题目大意 给出正整数 n 和 k 计算 \(G(n, k)=k\ \bmod\ 1 + k\ \bmod\ 2 + k\ \bmod\ 3 + \cdots + k\ \bmod\ n\) 的值 其中 \(k\ \bmod\ i\) 表示 k 除以 i 的余数. 解析 整除分块的一个典型例子. 整除分块解决的是形如 \[ \sum^n_{i=1} ~ \lfloor\frac{n}{i}\rfloor \] 的问题,其复杂度为\(O(\sqrt{n})\). 实际上是规律性的一类问题,打表可以发…

参考:题解 令f(i)=k%i,[p]表示不大于p的最大整数f(i)=k%i=k-[k/i]*i令q=[k/i]f(i)=k-qi如果k/(i+1)=k/i=qf(i+1)=k-q(i+1)=k-qi-q=f(i)-q于是,对于区间[l,r],使其之内任意两个整数i,j,都满足k/i=k/j,则f(l)到f(r)是一个递减的等差数列,公差为[k/i].现在就是要把1到n分成这样的一些区间,设某个区间的商(公差)为p设区间内某数为x,则现在要做的是解方程[k/x]=p显然px<=k,因此x<=k…

题目传送门 余数求和 题目背景 数学题,无背景 题目描述 给出正整数n和k,计算G(n, k)=k mod 1 + k mod 2 + k mod 3 + … + k mod n的值,其中k mod i表示k除以i的余数.例如G(10, 5)=5 mod 1 + 5 mod 2 + 5 mod 3 + 5 mod 4 + 5 mod 5 …… + 5 mod 10=0+1+2+1+0+5+5+5+5+5=29 输入输出格式 输入格式: 两个整数n k 输出格式: 答案 输入输出样例 输入样例#1…

\(\sum_{i=1}^n\;k\;mod\;i\) Solution \(\sum_{i=1}^n\;k\;mod\;i\\=\sum_{i=1}^n(k-i\lfloor{\frac{k}{i}}\rfloor)\\=k\times n-\sum_{i=1}^ni\lfloor{\frac{k}{i}}\rfloor\) 至于后面那项,整除分块即可 #include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define int long long si…

传送门 解题思路 数论分块,首先将 \(k\%a\) 变成 \(k-a*\left\lfloor\dfrac{k}{a}\right\rfloor\)形式,那么\(\sum\limits_{i=1}^nk\%i=n*k-\sum\limits_{i=1}^ni*\left\lfloor\dfrac{k}{i}\right\rfloor\),这样的话因为\(\left\lfloor\dfrac{k}{i}\right\rfloor\)的取值只有\(O(\sqrt n)\)级别,所以可以每次找到相等…

一.题面 P2261 [CQOI2007]余数求和 二.分析 参考文章:click here 对于整除分块,最重要的是弄清楚怎样求的分得的每个块的范围. 假设$ n = 10 ,k = 5 $ $$   i : 1 \  2 \ 3 \ 4 \ 5 \ 6 \ 7 \ 8 \ 9 \ 10  \\  \lfloor \frac{k}{i} \rfloor :  5 \ 2 \ 1 \ 1 \ 1 \ 0 \ 0 \ 0 \ 0 \ 0   $$ 我们推导出假设$ L = i $,那么,对应的 $…

P2261 [CQOI2007]余数求和 题意: 求\(G(n,k)=\sum_{i=1}^n k \ mod \ i\) 数据范围: \(1 \le n,k \le 10^9\) \(G(n,k)\) \(=\sum_{i=1}^n k-i*\lfloor \frac{k}{i} \rfloor\) \(=n*k-\sum_{i=1}^n i*\lfloor \frac{k}{i} \rfloor\) 显然,\(\lfloor \frac{k}{i} \rfloor\)的分布可能会有重复. 根…

Bzoj 1257 [CQOI2007]余数之和 (整除分块) 题目链接:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1257 一道简单题. 题目要求: \[\sum_{i=1}^nx \% i = \] \[\sum_{i=1}^nk - i * [\dfrac{k}{i}] = \] \[n * k - \sum_{i=1}^n i * [\dfrac{k}{i}]\] 后面这一部分可以用整除分块解决. 需要注意的是.\(k\%i(i >…

P2261 [CQOI2007]余数求和 关键在于化简公式,题目所求$\sum_{i=1}^{n}k\mod i$ 简化式子,也就是$\sum_{i=1}^{n}(k-\frac{k}{i}\times k)$ $=n*k-\sum_{i=1}^{n}\frac{k}{i}\times k$ $⌊ \frac{m}{k}⌋$ 共有 $O( √ m)$ 种取值,直接计算.总时间复杂度 $O( √ m)$ 观察下图: 你会发现$\frac{k}{i}$是有规律的,或者说相同的紧挨着,分布在同一个块中…

题面 传送门:https://www.luogu.org/problemnew/show/P2261 Solution 这题显然有一个O(n)的直接计算法,60分到手. 接下来我们就可以拿出草稿纸推一推式子了 首先,取模运算在这里很不和谐,我们得转换一下. 对于任意取模计算,我们都有: 所以,我们可以做以下推算 经过一些手算,我们发现k/i(向下取整)是由一段一段的区间组成的,如下图 显然,每段区间的右端点可以通过二分的方法来找 对于每一段区间,我们可以把k/i提出来,括号里面就变成了(i+(i…

洛谷题目链接:[CQOI2007]余数求和 题目背景 数学题,无背景 题目描述 给出正整数n和k,计算G(n, k)=k mod 1 + k mod 2 + k mod 3 + - + k mod n的值,其中k mod i表示k除以i的余数.例如G(10, 5)=5 mod 1 + 5 mod 2 + 5 mod 3 + 5 mod 4 + 5 mod 5 -- + 5 mod 10=0+1+2+1+0+5+5+5+5+5=29 输入输出格式 输入格式: 两个整数n k 输出格式: 答案 输入…

题意:给出正整数n和k,计算j(n, k)=k mod 1 + k mod 2 + k mod 3 + - + k mod n的值其中k mod i表示k除以i的余数.例如j(5, 3)=3 mod 1 + 3 mod 2 + 3 mod 3 + 3 mod 4 + 3 mod 5=0+1+0+3+3=7 题解k%i=k-\(\left\lfloor\frac{k}{i}\right\rfloor\) \(*i\),然后\(\left\lfloor\frac{k}{i}\right\rfloor…

题面?? 点我获得题面QAQ 我这个咕儿终于在csp初赛前夕开始学习数论了! 我是绝对不会承认之前不学数学是因为去年刚开始学OI的时候就跟yyq他们学莫比乌斯反演然后自闭的 分析 对于k mod i,可以表示为$k-(k/i)*i$ 所以答案就为 $$\sum_{i=1}^n k-(k/i)i$$ $$=nk-\sum_{i=1}^n (k/i)i$$ $\sum_{i=1}^n (k/i)i$这个东西可以用整除分块优化加上高斯求和搞(说得很高级似的 剩下的就很容易了 哇卡卡卡我总算学会用数学公…

题意 求 $\sum _{i=1}^n k \ mod \ i$($1\leq n,k\leq 10^9$). 分析 数据范围这么大 $O(n)$ 的复杂度也挺不住啊 根据取模的意义,$k \ mod \ i = k - \left \lfloor \frac{k}{i} \right \rfloor * i$, 因此可以用整除分块,注意分类讨论 $k$ 与 $n$ 的关系. #include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long l…

最近中考放假几天都在怼一道BJOI2018的水题,但卡死在90pts跑不动啊! 然后今天发现终于过了然而Hack的数据全RE了然后就开始找新的题目来找回信心. 然后发现智能推荐里有这道题,然后想了1min才想到CQOI到底是哪里的原来是重庆呵 其实还是一道比较好的除法分块的入门题.动一下脑子就可以做了. 我们先观察一下最基础的式子: \(\sum_{i=1}^n k\ mod\ i\) 然后我们利用取余的基本性质,即\(k\ mod\ i=k-i\lfloor\frac{k}{i}\rfloor…

题目链接:传送门 题目: 题目背景 数学题,无背景 题目描述 给出正整数n和k,计算G(n, k)=k mod + k mod + k mod + … + k mod n的值,其中k mod i表示k除以i的余数.例如G(, )= mod + mod + mod + mod + mod …… + mod =+++++++++= 输入输出格式 输入格式: 两个整数n k 输出格式: 答案 输入输出样例 输入样例#: 输出样例#: 说明 %: n,k <= %: n,k <= ^ % n,k &l…

我是题面 题意还是很清晰,很容易理解 1e9范围明显不能暴力,除非你能把常数优化到\(\frac1 {10}\),但我实在想象不到用了这么多取模怎么把常数优化下去 我们可以把\(k\%i\)变成\(k-k/i*i\)(整除) 那么总的和也就从\(\sum_{i=1}^{n}k\%i\)变成了\(\sum_{i=1}^n k-k/i*i\),又可以转化为\(nk-\sum_{i=1}^n k/i*i\) \(k/i\)的值只有有\(\sqrt k\)种,且相同的值都是连续出现的,所以我们可以直接利…

洛谷 一看就知道是一个数学题.嘿嘿- 讲讲各种分的做法吧. 30分做法:不知道,这大概是这题的难点吧! 60分做法: 一是直接暴力,看下代码吧- #include <bits/stdc++.h> using namespace std; typedef int _int; #define int long long _int main() { int n,k,ans=0; cin>>n>>k; for (int i=1;i<=n;++i) { ans+=(k%i)…

上模板题例题: [CQOI2007]余数求和 洛谷 BZOJ 题目大意:求 $\sum^n_{i=1}k\ mod\ i$ 的值. 等等……这题就学了三天C++的都会吧? $1\leq n,k\leq 10^9$.(一口老血喷到屏幕上) $O(n)$ 行不通了,考虑别的做法. 我们来看一下 $\lfloor\frac{x}{i}\rfloor$ 的值. $x=9$:(不包括0,只有4种取值?) i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x/i 9 4 3 2 1 1 1 1 1 0 $x=1…

P2261[[CQOI2007]余数求和] 蒟蒻终于不看题解写出了一个很水的蓝题,然而题解不能交了 虽然还看了一下自己之前的博客 题目要求: \[\sum_{i=1}^{n}{k \bmod i} \] 做些变化 \[\sum_{i=1}^{\min(n,k)}{k-\lfloor \frac{k}{i} \rfloor}\times i \] \[n\times k-\sum_{i=1}^{\min(n,k)}{\lfloor \frac{k}{i}\rfloor \times i} \] 按…

[Luogu 2261] CQOI2007 余数求和 这一定是我迄今为止见过最短小精悍的省选题了,核心代码 \(4\) 行,总代码 \(12\) 行,堪比小凯的疑惑啊. 这题一看暴力很好打,然而 \(10^{9}\) 的范围注定会卡掉暴力. 所以我们要用除法分块来优化. 由题意得:\(ans = \sum_{i=1}^{n} k \bmod i\) 我们知道,\(a \bmod b = a - b \times \lfloor \frac{a}{b} \rfloor\) 因此,\(ans = \…

1225 余数之和 基准时间限制:1 秒 空间限制:131072 KB 分值: 80 难度:5级算法题  收藏  关注 F(n) = (n % 1) + (n % 2) + (n % 3) + ...... (n % n).其中%表示Mod,也就是余数. 例如F(6) = 6 % 1 + 6 % 2 + 6 % 3 + 6 % 4 + 6 % 5 + 6 % 6 = 0 + 0 + 0 + 2 + 1 + 0 = 3. 给出n,计算F(n), 由于结果很大,输出Mod 1000000007的结果…

1257: [CQOI2007]余数之和 Time Limit: 5 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 6117  Solved: 2949[Submit][Status][Discuss] Description 给出正整数n和k,计算j(n, k)=k mod 1 + k mod 2 + k mod 3 + … + k mod n的值 其中k mod i表示k除以i的余数. 例如j(5, 3)=3 mod 1 + 3 mod 2 + 3 mod 3 + 3 m…

一道数论分块首先这类的求和写一下公式∑n%i=∑n-i*(n/i)= ∑n-∑i*(n/i) 前面的好求所以 ans=nk+∑k*(k/i);于是进行分块这里总结一下只要出现除法∑就进行分块由阿尔贝和推论加号后面的也等于(∑i)(∑(k/[i]-k+1/[i]))(阿尔贝恒等式)这样是不是更显然了∑i等差数列求和后面的参见我的数论分块另一个博客 #include<cstdio> #include<iostream> #include<algorithm> using n…

题目描述 给出正整数n和k,计算G(n, k)=k mod 1 + k mod 2 + k mod 3 + … + k mod n的值,其中k mod i表示k除以i的余数.例如G(10, 5)=5 mod 1 + 5 mod 2 + 5 mod 3 + 5 mod 4 + 5 mod 5 …… + 5 mod 10=0+1+2+1+0+5+5+5+5+5=29 输入输出格式 输入格式: 两个整数n k 输出格式: 答案 输入输出样例 输入样例#1: 复制 10 5 输出样例#1: 复制 29…

Description 给出正整数n和k,计算j(n, k)=k mod 1 + k mod 2 + k mod 3 + … + k mod n的值 其中k mod i表示k除以i的余数. 例如j(5, 3)=3 mod 1 + 3 mod 2 + 3 mod 3 + 3 mod 4 + 3 mod 5=0+1+0+3+3=7 Input 输入仅一行,包含两个整数n, k. 1<=n ,k<=10^9 Output 输出仅一行,即j(n, k). Sample Input 5 3 Sample…

题目大意:给定 n, k,求\(\sum\limits_{i=1}^n k\%n\) 的值. 题解:除法分块思想的应用. \(x\%y=x-y\lfloor {x\over y}\rfloor\),因此只需快速求出 \(\sum\limits_{i=1}^n {k\over i}\) 即可. 引理:\(i\in [1,k], {k\over i}\) 最多只有不超过 \(2\sqrt k\) 个不同的值.(分情况讨论即可得出) 现在,只需找出每一段的起点和终点即可根据等差数列求和的方式来在 \(…

除法分块. 猜想: 记 \(g(x)=\lfloor k / \lfloor k / x\rfloor \rfloor\),则对于 \(i \in [x,g(x)]\),\(\lfloor k / i \rfloor\) 都相等. 证明: 显然函数 \(y=k/x\) 单调递减.显然 \(\lfloor k/x \rfloor \leq k/x\).则: \(g(x)=\lfloor k / \lfloor k / x\rfloor \rfloor \geq \lfloor k/(k/x) \r…

大于k的部分直接加k 对于小于等于k的cnt个数 ans=cnt*k - Σ(k/i * i) 然后k/i在一段区间内不变,这段区间直接可以数列求和 # include <bits/stdc++.h> # define IL inline # define RG register # define Fill(a, b) memset(a, b, sizeof(a)) using namespace std; typedef long long ll; IL ll Read(){ RG char…

大家都说这题水然而我好像还是调了有一会儿……不过暴力真的很良心,裸的暴力竟然还有60分. 打一张表出来,就会发现数据好像哪里有规律的样子,再仔细看一看,就会发现k/3~k/2为公差为2的等差数列,k/2~之后为公差为1的等差数列,于是我们就可以利用高斯求和快速求解啦.自认为代码是能够看得的... #include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define LL long long #define int long long LL ans; , n…