1.概念 从一道例题说起 在介绍整除分块之前,我们先来看一道算数题:已知正整数n,求∑i=1n⌊ni⌋已知正整数n,求∑i=1n⌊ni⌋在介绍整除分块之前,我们先来看一道算数题: 已知正整数n,求∑i=1n⌊ni⌋\begin{aligned}已知正整数n,求\sum_{i=1}^n \left⌊\dfrac{n}{i}\right⌋\end{aligned}在介绍整除分块之前,我们先来看一道算数题:已知正整数n,求∑i=1n⌊ni⌋已知正整数n,求i=1∑n​⌊in​⌋​ 我们写一个表格看一看…

题目 CodeForces 1213G 做法 假设有\(P\)个完整的循环块,假设此时答案为\(K\)(实际答案可能有多种),即每块完整块长度为\(K\),则\(P=\left \lfloor \frac{N}{K} \right \rfloor\) 假设循环快中有\(p_a,p_b\)个\(A\)和\(B\),则 \(p_a\cdot P\le a\Longrightarrow p_a\le \left \lfloor \frac{a}{P} \right \rfloor\) \(p_a\cd…

[POI2007]ZAP-Queries \(solution:\) 唉,数论实在有点烂了,昨天还会的,今天就不会了,周末刚证明的,今天全忘了,还不如早点写好题解. 这题首先我们可以列出来答案就是: \(ans=\sum_{i=1}^{a}{\sum_{j=1}^{b}{[gcd(i,j)==d]}}\) 我们发现后面那个东西(只有\(gcd(i,j)==d\) 时才为一)跟莫比乌斯很像,莫比乌斯是(只有$n==$1 才为一),所以我们再尝试转化一下(把d转化成1): \(ans=\sum_{i…

整除分块 参考资料:整除分块_peng-ym OI生涯中的各种数论算法的证明 公式 求:\(\sum_{i=1}^{n}\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\) 对于每个\(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\)值相同的区间\([l,r]\)有\(r=n/(n/l)\),即对于\(\forall x\in [i,n/(n/i)]\)有\(x=\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\). 时间复杂度 \(O(\sqrt{n})\) 代码 for(int l…

题目大意 给出正整数 n 和 k 计算 \(G(n, k)=k\ \bmod\ 1 + k\ \bmod\ 2 + k\ \bmod\ 3 + \cdots + k\ \bmod\ n\) 的值 其中 \(k\ \bmod\ i\) 表示 k 除以 i 的余数. 解析 整除分块的一个典型例子. 整除分块解决的是形如 \[ \sum^n_{i=1} ~ \lfloor\frac{n}{i}\rfloor \] 的问题,其复杂度为\(O(\sqrt{n})\). 实际上是规律性的一类问题,打表可以发…

题目链接 https://www.luogu.org/problemnew/show/P2261 分析 显然\(k\) \(mod\) \(i=k-\lfloor {k/i}\rfloor\) \(\times\) \(i\),于是我们只需要求\(N * k-\sum_{i=1}^N {\lfloor {k/i}\rfloor\times i}\) 这里就需要数论分块,也称作整除分块的知识 结论: \(\forall{i} \in [x,\lfloor {k/{\lfloor {k/x}\rfl…

1225 余数之和 基准时间限制:1 秒 空间限制:131072 KB 分值: 80 难度:5级算法题  收藏  关注 F(n) = (n % 1) + (n % 2) + (n % 3) + ...... (n % n).其中%表示Mod,也就是余数. 例如F(6) = 6 % 1 + 6 % 2 + 6 % 3 + 6 % 4 + 6 % 5 + 6 % 6 = 0 + 0 + 0 + 2 + 1 + 0 = 3. 给出n,计算F(n), 由于结果很大,输出Mod 1000000007的结果…

整除分块 一般形式:\(\sum_{i = 1}^n \lfloor \frac{n}{i} \rfloor * f(i)\). 需要一种高效求得函数 \(f(i)\) 的前缀和的方法,比如等差等比数列求和或对于积性函数的筛法等,然后就可以用整除分块的思想做. 题目解法 化公式变成比较方便的形式: \(\ \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^m (n \mod i)(m \mod j), i \ne j\) \(= \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^m…

#include<bits/stdc++.h> #define LL long long using namespace std; ; bool vis[maxn]; int prime[maxn]; int mu[maxn]; int sum1[maxn]; int sum2[maxn]; ; void get_mu()// mo bi su si han shu { mu[]=; vis[]=; ;i<maxn;i++) // prime = 0; other = 1; { ;} ;…

题面 LOJ #2802. 「CCC 2018」平衡树 题面有点难看...请认真阅读理解题意. 转化后就是,给你一个数 \(N\) ,每次选择一个 \(k \in [2, N]\) 将 \(N\) 变成 \(\displaystyle \lfloor \frac{N}{k} \rfloor\) ,到 \(1\) 停止. 求一共有多少不同的操作序列,也就是操作次数不一样或者某次操作的 \(k\) 不相同. 题解 首先考虑 dp ,令 \(f_i\) 为以 \(i\) 为开头的不同操作序列数. 显然…