题意 题目链接 Sol 不想打公式了,最后就是求一个 \(\sum_{i=1}^n ig(\frac{N}{i})\) \(g(i) = \sum_{i=1}^n \phi(i) i^2\) 拉个\(id2\)卷一下 这个博客推的狠详细 #include<bits/stdc++.h> #define int long long #define LL long long using namespace std; const int MAXN = 1e6 + 10, mod = 1e9 + 7,…

题意:求\(\sum_{i = 1}^{n}\sum_{j = 1}^{n}lcm(i, j)\). 题解:虽然网上很多题解说用mu卡不过去,,,不过试了一下貌似时间还挺充足的,..也许有时间用phi试试? 因为是用的莫比乌斯函数求的,所以推导比大部分题解多...而且我写式子一般都比较详细,所以可能看上去很多式子,实际上是因为每一步都写了,几乎没有跳过的.所以应该都可以看懂的. 末尾的\(e\)函数是指的\(e[1] = 1\),\(e[x] = 0(x != 1)\)这样一个函数 \[\sum…

来自FallDream的博客,未经允许,请勿转载,谢谢. ------------------------------------------------------------------------------------------ 题意:求$$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}lcm(i,j)   \\\    n\leqslant 10^{10}$$ 题解:题目即求$$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\frac{i*j}{gcd(i,j)}…

又被这神仙题给坑爆了. 神仙题解. 一开始我把lcm变成ij/gcd然后按照常规套路去推,推到最后发现不是miu * Id而是miu · Id......这还搞鬼啊. 正解居然跟这个差不多,先转成求其中一部分的函数,然后再加和......这谁顶得住呀. 大概就是先求这个 一顿操作之后得到了phi有关的式子...... 然后原式就是这个 然后带进去推一推就出来杜教筛了...这第一步真是神奇. 最后是这个. 按照套路,前面分块,后面配一个g(x) = x2即可. #include <cstdio>…

题目链接 \(Description\) \(n\leq 10^{10}\),求 \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^ngcd(i,j)\ mod\ (1e9+7)\] \(Solution\) 首先 \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^ngcd(i,j)=\sum_{d=1}^nd\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n[gcd(i,j)=d]\] 注意不是\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^ngcd(i,j)=\sum_{d=1}^n\sum…

题意 给定 \(n\) ,求 \(\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n lcm(i,j)\). \(n\leq 10^{10}\) 分析 推式子 \[\begin{aligned} ans &= 2\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^ilcm(i,j)-\sum_{i=1}^nlcm(i,i) \\ &=2\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^i \frac{ij}{(i,j)}-\frac{n(n+1)}{2} \\ &=2\sum_{d=1}^…

题目链接 https://www.51nod.com/Challenge/Problem.html#!#problemId=1238 题解 本来想做个杜教筛板子题结果用另一种方法过了...... 所谓的"另一种方法"用到的一些技巧还是挺不错的,因此这里简单介绍一下. 首先还是基本的推式子: \[\begin{aligned}\sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^n {\rm lcm}(i, j) &= \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^n…

题面 传送门 题解 懒了--这里写得挺好的-- //minamoto #include<bits/stdc++.h> #define R register #define ll long long #define IT map<ll,int>::iterator #define fp(i,a,b) for(R int i=a,I=b+1;i<I;++i) #define fd(i,a,b) for(R int i=a,I=b-1;i>I;--i) #define go(…

51nod 1238 最小公倍数之和 V3 求 \[ \sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N lcm(i,j) \] \(N\leq 10^{10}\) 先按照套路推一波反演的式子: \[ Ans=\sum_{g=1}g\sum_{i=1}^{\frac{n}{g}}\sum_{j=1}^{\frac{n}{g}}ij\sum_{d|i,d|j}\mu(d)\\ =\sum_{g=1}g\sum_{d=1}^{\frac{n}{g}}d^2\mu(d)S^2(\frac{n}{dg})…

1238 最小公倍数之和 V3 三种做法!!! 见学习笔记,这里只贴代码 #include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> #include <cmath> using namespace std; typedef long long ll; const int N = 4641590, U = 4641588, mo = 1e9+7, in…