已知$0<x_1<c<x_2<e^{\frac{3}{2}},$且$\dfrac{1-ln(c)}{c^2} = \dfrac{x_1ln(x_2)-x_2ln(x_1)}{x_1x_2(x_2-x_1)}$, 证明:$c^2<x_1x_2$ 由题意,结合拉格朗日中值定理知:$f^{'}(c)=\dfrac{x_1ln(x_2)-x_2ln(x_1)}{x_1x_2(x_2-x_1)}$,其中$f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$ $\because f^{''}(x…

罗尔定理:如果函数f(x)在[a,b]上连续并且在(a,b)处处可微,并且有f(a) = f(b),则我们必然何以找到一个c∈(a,b),使得f’(c) = 0. 证明:我们从函数f(x)的最大值和最小值出发,它们只能在如下的几种情况取得. (1)    端点a.b处.. (2)    f’(x) = 0处,x∈(a,b). (3)    导数不存在处. 考虑到罗尔定理对函数的限制,我们可以直接排除(3),一旦最大值或者最小值的情况是(2),那么就找到了定理中所描述的c.那么现在还存在一种情况,…

2017北大优秀中学生夏令营已知$\omega $是整系数方程$x^2+ax+b=0$的一个无理数根, 求证:存在常数$C$,使得对任意互质的正整数$p,q$都有$$|\omega-\dfrac{p}{q}|\ge \dfrac{C}{q^2}$$ 分析:这题涉及的背景知识是数论里的最佳有理逼近和Liouville超越数定理.一般的$\omega $是整系数方程$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0=0$的一个根,则显然存在$C=C(\omega)=\max…

Part III 中值定理与一元微分学应用 回到总目录 Part III 中值定理与一元微分学应用 1. 中值定理 费马定理 罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 柯西.拉格朗日.罗尔三者间的关系 涉及f(x)的应用,可能需要用到的定理 罗尔定理的应用范式 罗尔定理的关键,以及达成这个关键的两个途径 2. 单调性与极值 导数的几何应用有哪些 极值的定义需要注意的地方 广义极值 狭义极值(真正极值) 单调性与极值判别 3. 零碎问题 函数的凹凸性 函数拐点 拐点判别法 铅直渐近线 水平渐近线…

对于区间(a,b)内f''(x)>0 那么在该区间内函数的一阶导数对应切线在该区间内只与f(x)在切点相交 1. f''(x)>0那么可知 f'(x)在该区间内是单调增的 以下图为例,过(x0,f(x0)) 点的切线A与过(x0,f(x0) 与(~x,~y)割线B 根据拉格朗日中值定理,在x0到~x间存在一点有切线C,与B品行(斜率相同),由于f'(x)递增,那么可知C的斜率大于A =>B的斜率>A ,又因为A,B都过(x0,f(x0)),那么  B直线将始终在A直线上面(对于x&…

1.首先需要使用 罗尔定理 函数f(x)在闭区间[a,b]连续在开区间(a,b)可微,如果f(a)=f(b),那么至少存在一点c使函数导数f'(c)=0 注意需要再(a,b)可微,如果函数有角点,断点,尖点,那么就不一定存在c,使f'(c)=0成立,(当然也有可能成立,如果有其他可做水平切线的点0 涉及的图片参考http://www.cnblogs.com/wdfrog/p/5956840.html 注意f(a)=f(b)=0 等于0不是必需,因为只要f(a)=f(b)那么就可通过上下平移得到f…

无论是学习信号处理,还是做图像.音视频处理方面的研究,你永远避不开的一个内容,就是傅里叶变换和小波.但是这两个东西其实并不容易弄懂,或者说其实是非常抽象和晦涩的! 完全搞懂傅里叶变换和小波,你至少需要知道哪些预备知识?主页君从今天开始就将通过一些列文章告诉你他们之间的来龙去脉!本节是全部系列文章的第一节--总纲,日后我们也将按照这个思路一点一点讲述所有的知识.需要说明的是,本文主要面向计算机专业或者电子信息专业的读者,为此我们将尽量采取一些非常非常基础的知识来帮助你理解.所以,题目里面讲的"完全…

概率论是探讨SLAM的一个重要的工具,概率密度函数的概率意义在于它能够描述一个随机变量位于任意区间的概率. p(x<=x<=x+dx)≍p(x).dx(由拉格朗日中值定理)…

咕咕咕?咕咕咕! 题意: Description 数字和数学规律主宰着这个世界. 机器的运转, 生命的消长, 宇宙的进程, 这些神秘而又美妙的过程无不可以用数学的语言展现出来. 这印证了一句古老的名言: “学好数理化,走遍天下都不怕.” 学渣小R被大学的数学课程虐得生活不能自理,微积分的成绩曾是他在教室里上的课的最低分.然而他的某位陈姓室友却能轻松地在数学考试中得到满分.为了提升自己的数学课成绩,有一天晚上(在他睡觉的时候),他来到了数学王国. 数学王国中,每个人的智商可以用一个属于 [0,1]…

生成函数 多项式 形如$\sum_{i=0}^{n}a_i x^i$的代数式称为n阶多项式 核函数 {ai}的核函数为f(x),它的生成函数为sigma(ai*f(i)*x^i) 生成函数的加减 {ai}{bi}的生成函数为A(x),B(x) {ai+/-bi}的生成函数为A(x)+/-B(x) 生成函数的乘法 {ai}{bi}的卷积的生成函数是A(x)B(x) 普通生成函数 $A(x)=\sum a_i x^i$ 指数型生成函数 $A(x)=\sum \frac{a_i x^i}{i!}$ 特…