MT【156】特例$a_n=\dfrac{6}{\pi n^2}$

设无穷非负数列$\{a_n\}$满足$a_n+a_{n+2}\ge2 a_{n+1},\sum\limits_{i=1}^{n}{a_i}\le1$,证明:$0\le a_n-a_{n+1}\le\dfrac{2}{n(n+1)}$ 证明:由题意$0\le a_n\le\sum\limits_{i=1}^{n}{a_i}\le1$又由于$1\ge a_{m}-a_n\ge(m-n)(a_{n+1}-a_n)$(凸数列性质,有定义易得)故当$m>n$时,$a_{n+1}-a_n\le \dfrac…

MT【131】$a_{n+1}\cdot a_n=\dfrac 1n$

已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=1$,$a_{n+1}\cdot a_n=\dfrac 1n$($n\in\mathbb N^*$)． (1) 求证:$\dfrac{a_{n+2}}{n}=\dfrac{a_n}{n+1}$: (2) 求证:$2\left(\sqrt{n+1}-1\right)\leqslant \dfrac{1}{2a_3}+\dfrac{1}{3a_4}+\cdots+\dfrac{1}{(n+1)a_{n+2}}\leqslant n$．…

MT【319】分段递推数列

已知数列$ x_n $满足$ 0<x_1<x_2<\pi $,且\begin{equation*} x_{n+1}= \left\{ \begin{aligned}x_n+\sin x_n&,x_n\le x_{n-1}\\x_n+\cos x_n&,x_n> x_{n-1}\end{aligned} \right.\end{equation*}证明:$x_4>x_3$且$0<x_n<\pi$ 证明:由定义$x_3=x_2+\cos x_2$若$…

MT【311】三角递推数列

已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=\dfrac{1}{2},a_{n+1}=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}a_n\right),S_n$ 为$\{a_n\}$的前$n$项和,求证:$S_n>n-\dfrac{5}{2}$ 证明:显然$a_n\in(0,1)$故由约旦不等式: $a_{n+1}=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}a_n\right)\ge\dfrac{2}{\pi}\cdot(\dfrac{\pi}{2}a_n)=a_n$, 即$a_n$单调递…

MT【316】常数变易法

已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=0,a_{n+1}=\dfrac{n+2}{n}a_n+1$,求$a_n$ 解答:$\dfrac{a_{n+1}}{n(n+1)}=\dfrac{a_n}{n(n+1)}+\dfrac{1}{n(n+1)}$累加得$a_n=\dfrac{n(n-1)}{2}$注:这里关键是变形,可以用常数变易法获取.提示:求通解$a_{n+1}=\dfrac{n+2}{n}a_n$,累乘可以得到$a_{n+1}=\dfrac{n(n+1)}{2}a_1$. 练习:已知数列…

MT【308】投影的定义

已知向量$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$满足:$|\overrightarrow{a}|=2$,向量$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$夹角为$\dfrac{2\pi}{3}$则$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$的取值范围_____ 提示:如图记$\overrightarrow{a}=\overrightarrow…

MT【307】周期数列

(2017浙江省数学竞赛) 设数列$\{a_n\}$满足:$|a_{n+1}-2a_n|=2,|a_n|\le2,n\in N^+$证明:如果$a_1$为有理数,则从某项后$\{a_n\}$为周期数列. 分析:若$a_1\in Q$由$|a_{n+1}-2a_n|=2$知道$a_n\in Q$. 设$a_n=\dfrac{q}{p},(p,q)=1$则$a_{n+1}=2a_n\pm2=\dfrac{2q\pm2p}{p}$故$a_n,a_{n+1}$ 在不约分的情况下分母相同.设$a_1=\d…

MT【300】余弦的三倍角公式

2017清华大学THUSSAT附加学科测试数学(二测)$\cos^5\dfrac{\pi}{9}+\cos^5\dfrac{5\pi}{9}+\cos^5\dfrac{7\pi}{9}$ 的值为_____A.$\frac{15}{32}$ B.$\frac{15}{16}$ C.$\frac{8}{15}$ D.$\frac{16}{15}$ 解答:注意到$\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta,\cos3\theta=\dfrac{1}{2}$的三个根为$\…

MT【267】第一次很重要

\begin{equation*}\textbf{已知}x_1,x_2<\pi,x_{n+1}=x_n+\left\{ \begin{aligned} sin x_n &,x_n>x_{n+1}\\ cos x_n&,x_n\le x_{n+1}\\ \end{aligned} \right. \end{equation*}证明:$ x_n<\dfrac{3\pi}{2}$ 假设存在$n_0,x_{n_0}<\dfrac{3\pi}{2},x_{n_0+1}\ge\…

MT【255】伸缩变换

(2012新课标9)已知$\omega>0,$函数$f(x)=sin(\omega x+\dfrac{\pi}{4})$在$(\dfrac{\pi}{2},\pi)$上单调递减,则$\omega$的取值范围是______ 分析: 常规方法:$\dfrac{\pi}{2}+2k\pi\le\omega x+\dfrac{\pi}{4}\le\dfrac{3\pi}{2}+2k\pi,k\in Z$得$x\in[\dfrac{\pi+8k\pi}{4\omega},\dfrac{5\pi+8k\pi…

MT【233】染色正方形

有$n$个正方形排成一行,今用红,白,黑三种颜色给这$n$个正方形染色,每个正方形只能染一种颜色.如果要求染白色的正方形必须是偶数个,问有多少种不同的染色方法. 解答:设有$a_n$种不同的染法,则$\{a_n\}$对应的指数型母函数为$f(x)=\left(1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\cdots+\dfrac{x^n}{n!}+\cdots\right)*\left(1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\cdots+\dfrac{x^n}{n!}+\cdots\right)$…

MT【167】反复放缩

已知数列$\{a_n\}$满足:$a_1=1,a_{n+1}=a_n+\dfrac{a_n^2}{n(n+1)}$1)证明:对任意$n\in N^+,a_n<5$2)证明:不存在$M\le4$,使得对任意$n,a_n<M$ 证明:1)显然$a_{n+1}>a_n,a_{n+1}=a_n+\dfrac{a_n^2}{n(n+1)}<a_n+\dfrac{a_na_{n+1}}{n(n+1)}$故$\dfrac{1}{a_n}<\dfrac{1}{a_{n+1}}+\dfrac{…

MT【162】渐近估计

(2017北大优特测试第八题) 数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$,$a_{n+1}=a_n+\dfrac{1}{a_n}$,若 $a_{2017}\in (k,k+1)$,其中 $k\in\mathbb N^{\ast} $,则 $ k$ 的值是______ A．$63$ B．$64$ C．$65$ D．$66$ 答案:A提示:对于上述递推式事实上我们有$\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{a_n}{\sqrt n…

MT【151】传球问题

(清华2017.4.29标准学术能力测试10) 甲.乙.丙.丁四人做相互传球的游戏,第一次甲传给其他三人中的一人,第二次由拿到球的人再传给其他三人中的一人,这样的传球共进行了$4$次,则第四次球传回甲的概率是_____ 解答:$\dfrac{7}{27}$ 评:传球问题是染色问题的一种变形.记有$a_n$种传法,一般的公式$a_n=\dfrac{[(m-1)^n+(-1)^n(m-1)]}{m}$其中$m$为传球人数,$n$ 为传球次数.传球问题的大绝招是用行列式去处理. 注:还可以利用概率做,…

MT【128】不动点指路

已知数列$\{a_n\}$满足$2a_{n+1}=1-a_n^2$,且$0<a_1<1$．求证:当$n\geqslant 3$ 时,$\left|\dfrac{1}{a_n}-\left(\sqrt 2+1\right)\right|<\dfrac{12}{2^n}$．解答: 设迭代函数$f(x)=\dfrac 12\left(1-x^2\right)$,那么函数的不动点为$x=\sqrt 2-1$,一个保值区间是\(\left[0,\dfrac 12\ri…

MT【121】耐克数列的估计

已知$\{a_n\}$满足$a_1=1,a_2=2,\dfrac{a_{n+2}}{a_n}=\dfrac{a_{n+1}^2+1}{a_n^2+1}$, 求$[a_{2017}]$_____ 解:容易用累乘法得到$a_{n+1}=a_n+\dfrac{1}{a_n},n\in N^*,$两边平方得 $a_{n+1}^2=a_n^2+2+\dfrac{1}{a_n^2},$于是$a_{n+1}^2-a_{n}^2\ge2,$从而$a_{n+1}^2\ge2n+1,$即$a_{n+1}\ge\sq…

[Math]Pi(2)

[Math]Pi(2) 接着前一篇,[Math]Pi(1),下面继续介绍Leonard Euler求Pi的第二个公式. 其实这个公式也是来源一个古老的问题,Basel problem . 证法1.麦克劳伦级数和零点式 sin(x)的 Maclaurin Series为: $$ \because \sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots $$ 再把 $\frac{\sin(x)}{x}$ 表示成零…

51nod 1149 Pi的递推式(组合数学)

传送门解题思路首先因为$Pi$不是整数,所以不能直接递推.这时我们要思考这个式子的实际意义,其实$f(i)$就可以看做从$i$这个点,每次可以向右走$Pi$步或$1$步,走到[0.4)的方案数.这样的话我们就可以枚举一下走一步的次数$i$,然后走$Pi$步的次数就是$\left\lfloor\dfrac{n-i}{Pi}\right\rfloor$.最后还要讨论一下最后一步能不能走$1$步,然后用组合数算一下. 代码 #include<iostream>…

数理方程：Fourier级数

更新:25 MAR 2016 对于周期函数(周期为$2\pi$)或定义在$[-\pi,\pi]$上的函数$f(x)$,可以展开为* $\large f(x)=\dfrac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\quad n=0,1,2,…$ 则系数为 $\large a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cdot\cos nx dx$ \(\large b_n…

傅里叶变换 - Fourier Transform

傅里叶级数傅里叶在他的专著<热的解析理论>中提出,任何一个周期函数都可以表示为若干个正弦函数的和,即: \[f(t)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}(a_ncos(n\omega t)+b_nsin(n\omega t))\]其中$\omega=\dfrac{2\pi}{T}$,$T$为函数的周期.$a_n/b_n$和$n$分别控制了正弦波的振幅与频率.这就是傅里叶级数的三角形式. 我们还可以用复指数形式1和积分2来表示傅里叶级数: \[ f(t)=\sum_…

「快速傅里叶变换(FFT)」学习笔记

FFT即快速傅里叶变换,离散傅里叶变换及其逆变换的快速算法.在OI中用来优化多项式乘法. 本文主要目的是便于自己整理.复习 FFT的算法思路已知两个多项式的系数表达式,要求其卷积的系数表达式. 先将两个多项式分别转化为点值表达式,完成点值表达式的乘法,然后转为系数表达式得到结果. 点值表达式的乘法.整体考虑:假设已知两个多项式$A(x)$和$B(x)$.如果已知当$x=x_0$时$A(x_0)$和$B(x_0)$,则其乘积一定有点值$A(x_0)*B(x_0)$.因此点值表达式的乘法复杂度$O…

一个形式较精细的Strling公式的证明

近日整理书稿,在整理至Strling公式处时,发现当时数学老师所讲的是形式比较精细的一种: Strling公式:$n!=\sqrt{2\pi n}\left(\dfrac{n}{\mathrm{e}}\right)^n\mathrm{e}^{\frac{\theta_n}{12n}},$其中$\theta_n\in\left(\dfrac{n}{n+1},1\right)$是一个与$n$有关的变量. 这相当于是利用Euler-Maclaurin求和公式所能得到的最精确形式的Strli…

x = cos x 的解析形式

x = cos x 的解析形式玩计算器的发现大家都玩过计算器吧, 不知注意到没有. 输入任意数, 然后不断按最后总会输出. 什么, 你说明明记得是:? 哦, 因为你用了角度制. 这一系列操作等价于求解方程, 角度制下就是. 当然对于现在的你来说求数值解没啥意思了, 要求就求解析解是吧. 不过这两个方程其实是一样的, 我们先变个形: 也就是说: 于是我们现在只要解决这一个方程了. 最早研究这个问题的是天文学家, 毕竟那时候也没什么计算器给你玩, 一切要从实际出发... 开普勒方程你可能听说过…

FFT/NTT复习笔记&多项式&生成函数学习笔记Ⅰ

众所周知,tzc 在 2019 年(12 月 31 日)就第一次开始接触多项式相关算法,可到 2021 年(1 月 1 日)才开始写这篇 blog. 感觉自己开了个大坑( 多项式多项式乘法好吧这个应该是多项式各种运算中的基础了. 首先,在学习多项式乘法之前,你需要学会: 复数我们定义虚数单位 $i$ 为满足 $x^2=-1$ 的 $x$. 那么所有的复数都可以表示为 $z=a+bi$ 的形式,其中 $a,b$ 均为实数. 复数的加减直接对实部虚部相加减就行了. 复数的乘…

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\begin{equation} x^2+1=2 \end{equation} \begin{equation} x^2+y=3 \end{equation} $\dfrac{2\pi}{N}$…

DNA电荷转移：电阻的计算公式 & Marcus电子转移理论

更新:26 APR 2016 参考文献: [1] Mechanisms for DNA Charge Transport. Chem. Rev. 2010, 110, 3, 1642-1662 [电子转移机理] Superexchange: coherent orbital-mediated tunneling, where, for electron (hole) transport, the high-energy LUMOs(HOMOs) on the pathway are virtua…

[Everyday Mathematics]20150211 Carlson inequality

$$\bex a_n\geq 0\ra \vsm{n}a_n\leq \sqrt{\pi}\sex{\vsm{n}a_n^2}^{1/4} \sex{\vsm{n}n^2a_n^2}^{1/4}, \eex$$ $$\bex \int_0^\infty |f(x)|\rd x \leq\sqrt{\pi}\sex{ \int_0^\infty f^2(x)\rd x }^{1/4}\sex{ \int_0^\infty x^2f^2(x)\rd x }^{1/4}. \eex$$ 证明: 设 $…