最小值为$\dfrac{\pi}{3}$,则点$P$的轨迹为(      )A.圆的一部分 B.椭圆的一部分 C.抛物线的一部分 D.双曲线的一部分 答案 B 分析:“二面角最大,线面角最小”.从而我们知道$D_1P$与底面$ABCD$所成的角为$\dfra…
已知数列$\{\dfrac{1}{n}\}$的前$n$项和为$S_n$,则下面选项正确的是(      )A.$S_{2018}-1>\ln 2018$B.$S_{2018}-1<\ln 2018$C.$\ln2018<S_{1009}-1$D.$\ln2018>S_{2017}$ 分析:这里主要考察$\dfrac{x}{1+x}\le\ln(1+x)\le x$令$x=\dfrac{1}{n}$累加易得$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}\dots+\dfrac{…
实数$x,y$满足$x^2+y^2=20,$求$xy+8x+y$的最大值___ 法一:$xy\le\dfrac{1}{4}x^2+y^2,8x\le x^2+16,y\le\dfrac{1}{4}y^2+1,$故$xy+8x+y\le\dfrac{5}{4}(x^2+y^2)+17=42$法二:$(xy+8x+y)^2\le (x^2+8^2+y^2)(y^2+x^2+1^2)=84*21=42^2$法三:记$f(x,y,k)=xy+8x+y-k(x^2+y^2-20)$,令$f^{'}_x=0…
已知$x_1^2+x_2^2+\cdots+x_6^2=6,x_1+x_2+\cdots+x_6=0,$证明:$x_1x_2\cdots x_6\le\dfrac{1}{2}$ 解答:显然只需考虑2个非负4个非正(或者2非正4非负)的情况.不妨设$x_1,x_2\ge0;x_3,x_4,x_5,x_6\le0$,记$a_1=x_1,a_2=x_2,a_k=-x_k (k=3,4,5,6)$则题目变为已知$a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2+a_5^2+a_6^2=6,a_1+a_2=…
已知$x,y>0,\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}=1$,求$\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{2}{y+1}$的最大值____ 解答:令$a=\dfrac{1}{x},b=\dfrac{2}{y}$则$a,b>0,a+b=1$$\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{2}{y+1}=\dfrac{a}{a+1}+\dfrac{2b}{b+2}=3-(\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{4}{b+2})\le 3-\dfrac{9}{a+b+3}=\df…
证明: 评: 可以思考$\frac{1}{(1+b)^2}+\frac{1}{(1+a)^2}$与$\frac{2}{(1+\sqrt{ab})^2}$大小.…
已知$x_1,x_2,x_3\ge0,x_1+x_2+x_3=1$求 $$(x_1+3x_2+5x_3)(x_1+\frac{1}{3}x_2+\frac{1}{5}x_3)(x_1+x_3+3x_2)$$的最大值. 解答:$$(x_1+3x_2+5x_3)(x_1+\frac{1}{3}x_2+\frac{1}{5}x_3)(x_1+x_3+3x_2)$$ $$=\frac{1}{6}(x_1+3x_2+5x_3)(6x_1+2x_2+\frac{6}{5}x_3)(x_1+x_3+3x_2)…
[历史使人聪明,诗歌使人机智,数学使人精细,哲学使人深邃,道德使人严肃,逻辑与修辞使人善辩.--- Bacon,Francis] 练习: 评:这道2011高考题的解析做法参考答案也值得一看,但我这边在2012年给了一个原创的解答,当然现在的解答在此基础上利用韦达定理可以做的更简单和漂亮些,但是这里我还是愿意贴出5年前相对“不完美”的做法,以纪念当年”青春时的记忆” 补充:如今的相对完美做法:…
评:技巧性很大,需要敏锐的洞察力通过柯西不等式把分母变成一样.请记住这个变形$$(a+b+ab+1)=(a+1)(b+1)\le\sqrt{(a^2+1)(b^2+1)}$$…
已知$\theta\in[0,2\pi]$对任意$x\in[0,1],2x^2sin\theta-4x(1-x)cos\theta+3(1-x)^2>0$恒成立.求$\theta$的范围. 解答:令$x=1$易得$sin\theta>0,\because x\in(0,1)$,$$2x^2sin\theta-4x(1-x)cos\theta+3(1-x)^2$$ $$\ge2\sqrt{6}x(1-x)\sqrt{sin\theta}-4x(1-x)cos\theta$$ $$=2x(1-x)…
评:如果不需要精确到3,上界的求法可以利用$$(1+\frac{1}{n})^n*\frac{1}{2}*\frac{1}{2}<(\frac{n+\frac{1}{n}*n+\frac{1}{2}*2}{n+2})^{n+2}=1$$显得更简单些…
评:舒尔的想法是美妙的,当然他本身也有很多意义,在机械化证明的理念里,它也占据了一方田地.…
评:证明时对求导要求较高,利用这个观点,对平时熟悉的调和平均,几何平均,算术平均,平方平均有了更深 刻的认识.…
评:这是一道浙江省省赛题,这里利用对称性,设$x\le y\le z$从而解决了问题.值得注意的是此处三元轮换对称正好也是完全对称,但如果变成一般的$n\ge4$元对称问题时,就不能设大小关系.事实上有如下难题: 解答:…