题意 $1 \leq n \leq 10^{18}$ $2 \leq m \leq 10^{18}$ $1 \leq k \leq 20$ 思路 n,m较小 首先考虑朴素的$k=1$问题: $f[i]$表示分解$i$的方案数 那么转移方程如下 $f[i]=f[i-1]$,这里$i$不是$m$的倍数 $f[i]=f[i-1]+f[i/n]$,这里$i$是$m$的倍数 然后对于$k \neq 1$的情况就写个$ntt$就好了 但是这个只能解决$n,m \leq 1000$ 另外一种dp 考虑另外一个…

Description: \(1<=n,k<=1e5,mod~1e9+7\) 题解: 考虑最经典的排列dp,每次插入第\(i\)大的数,那么可以增加的逆序对个数是\(0-i-1\). 不难得到生成函数: \(Ans=\prod_{i=0}^{n-1}(\sum_{j=0}^ix^j)[x^k]\) \(=\prod_{i=1}^{n}{1-x^i\over 1-x}[x^k]\) 分母是一个经典的生成函数: \({1\over 1-x}^n=(\sum_{i>=0}x^i)^n=\sum…

给一个树,每个点的权值为正整数,且不能超过自己的父节点,根节点的最高权值不超过D 问一共有多少种分配工资的方式? 题解: A immediate simple observation is that we can compute the answer in $O(nD) $with a simple dynamic program. How to speed it up though? To speed it up, we need the following lemma. Lemma 1: F…

Integer Partition In number theory and combinatorics, a partition of a positive integer n, also called an integer partition, is a way of writing nas a sum of positive integers. Two sums that differ only in the order of their summands are considered t…

靠着暴力+直觉搞出递推式 f(n) = ∑F(i)f(n-i) (1≤i≤n) (直接想大概也不会很复杂吧...). f(0)=0 感受一下这个递推式...因为和斐波那契有关..我们算一下f(n)+f(n+1)... f(n)+f(n+1) = F(1)f(n-1)+F(2)f(n-2)+…+F(n)f(0) + F(1)f(n)+F(2)f(n-1)+…+F(n+1)f(0) = (F(0)+F(1))f(n)+(F(1)+F(2))f(n-1)+……+(F(n)+F(n+1))f(0) =…

--->题意:给一个函数的定义,F(n)代表n的所有约数之和,并且给出了整数拆分公式以及F(n)的计算方法,对于一个给出的N让我们求1 - N之间有多少个数满足F(x)为偶数的情况,输出这个数. --->分析:来考虑F(x)为奇数的情况,给据题目中给我们的公式,,如果F(x)为奇数,那么这个多项式里面的任何一项都必须是奇数,可以知道p = 2时,        p^e - 1肯定是奇数,如果p != 2,当且仅当e为偶数的时候,此项为奇数,证明如下: 原式变形为[ p^(e+1) -p + (…

Ignatius and the Princess III Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others)Total Submission(s): 16191    Accepted Submission(s): 11407 Problem Description "Well, it seems the first problem is too easy. I will let…

题意: 给你一个数n,在给你一个数K,问你这个n用1-k的数去组合,有多少种组合方式. 思路: 背包重量就是n: 那么可以看出 1-k就是重物,价值是数值,重量是数值. 每个重物可以无限取,问题转化为完全背包. 我们用dp[]代表方案数的话,dp[0]=1; 由于当n=1000,k=1000的时候这个方案数是巨大的. 看了别的大牛博客,这个整数拆分真是好啊: 一个代表高位,一个代表低位: #include<cstdio> #include<iostream> #include<…

题目描述:给定一个正整数 n,将其拆分为至少两个正整数的和,并使这些整数的乘积最大化. 返回你可以获得的最大乘积. 题目分析 题目中"n 至少可以拆分为两个正整数的和",这个条件说明了 n 是大于 1 的整数. 对 7 来说,可以拆成 3+4,最大乘积是 12. 对 8 来说,可以拆成 3+3+2,最大乘积是 18. 解法 1: 动态规划 状态数组dp[i]表示:数字 i 拆分为至少两个正整数之和的最大乘积.为了方便计算,dp 的长度是 n + 1,值初始化为 1. 显然dp[2]等于…

343. 整数拆分 给定一个正整数 n,将其拆分为至少两个正整数的和,并使这些整数的乘积最大化. 返回你可以获得的最大乘积. 示例 1: 输入: 2 输出: 1 解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1. 示例 2: 输入: 10 输出: 36 解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36. 说明: 你可以假设 n 不小于 2 且不大于 58. class Solution { public int integerBreak(int n) { if (n == 2…

题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4651 题意:给出n.求其整数拆分的方案数. i64 f[N]; void init(){    f[0]=f[1]=1; f[2]=2;    int i,j,k,t;    for(i=3;i<N;i++) for(j=1;;j++)    {        FOR0(k,2)        {            if(!k) t=(3*j*j-j)/2;            else t=…

分析:题目并不难理解,就是一些细节上的优化需要我们注意,我在没有优化前跑了2000多MS,优化了一些细节后就是400多MS了,之前还TLE了好几次. 方法:将整数拆分为质因子以后,表达为这样的形式,e1*p1 + e2*p2 + .... + en*pn,整数的所有约数的个数为(1+p1)*(1+p2)*(1+pn); 注意:当时我也在担心,题目中要求我们的分解成的两个数不能相等,但是当我们求出约数总数以后直接除了2(因为我们只需要一半),没有特殊处理相等的情况,会不会出错? 其实不会,我们这个…

全域多项式插值指的是在整个插值区域内形成一个多项式函数作为插值函数.关于多项式插值的基本知识,见“计算基本理论”. 在单项式基插值和牛顿插值形成的表达式中,求该表达式在某一点处的值使用的Horner嵌套算法啊,见"Horner嵌套算法". 1. 单项式(Monomial)基插值 1)插值函数基 单项式基插值采用的函数基是最简单的单项式:$$\phi_j(t)=t^{j-1}, j=1,2,...n;\quad f(t)=p_{n-1}(t)=x_1+x_2t+x_3t^2+...x_n…

一.问题背景  整数拆分,指把一个整数分解成若干个整数的和 如 3=2+1=1+1+1  共2种拆分 我们认为2+1与1+2为同一种拆分 二.定义 在整数n的拆分中,最大的拆分数为m,我们记它的方案数为 f(n,m) 即 n=x1+x2+······+xk-1+xk ,任意 x≤m 在此我们采用递归递推法 三.递推关系 1.n=1或m=1时   拆分方案仅为 n=1 或 n=1+1+1+······ f(n,m)=1 2.n=m时 S1选取m时,f(n,m)=1,即n=m S2不选取m时,f(n…

随机拆分,简直机智. 关于过程可以看http://wenku.baidu.com/link?url=JPlP8watmyGVDdjgiLpcytC0lazh4Leg3s53WIx1_Pp_Y6DJTC8QkZZqmiDIxvgFePUzFJ1KF1G5xVVAoUZpxdw9GN-S46eVeiJ6Q-zXdei 看完后,觉得随机生成数然后和n计算gcd,可以将随机的次数根号一下.思想很叼. 对于里面说的birthday trick,在执行次数上我怎么看都只能减一半.只是把平均分布,变成了靠近0…

链接:传送门 题意:一个数n有多少种拆分方法 思路:典型母函数在整数拆分上的应用 /************************************************************************* > File Name: 1.cpp > Author: WArobot > Blog: http://www.cnblogs.com/WArobot/ > Created Time: 2017年04月20日 星期四 21时07分09秒 ********…

343. 整数拆分 343. Integer Break 题目描述 给定一个正整数 n,将其拆分为至少两个正整数的和,并使这些整数的乘积最大化. 返回你可以获得的最大乘积. 每日一算法2019/5/28Day 25LeetCode343. Integer Break 示例 1: 输入: 2 输出: 1 解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1. 示例 2: 输入: 10 输出: 36 解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36. 说明: 你可以假设 n 不小于…

一.题目 题目描述 定义一个整数拆分序列 \(a\) 的权值为: \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^{i-1}\gcd(a_i,a_j) \] 求对于一个整数 \(n\) 所有整数拆分序列的权值和模 \(1e9+7\) 的值,有 \(m\) 个数不能选. 数据范围 \(n,m\leq2000\),多组数据 二.解法 法一 见到 \(\gcd\) 就用莫比乌斯反演,问题变成了求 \(i\) 倍数有 \(x\) 个的整数拆分个数. 暴力完全背包是 \(O(n^3\log n)\) 的…

整数的有序拆分就是隔板法,无序拆分则有两种处理方法 DP递推 我们假设P(n,m)P(n,m)P(n,m)是正整数nnn无序拆分为mmm个正整数的方案数 对于某一种拆分,不妨将拆分出来的mmm个数从小到大排序,分类讨论 最小的数等于111,那么去掉这个111,相当于把剩下的n−1n-1n−1拆分成m−1m-1m−1个数,方案数就为P(n−1,m−1)P(n-1,m-1)P(n−1,m−1) 最下的数大于111,那么将所有的数减去111,相当于把剩下的n−mn-mn−m拆分成mmm个数,方案数就为…

LINK:calc 容易得到一个nk的dp做法 同时发现走不通了 此时可以考虑暴力生成函数. 不过化简那套不太熟 且最后需要求多项式幂级数及多项式exp等难写的东西. 这里考虑观察优化dp的做法. 不容易看出 f(n,k)是关于k的2n+1次多项式. 证明可以用数学归纳法证明 且还可以从非常规律的转移中看出这应该是一个形似多项式的东西. 可以直接O(n)拉格朗日插值 不过这里懒得写因为 外面dp是\(n^2\)求点值的所以这里没必要O(n). 注意初始化. const ll MAXN=1010;…

求整数的拆分数.. 一种解法是母函数 #include <iostream> #include <stdio.h> #include<string.h> #include<algorithm> #include<string> #include<ctype.h> using namespace std; #define MAXN 10000 ][]; int main() { int n; while(scanf("%d&q…

题目大意 有两棵 \(n\) 个点的树 \(T_1\) 和 \(T_2\). 你要给每个点一个权值吗,要求每个点的权值为 \([1,y]\) 内的整数. 对于一条同时出现在两棵树上的边,这条边的两个端点的值相同. 若 \(op=0\),则给你两棵树 \(T_1,T_2\),求方案数. 若 \(op=1\),则给你一棵树 \(T_1\),求对于所有 \(n^{n-2}\) 种 \(T_2\),方案数之和. 若 \(op=2\),则求对于所有的 \(T_1,T_2\),求方案数之和. \(n\leq…

这个题我们首先可以dp,f[i][j]表示前i个科目恰好碾压了j个人的方案数,然后进行转移.我们先不考虑每个人的分数,先只关心和B的相对大小关系.我们设R[i]为第i科比B分数少的人数,则有f[i][j]=sum f[i-1][k]*C(k,j)*C(n-1-k,R[i]-j)  (k>=j) 怎么解释呢,首先前i-1科有k个人已经被碾压,k肯定大于等于j,然后考虑当前这一科有j个人被碾压,那么就需要从k个人中选出j个来即C(k,j),然后从剩下的有R[i]-j个人比B考的少,这些人必须是之前i…

题目描述: 一个整数总可以拆分为2的幂的和,例如:7=1+2+4 7=1+2+2+2 7=1+1+1+4 7=1+1+1+2+2 7=1+1+1+1+1+2 7=1+1+1+1+1+1+1总共有六种不同的拆分方式. 再比如:4可以拆分成:4 = 4,4 = 1 + 1 + 1 + 1,4 = 2 + 2,4=1+1+2. 用f(n)表示n的不同拆分的种数,例如f(7)=6.要求编写程序,读入n(不超过1000000),输出f(n)%1000000000. 输入: 每组输入包括一个整数:N(1<=…

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4559 看了看拉格朗日插值:http://www.cnblogs.com/ECJTUACM-873284962/p/6833391.html https://blog.csdn.net/lvzelong2014/article/details/79159346 https://blog.csdn.net/qq_35649707/article/details/78018944 还只会最简单的…

生成函数(母函数) 母函数又称生成函数.定义是给出序列:a0,a1,a2,...ak,...an, 那么函数G(x)=a0+a1*x+a2*x2+....+ak*xk +...+an* xn  称为序列a0,a1,a2,.......ak,......的母函数(即生成函数). 1. 问题 n=x1+x2+x3+...+xk有多少个非负整数解?这道题是学排列与组合的经典例题了. 把每组解的每个数都加1,就变成n+k=x1+x2+x3+...+xk的正整数解的个数了. 教材上或许会出现这么一个难听的…

Ignatius and the Princess III HDU - 1028 整数划分问题 假的dp(复杂度不对) #include<cstdio> #include<cstring> typedef long long LL; LL ans[][]; LL n,anss; LL get(LL x,LL y) { ) return ans[x][y]; ) ; ; ans[x][y]=; LL i; ;i<=y;i++) ans[x][y]+=get(x-y,i); re…

bzoj 题意: 有\(n\)位同学,\(m\)门课. 一位同学在第\(i\)门课上面获得的分数上限为\(u_i\). 定义同学\(A\)碾压同学\(B\)为每一课\(A\)同学的成绩都不低于\(B\)同学. 现在知道一个同学碾压了\(k\)个人,同时已知其各个科目的排名\(r_i\),问有多少种情况满足这个说法. 思路: 考虑按照每一科一个一个来考虑,\(dp[i][j]\)表示前\(i\)门课碾压\(j\)个人的情况数. 那么有转移\(dp[i][j]=\sum dp[i-1][k]\cdo…

题目:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5230 题意:给定n,c,l,r.求有多少种方法从1~n-1选取任意k数每个数的权重为其下标,使得这些数字之和加上c之后在l,r范围内. 题解:第一反应是计数01包,但是范围给定的n太大,TLE... 然后仔细想想,不就是求l~r范围内不重复的整数划分数嘛. dp[i][j]表示j这个数字,当前的拆分拥有i个拆分数时的方案数. 先考虑允许重复数字 : dp[i][j] = dp[i][j - i] + d…

题目详情 给定一个正整数 n,将其拆分为至少两个正整数的和,并使这些整数的乘积最大化. 返回你可以获得的最大乘积. 示例 1: 输入: 2 输出: 1 解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1. 示例 2: 输入: 10 输出: 36 解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36. 说明: 你可以假设 n 不小于 2 且不大于 58. 题目解析 关键是找到状态方程, 我们设置dp[i]表示整数i的最大乘积, 那么把问题分成子问题, 我们发现dp[i] 与前面的dp…