Min_25 筛与杜教筛

杜教筛  是  的前缀和,,  同理. 假设 $ × = ℎ$ ,并且 $, $ 易求出, 难求出. 那么 \[H () = \sum_{ \cdot ≤} () () = \sum_{≤} () (\frac {} {})\\ = f(1)\cdot () + \sum_{2≤≤} () (\frac {} {})\] 有: \[f(1)\cdot G(n)=H(n)-\sum_{2≤≤} () (\frac {} {}) \] 整除分块,可以在…

【知识总结】线性筛_杜教筛_Min25筛

首先感谢又强又嘴又可爱脸还筋道的国家集训队(Upd: WC2019 进候选队,CTS2019 不幸 rk6 退队)神仙瓜 ( jumpmelon ) 给我讲解这三种筛法~~ 由于博主的鸽子属性,这篇博客可能会无限期咕咕咕线性筛这种算法是比较基础的筛法,在入门时就已经学习用它来筛一定范围内的质数了,因此具体算法流程无需赘述.但在筛质数的基础上,这种算法由于其优越性质在处理数论函数时也被广泛应用.这里直接给出筛出小于 $N$ 的质数的模板. void init() { for (int i…

LOJ# 572. 「LibreOJ Round #11」Misaka Network 与求和（min25筛，杜教筛，莫比乌斯反演）

题意求 \[ \sum_{i = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{n} f(\gcd(i, j))^k \pmod {2^{32}} \] 其中 $f(x)$ 为 $x$ 的次大质因子,重复的质因子计算多次. 特别的,定义 $f(1) = 0, f(p) = 0$ ,此处 $p$ 为质数. 题解首先先莫比乌斯反演前几步. \[ ans = \sum_{d = 1}^{n} f(d)^k \sum_{i = 1}^{\lfloor \frac{n}{d} \rfloo…

P4213 【模板】杜教筛（杜教筛）题解

题意: 求$\sum_{i=1}^n\varphi(i)$和$\sum_{i=1}^n\mu(i)$ 思路: 由性质可知:$\mu*I=\epsilon,\varphi*I=id$那么可得: \[S_{\varphi}(n)=\sum_{i=1}^n\varphi(i)=\frac{(n+1)n}{2}-\sum_{i=2}^nS_{\varphi}(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor)\\ S_{\mu}(n)\sum_{i=1}^n\mu(i)=1-\sum_{i…

【LOJ#572】Misaka Network 与求和（莫比乌斯反演，杜教筛，min_25筛）

[LOJ#572]Misaka Network 与求和(莫比乌斯反演,杜教筛,min_25筛) 题面 LOJ \[ans=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n f(gcd(i,j))^k\] 其中$f(x)$表示$x$的次大质因子. 题解这个数据范围不是杜教筛就是$min\_25$筛了吧... 看到次大质因子显然要$min\_25$筛了吧... 莫比乌斯反演的部分比较简单,懒得写过程了. \[ans=\sum_{T=1}^n [\frac{n}{T}]^2\sum_…

杜教筛 && bzoj3944 Sum

Description Input 一共T+1行第1行为数据组数T(T<=10) 第2~T+1行每行一个非负整数N,代表一组询问 Output 一共T行,每行两个用空格分隔的数ans1,ans2 Sample Input 6 1 2 8 13 30 2333 Sample Output 1 1 2 0 22 -2 58 -3 278 -3 1655470 2 正解:线性筛+杜教筛. 杜教筛板子题.然而感觉自己还不是很理解的样子.. 唐老师博客:http://blog.csdn.net/skyw…

hihocoder #1456 : Rikka with Lattice(杜教筛)

hihocoder #1456 : Rikka with Lattice(杜教筛) 题意 : 给你一个$n*m$方格图,统计上面有多少个格点三角形,除了三个顶点,不覆盖其他的格点(包括边和内部). 答案对于$998244353$取模... ($n,m \le 5 * 10^9$) 题解 : 这个题十分的巧妙... 集训时是大佬ztzshiwo出的.. 据他所说,是不那么杜教筛的杜教筛QAQ 考试时候提示了一个皮克定理... 皮克定理: \[S=a+\frac{b}{2}-1\] \(…

BZOJ3944: Sum（杜教筛模板）

BZOJ3944: Sum(杜教筛模板) 题面描述传送门题目分析求$\sum_{i=1}^{n}\mu(i)$和$\sum_{i=1}^{n}\varphi(i)$ 数据范围线性不可做. 需要使用杜教筛. 杜教筛可以在非线性时间里求出一个积性函数的前缀和. 借这里先写一些杜教筛内容...或许以后会补总结(雾最开始扔积性函数: $\mu(n)$,莫比乌斯函数 $\phi(n)$,欧拉函数. $d(n)$,约数个数. $\sigma(n)$,约数和函数. \(\eps…

[BZOJ3944]Sum(杜教筛)

3944: Sum Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 128 MBSubmit: 6201 Solved: 1606[Submit][Status][Discuss] Description Input 一共T+1行第1行为数据组数T(T<=10) 第2~T+1行每行一个非负整数N,代表一组询问 Output 一共T行,每行两个用空格分隔的数ans1,ans2 Sample Input 6 1 2 8 13 30 2333 Sample Outp…

luoguP4213 【模板】杜教筛（Sum）杜教筛

链接 luogu 思路为了做hdu来学杜教筛. 杜教筛模板题. 卡常数,我加了register居然跑到不到800ms. 太深了. 代码 // luogu-judger-enable-o2 #include <bits/stdc++.h> #define ll long long using namespace std; const int _=5000030; int vis[_],pri[_],cnt,N,limit,mu[_]; ll phi[_]; unordered_map<i…

LG4213 【模板】杜教筛（Sum）和 BZOJ4916 神犇和蒟蒻

P4213 [模板]杜教筛(Sum) 题目描述给定一个正整数$N(N\le2^{31}-1)$ 求 $$ans_1=\sum_{i=1}^n\varphi(i)$$ $$ans_2=\sum_{i=1}^n \mu(i)$$ 输入输出格式输入格式: 一共T+1行第1行为数据组数T(T<=10) 第2~T+1行每行一个非负整数N,代表一组询问输出格式: 一共T行,每行两个用空格分隔的数ans1,ans2 输入输出样例输入样例#1: 复制 6 1 2 8 13 30 2333 输出样例#1…

[BZOJ 3930] [CQOI 2015]选数(莫比乌斯反演+杜教筛)

[BZOJ 3930] [CQOI 2015]选数(莫比乌斯反演+杜教筛) 题面我们知道,从区间$[L,R]$(L和R为整数)中选取N个整数,总共有$(R-L+1)^N$种方案.求最大公约数刚好为K的选取方案有多少个.由于方案数较大,你只需要输出其除以1000000007的余数即可. \[N,K,L,H \leq 10^9,H-L \leq 10^5\] 分析 $\because \gcd(ka,kb)=k\gcd(a,b)$,我们先把$L,R$除以$K$,然后问题就变成了…

莫比乌斯反演/线性筛/积性函数/杜教筛/min25筛学习笔记

最近重新系统地学了下这几个知识点,以前没发现他们的联系,这次总结一下. 莫比乌斯反演入门:https://blog.csdn.net/litble/article/details/72804050 线性筛筛常见积性函数及其代码:https://blog.masterliu.net/algorithm/sieve/ 积性函数与线性筛(包括普通线性函数):https://blog.csdn.net/weixin_42562050/article/details/87997582 bzoj2154/b…

[复习]莫比乌斯反演,杜教筛,min_25筛

[复习]莫比乌斯反演,杜教筛,min_25筛莫比乌斯反演做题的时候的常用形式: \[\begin{aligned}g(n)&=\sum_{n|d}f(d)\\f(n)&=\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})g(d)\end{aligned}\] 实际上还有 \[\begin{aligned}g(n)&=\sum_{d|n}f(d)\\f(n)&=\sum_{d|n}\mu(\frac{n}{d})g(d)\end{aligned}\] 证明可以看看这里,…

【51NOD 1847】奇怪的数学题（莫比乌斯反演，杜教筛，min_25筛，第二类斯特林数）

[51NOD 1847]奇怪的数学题(莫比乌斯反演,杜教筛,min_25筛,第二类斯特林数) 题面 51NOD \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nsgcd(i,j)^k\] 其中$sgcd$表示次大公约数. 题解明摆着$sgcd$就是在$gcd$的基础上除掉$gcd$的最小因数. 所以直接枚举$gcd$. \[\begin{aligned} ans&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n sgcd(i,j)^k\\ &=\sum_{i=1…

[BZOJ4916]神犇和蒟蒻杜教筛/Min_25筛

题目大意: 给定$n\le 10^9$,求: 1.$\sum_{i=1}^n\mu(i^2)$ 2.$\sum_{i=1}^n\varphi(i^2)$ 解释 1.$\sum_{i=1}^n\mu(i^2)$ 直接输出1 因为对于$\forall i>1$有$\mu (i^2)=0$ 2.$\sum_{i=1}^n\varphi(i^2)$ for 杜教筛: 构造函数$f(i)=\varphi(i^2)$,则有$f*\mathrm{id}=id^2$,具体推导…

LOJ572. 「LibreOJ Round #11」Misaka Network 与求和 [莫比乌斯反演，杜教筛，min_25筛]

传送门思路 (以下令$F(n)=f(n)^k$) 首先肯定要莫比乌斯反演,那么可以推出: \[ ans=\sum_{T=1}^n \lfloor\frac n T\rfloor^2\sum_{d|T}F(d)\mu(T/d) \] 可以整除分块,但后面的东西怎么办呢? 令$G(T)=F*\mu$,那么就有 \[ ans=\sum_{T=1}^n \lfloor\frac n T\rfloor^2G(T) \] 看到$\mu$函数有点烦,考虑用杜教筛的式子消去它. \[ g(1)S(…

杜教筛&min_25筛复习

杜教筛适用条件你要能构造出$g(x),h(x)$,使得$h=f*g$. $G(x),H(x)$的值可以快速计算. 过程我们要求的是$F(n)=\sum_{i=1}^{n}f(i)$,现在有$h=f*g$,$G(x),H(x)$分别为$g(x),h(x)$的前缀和. \[ \begin{aligned} H(n)=&\sum_{i=1}^{n}h(i)\\ =&\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}f(\frac{i}{d})g(d)\\ =&am…

【51nod1847】奇怪的数学题（Min_25筛+杜教筛）

题面传送门题解这题有毒--不知为啥的错误调了半天-- 令$f(i)={sgcd(i)}$,那么容易看出$f(i)$就是$i$的次大质因子,用$i$除以它的最小质因子即可计算于是题目所求即为 \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n{f(\gcd(i,j))}^k\] \[\sum_{d=1}^n {f(d)}^k\sum_{i=1}^{\left\lfloor\frac{n}{d}\right\rfloor}\sum_{j=1}^{\left\lfloor\f…

loj#6229. 这是一道简单的数学题 (??反演+杜教筛)

题目链接题意:给定$n\le 10^9$,求:$F(n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^i\frac{\mathrm{lcm}(i,j)}{\mathrm{gcd}(i,j)}$,对1e9+7取模推式子: $F(n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^i\frac{\mathrm{lcm}(i,j)}{\mathrm{gcd}(i,j)}$ $=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^i\frac{ij}{\gcd^2(i,j)}$ \(=\…

51nod 1244 莫比乌斯函数之和（杜教筛）

[题目链接] http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1244 [题目大意] 计算莫比乌斯函数的区段和 [题解] 利用杜教筛: 求F(n)=∑(f(i)) 存在g=f*I,定义G(n)=∑(g(i)) 就可以得到F(n)=G(n)-∑(F(n/i)) 加一些预处理我们可以做到O(n^(2/3))求解F(n) 我们知道积性函数∑(miu(d))=0(d|n),又有∑(miu(d))=1(n=1), 所以∑∑(miu…

51nod 1237 最大公约数之和 V3（杜教筛）

[题目链接] https://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1237 [题目大意] 求[1,n][1,n]最大公约数之和 [题解] 枚举最大公约数k,得到答案为2*∑(k*phi_sum(n/k))-n*(n+1)/2 phi_sum可以利用杜教筛实现 [代码] #include <cstdio> #include <algorithm> using namespace std; typedef lon…

51NOD 1220 约数之和 [杜教筛]

1220 约数之和题意:求$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \sigma_1(ij)$ \[ \sigma_0(ij) = \sum_{x\mid i}\sum_{y\mid j}[(x,y)=1]\\ \sigma_1(ij) = \sum_{x\mid i}\sum_{y\mid j}x\cdot\frac{j}{y}[(x,y)=1] \\ \] 怎么证明第二个式子? \[ \sigma_1(n) = \prod_i(1 + p_i + p_i^2 + ...…

BZOJ 4176: Lucas的数论 [杜教筛]

4176: Lucas的数论题意:求$\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \sigma_0(ij)$ $n \le 10^9$ 代入$\sigma_0(nm)=\sum_{i\mid n}\sum_{j\mid m}[(i,j)=1]$ 反演得到 \[ \sum_{d=1}^n \mu(d) (g(\frac{n}{d}))^2 \\ g(n) = \sum_{i=1}^n \sigma_0(i) \] 杜教筛$\mu \ \sigma_0$的前缀和当然和前面…

51NOD 1222 最小公倍数计数 [莫比乌斯反演杜教筛]

1222 最小公倍数计数题意:求有多少数对$(a,b):a<b$满足$lcm(a,b) \in [1, n]$ $n \le 10^{11}$ 卡内存! 枚举$gcd, \frac{a}{gcd}, \frac{b}{gcd}$,然后$\mu$代入,就是 \[ \sum_{d=1}^{\sqrt{n}}\mu(d) \sum_i \sum_j \sum_k [ijk \le \frac{n}{d^2}] \] 问题就是怎么求后面的式子了一开始我是 \[ f(n) = \s…

51NOD 1237 最大公约数之和 V3 [杜教筛]

1237 最大公约数之和 V3 题意:求$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(i,j)$ 令$A(n)=\sum_{i=1}^n(n,i) = \sum_{d\mid n}d \cdot \varphi(\frac{n}{d})$ $ans = 2*\sum_{i=1}^n A(i) -\sum_{i=1}^ni$ 套路推♂倒 \[ S(n) =\sum_{i=1}^n\sum_{d\mid i}d \cdot \varphi(\frac{i}{d}) =\sum_{i…