这可能是我第五次学FFT了--菜哭qwq 先给出一些个人认为非常优秀的参考资料: 一小时学会快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform) - 知乎 小学生都能看懂的FFT!!! - 胡小兔 - 博客园 快速傅里叶变换(FFT)用于计算两个\(n\)次多项式相乘,能把复杂度从朴素的\(O(n^2)\)优化到\(O(nlog_2n)\).一个常见的应用是计算大整数相乘. 本文中所有多项式默认\(x\)为变量,其他字母均为常数.所有角均为弧度制. 一.多项式的两种表示方法 我们平时常…

前言 如果我们能用一种时间上比 \(O(n^2)\) 更优秀的方法来计算大整数(函数)的乘法,那就好了.快速傅里叶变换(FFT) 可以帮我们在 \(O(n\log n)\) 的时间内解决问题. 函数乘积 计算两个大整数之积时,我们发现 \[(2x+3)(4x+5)=8x^2+22x+15\quad...(*)\\ 23\times45=1035\] 而如果我们把 \((*)\) 式右边的每一位的系数看做一个数每位上的数码,正好得到了 \(1035\).事实上,对于所有的多项式乘法,以上规律同样成…

快速傅里叶变换(FFT)                                                                               ---- LLppdd 前言 关于这篇文章     非常高兴能有机会来探讨快速傅里叶变换,也就是大家熟知的 \(FFT\) 在 \(OI\) 中的运用.以前了解过一次 \(FFT\) ,现在过了几个月,数学和 \(OI\) 水平都有了一定的进步之后,再回过来重新思考它,应该有了更深的了解,所以准备写一篇较为详细的文章…

快速傅里叶变换(FFT) FFT 是之前学的,现在过了比较久的时间,终于打算在回顾的时候系统地整理一篇笔记,有写错的部分请指出来啊 qwq. 卷积 卷积.旋积或褶积(英语:Convolution)是通过两个函数 \(f\) 和 \(g\)​​ 生成第三个函数的一种数学算子. 定义 设 \(f,g\)​ 在 \(R1\)​ 上可积,那么 \(h(x) = \int_{-∞}^∞f(\tau)g(x-\tau)d\tau\) 称为 \(f\) 与 \(g\)​ 的卷积. 对于整系数多项式域,\(n-…

快速傅里叶变换(FFT) 有趣啊,都已经到NOI的难度了,救命 首先,我们先讲述一下前置知识.已经明白的读者请移步后文 虚数 定义:\(z = a + bi\),其中 \(a, b \in R\ \ i = \sqrt{-1}\) 运算原则: \[\begin{aligned} (a+bi) + (c+di) &= (a+c) + (b+d)i \\ (a+bi)(c+di) &= (ac - bd) + (ad + bc)i \\ \cfrac {(a+bi)}{(c+di)} &…

快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform)是信号处理与数据分析领域里最重要的算法之一.我打开一本老旧的算法书,欣赏了JW Cooley 和 John Tukey 在1965年的文章中,以看似简单的计算技巧来讲解这个东西. 本文的目标是,深入Cooley-Tukey  FFT 算法,解释作为其根源的“对称性”,并以一些直观的python代码将其理论转变为实际.我希望这次研究能对这个算法的背景原理有更全面的认识. FFT(快速傅里叶变换)本身就是离散傅里叶变换(Discrete…

目录 参考资料 FFT 吹水 例题 普通做法 更高大尚的做法 定义与一部分性质 系数表达式 点值表达式 点值相乘??? 卷积 复数 单位根 DFT IDFT 蝴蝶迭代优化 单位根求法 实现.细节与小优化 细节 小优化 实现 超~毒瘤优化. 实战! First Second 温馨插入:生成函数 Third 总所周知,FFT是一个非常麻烦的算法,再加上博主语文不好,便写起来有点麻烦,但会尽力去写.要以后自己看不懂就... 注:因为最近的压力紧张,便没有继续学习FFT,这仅为目前的半成品以及一些目前已…

终于学会了FFT,水一篇随笔记录一下 前置知识网上一大堆,这里就不多赘述了,直接切入正题 01 介绍FFT 这里仅指出FFT在竞赛中的一般应用,即优化多项式乘法 一般情况下,计算两个规模为$n$的多项式相乘的结果,复杂度为$O(n^2)$,但是神奇的FFT可以将其优化至$O(nlogn)$ FFT的过程一般为: 多项式的系数表示$\longrightarrow$多项式的点值表示$\longrightarrow$多项式的系数表示 网上对每一步的叫法都有一定出入,这里称第一步变换为快速傅里叶变换,第…

一.引入 首先,定义多项式的形式为 \(f(x)=\sum_{i=0}^n a_ix^i\),其中 \(a_i\) 为系数,\(n\) 为次数,这种表示方法称为"系数表示法",一个多项式是由其系数确定的. 可以证明,\(n+1\) 个点可以唯一确定一个 \(n\) 次多项式.对于 \(f(x)\),代入 \(n+1\) 个不同的 \(x\),得到 \(n+1\) 个不同的 \(y\).一个 \(n\) 次的多项式就可以等价地换成 \(n+1\) 个等式,相当于平面上的 \(n+1\)…

一.FFT的意义 DFT虽然实现了FT的计算机计算,但是计算量大,不适合实时的数字信号处理.FFT算法的出现,使DFT的计算效率更高,速度更快. 二.FFT与DFT的关系 从FT到DFT经过了数字角频率w的离散化,由此带来了一些数学公式的改写.而FFT是DFT算法上的突破,可以说数学理论上与DFT是一样的.可以认为,FFT就是DFT的一种快速好用的计算方法,FFT替代了定义法计算的笨拙,如此而已.正因为如此,所以可以看到FFT与DFT的运算结果是相同的. 三.matlab实验 1.程序 L=;…