题目地址:CF1097D Makoto and a Blackboard 首先考虑 \(n=p^c\) ( \(p\) 为质数)的情况,显然DP: 令 \(f_{i,j}\) 为第 \(i\) 次替换后出现 \(p^j\) 的概率 边界: \[f_{0,c}=1\] 状态转移方程: \[f_{i,j}=\sum_{t=j}^{c} \frac{f_{i-1,t}}{t+1}\] 目标: \[\sum_{j=0}^{c}\ f_{k,j}\ p^j\] 考虑一般情况,将 \(n\) 分解质因数:…

传送门 比赛秒写完ABC结果不会D--最后C还fst了qwq 首先可以想到一个约数个数\(^2\)乘上\(K\)的暴力DP,但是显然会被卡 在\(10^{15}\)范围内因数最多的数是\(978217616376000=2^6 \times 3^4 \times 5^3 \times 7^2 \times 11 \times 13 \times 17 \times 19 \times 23 \times 29\),它有\(26880\)个因数 但是不难发现:在我们的答案中参与计算的只有约数个数函…

题意 题目链接 Sol 首先考虑当\(n = p^x\),其中\(p\)是质数,显然它的因子只有\(1, p, p^2, \dots p^x\)(最多logn个) 那么可以直接dp, 设\(f[i][j]\)表示经过了\(i\)轮,当前数是\(p^j\)的概率,转移的时候枚举这一轮的\(p^j\)转移一下 然后我们可以把每个质因子分开算,最后乘起来就好了 至于这样为什么是对的.(开始瞎扯),考虑最后的每个约数,它一定是一堆质因子的乘积,而每个质因子的概率我们是知道的,所以这样乘起来算是没问题的.…

link 题目大意:给您一个数 n, 每次从n的所有约数(包含1.n)中等概率选出一个约数替换n,重复操作k次,求最后结果期望值%1e9+7. 题解:考虑暴力,我们设f(n,k)代表答案,则有f(n,k)=sum_{d|n}f(d,k-1).f(n,0)=n. 我们发现如果把n分解质因数,最后结果就是所有质因子若干次方结果乘积(f是积性函数). 分解质因数后,我们设g(n,k)代表p^n次方执行k次的结果,由于n是log级别的,所以可以直接dp了. 最后得到了p^0…p^n的分布,加起来乘到答案…

[Luogu-CF1097D] 给定 \(n,k\)一共会进行 \(k\) 次操作 , 每次操作会把 \(n\) 等概率的变成 \(n\) 的某个约数 求操作 \(k\) 次后 \(n\) 的期望是多少 题解 \(f[i][j]\) 表示以某质数的 \(i\) 次方经过 \(j\) 次操作后的结果 发现答案是积性的 , 质因数分解后转移 \(f[n][k]∗f[m][k]=f[nm][k] (gcd(n,m)=1)\) 对于\(f[i][j]\)的转移 : \(f[i][j]=\frac{1}{…

Hello 2019 D 题意: 给定一个n,每次随机把n换成它的因数,问经过k次操作,最终的结果的期望. 思路: 一个数可以表示为质数的幂次的积.所以对于这个数,我们可以分别讨论他的质因子的情况. 假设质因子x的指数是j,那么这个质因子下一步可以变到的情况就有(j+1)种可能,利用概率DP算出k步操作后每个x的不同幂次的概率,然后求出期望. 把每个质因子的情况算出来的期望乘起来即可. #include <algorithm> #include <iterator> #includ…

Makoto and a Blackboard time limit per test 2 seconds memory limit per test 256 megabytes input standard input output standard output Makoto has a big blackboard with a positive integer nn written on it. He will perform the following action exactly k…

更好的阅读体验 Description 给定一个数 \(n\),对它进行 \(k\) 次操作,每次将当前的数改为自己的因数,包括 \(1\) 和自己.写出变成所有因数的概率是相等的.求 \(k\) 次以后 \(n\) 期望会变成多少 Input 一行两个整数 \(n,k\) Output 一行一个整数代表答案 Hint \(1~\leq~n~\leq~10^{15}~,~1~\leq~k~\leq~10^4\) Solution Hello 2019! 我们考虑整个数字变化的树形图: 以 \(n…

我们考虑对于一个\(N\),他如果变成了他的约数\(x\),那又会变成一个子问题 我们定义\(F(n, k)\)为n操作k次的期望个数 那么我们有\(F(n, k) =\sum_{x|n} F(x, k - 1) * \frac{1}{d}\)(其中d为n的约数个数) 因为\(N\)的约数个数肯定在\(\sqrt N\)以内现在我们就有了一个\(O(\sqrt N K)\)的暴力了 前面的\(\sqrt N\)肯定是不能省略了,我们可不可以对\(K\)下手呢? 我们考虑\(N\)是质数,那么答案…

Makoto has a big blackboard with a positive integer n written on it. He will perform the following action exactly k times: Suppose the number currently written on the blackboard is v . He will randomly pick one of the divisors of v (possibly 1 and v)…