updata on 2020.4.11 修正了 excrt 的一处笔误 CRT 求解方程: \[\begin{cases} x \equiv a_1 \pmod {m_1}\\ x \equiv a_2 \pmod {m_2}\\ \vdots \\ x \equiv a_n \pmod {m_n}\\ \end{cases} \] 其中,保证\(m_i\)是两两互质的正整数,crt就是基于这个特征 我们记\(M=\prod_{i=1}^{n} m_i\),和\(M_i=\dfrac{M}{m_…

蒟蒻maomao终于学会\(CRT\)啦!发一篇博客纪念一下(还有防止忘掉) \(CRT\)要解决的是这样一个问题: \[x≡a_1​(mod m_1​)\] \[x≡a_2​(mod m_2​)\] \[x≡a_3​(mod m_3​)\] \[...\] \[x≡a_k​(mod m_k​)​\] 其中,\(m\)之间两两互质.这个问题有一个通解是\(\sum a_i * M * t_i / m_i\),其中\(t_i\)代表方程\(M * t_i / m_i ≡ 1\)的最小正整数解. 为…

中国剩余定理CRT 中国剩余定理是要求我们解决这样的一类问题: \[\begin{cases}x\equiv a_1\pmod {b_1} \\x\equiv a_2 \pmod{b_2}\\...\\x\equiv a_n\pmod{b_n} \end{cases}\] 其中\(b_1,b_2,...,b_n\)互质. 我们先令\(m=\prod_{i=1}^{n}b_i,w_i=m/b_i\) 那么有\(gcd(m,w_i)==1\) 我们对于\(w_ix'+my'= 1\)解出来\(x',…

前置知识 1. a%b=d,c%b=e, 则(a+c)%b=(d+e)%b(正确性在此不加证明) 2. a%b=1,则(d\(\times\)a)%b=d%b(正确性在此不加证明) 下面先看一道题(改编自曹冲养猪): 烤绿鸟的故事 题目描述: mian包是一个贪吃的孩子,这天,他买了一堆绿鸟吃.当然他的妈妈并不想让他吃太多食物(因为那样会发胖),为了避免老妈的唠叨,他决定不告诉他的妈妈绿鸟数量,而是将绿鸟的数量x用以下式子来描述 \[\begin{cases}x≡b_1 (mod a_1)\\x…

中国剩余定理 中国剩余定理,Chinese Remainder Theorem,又称孙子定理,给出了一元线性同余方程组的有解判定条件,并用构造法给出了通解的具体形式. \[ \begin{aligned} &现在有方程组:\\ &(S):\begin{cases} x\equiv a_1(mod\space m_1)\\ x\equiv a_2(mod\space m_2)\\ \space\space\space\space. \\ \space\space\space\space. \…

1.解同余方程: 同余方程可以转化为不定方程,其实就是,这样的问题一般用拓展欧几里德算法求解. LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y){ if(!b){ x=;y=; return a; } LL gcd=exgcd(b,a%b,x,y); LL t=x; x=y; y=t-a/b*x; return gcd; } 2.解同余方程组(任意两个模意义互质)用CRT. LL CRT(){ LL ans=,M=,x,y; ;i<=n;i++) M*=m[i]; ;i…

一.扩展欧几里得 求解方程 \(ax+by=\gcd(a,b)\). int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){ if(!b) return x=1,y=0,a; int d=exgcd(b,a%b,x,y); int z=x; x=y,y=z-y*(a/b); return d; } 对于更为一般的方程 \(ax+by=c\),设 \(d=\gcd(a,b)\).我们可以求出 \(ax+by=d\) 的一组特解 \(x_0,y_0\).这所以 \(\fra…

问题背景   孙子定理是中国古代求解一次同余式方程组的方法.是数论中一个重要定理.又称中国余数定理.一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期(公元5世纪)的数学著作<孙子算经>卷下第二十六题,叫做"物不知数"问题,原文如下:   有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二.问物几何?即,一个整数除以三余二,除以五余三,除以七余二,求这个整数.<孙子算经>中首次提到了同余方程组问题,以及以上具体问题的解法,因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称…

只看懂了CRT,EXCRT待补.... 心得:记不得这是第几次翻CRT了,每次都有迷迷糊糊的.. 中国剩余定理用来求解类似这样的方程组: 求解的过程中用到了同余方程. x=a1( mod x1) x=a2( mod x2) x=a3( mod x3) 假设: n1=a1( mod x1) n2=a2( mod x2) n3=a3( mod x3)已知n1满足除以3余2,能不能使得n1+n2的和仍然满足%x1=a1? 所以n2应该是x2的倍数,其余同理. 所以当答案为n1+n2+n3时,n1应该是…

鸽子博主好久没更博了,这一更可能以后都更不了了啊 \(Day~~1\) 考试爆零,已经无所畏惧了. 当作攒rp吧...qwq 晚上写了写数学总结,蒯了一堆人的博客资料,然后就学会了\(CRT\),\(exCRT\) 奶一口数学题 \(Day~~0\) 上午居然有考试,\(day~~0\)还考试. 看了第二题写了第二题就没管了. 结果第二题复杂度还不是最优秀的,我真垃圾 打了一下午板子,真爽. 然后到了晚上,高三聚聚们过来加油助威,一片愉♂悦的气氛. 然后在李总的好运来的助威下,板子都没打完,一堆…