二次剩余 ppp是奇素数.所有的运算都是在群Zp∗Z_{p}^{*}Zp∗​中的运算.方程x2=a≠0x^2=a \neq 0x2=a̸​=0问是否有解,以及解是什么?若有解,aaa就是模ppp的二次剩余:若无解,则aaa就是模ppp的非二次剩余. a=0a=0a=0,显然只有唯一解x=0x=0x=0. a≠0a\neq 0a̸​=0,有解等价于ap−12=1a^{\frac{p-1}{2}}=1a2p−1​=1;无解等价于ap−12=−1a^{\frac{p-1}{2}}=-1a2p−1​=−…

对于同余式 \[x^2 \equiv n \pmod p\] 若对于给定的\(n, P\),存在\(x\)满足上面的式子,则乘\(n\)在模\(p\)意义下是二次剩余,否则为非二次剩余 我们需要计算的是在给定范围内所有满足条件的\(x\),同时为了方便,我们只讨论\(p\)是奇质数的情况 前置定理 \(x^2 \equiv (x+p)^2 \pmod p\) 证明:\(x^2 \equiv x^2 + 2xp + p^2 \pmod p\)显然成立 对于\(x^2 \equiv n \pmod…

二次剩余定义: 在维基百科中,是这样说的:如果q等于一个数的平方模 n,则q为模 n 意义下的二次剩余.例如:x2≡n(mod p).否则,则q为模n意义下的二次非剩余. Cipolla算法:一个解决二次剩余强有力的工具,用来求得上式的x的一个算法. 需要学习的数论及数学基础:勒让德符号.欧拉判别准则和复数运算. 勒让德符号:判断n是否为p的二次剩余,p为奇质数. 欧拉定理为xφ(p)≡1(mod p) 当p为素数时,可知φ(p)=p-1,转化为xp-1≡1(mod p) 开根号后为 x(p−1…

转自:http://blog.csdn.net/doyouseeman/article/details/52033204 简介 Cipolla算法是解决二次剩余强有力的工具,一个脑洞大开的算法. 认真看懂了,其实是一个很简单的算法,不过会感觉得出这个算法的数学家十分的机智. 基础数论储备 二次剩余 首先来看一个式子x2≡n(modp),我们现在给出n,要求求得x的值.如果可以求得,n为mod p的二次剩余,其实就是n在mod p意义下开的尽方.Cipolla就是一个用来求得上式的x的一个算法.…

学习了一下1个$\log$的二次剩余.然后来水一篇博客. 当$p$为奇素数的时候,并且$(n, p) \equiv 1 \pmod{p}$,用Cipolla算法求出$x^2 \equiv n \pmod{p}$的一组解. 寻找一个$a$,使得$a^2 - n$是一个二次非剩余. 期望只用2次就能找到. 令$\omega \equiv \sqrt{a^2 - n} \pmod{p}$,显然这个值不存在,我们强行扩域. 那么$(a + \omega)^{(p + 1) / 2}$即为一组解. 证明如…

欧拉准则 \(a\)是\(p\)的二次剩余等价于\(a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1\pmod p\),\(a\)不是\(p\)的二次剩余等价于\(a^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1\pmod p\). Cipolla 若\(a^2-n\)不是\(p\)的二次剩余,则\(p\)的二次剩余为\((a+\sqrt{a^2-n})^\frac{p+1}{2}\). 因此我们随机\(a\)即可.\(\sqrt{a^2-n}\)的计算用复数. 时间复杂度约为\(O(\l…

Cipolla LL ksm(LL k,LL n) { LL s=1; for(;n;n>>=1,k=k*k%mo) if(n&1) s=s*k%mo; return s; } namespace number { LL D; struct Z { LL x,y; Z(LL _x=0,LL _y=0){x=_x,y=_y;} }; Z operator +(const Z &x,const Z &y) {return Z((x.x+y.x)%mo,(x.y+y.y)%m…

题意: 有一堆的学生关系,要将他们先分成两个组,同组的人都不互不认识,如果不能分2组,输出No.若能,则继续.在两组中挑两个认识的人(每组各1人)到一个双人房.输出需要多少个双人房? 思路: 先判定是否为二分图,可以用黑白着色法(DFS或BFS都行).若是二分图,再进行匹配,用匈牙利算法,注:给的是整个图,没有区分男女,用邻接表比较好. #include <bits/stdc++.h> #define LL long long using namespace std; ; vector<…

1.引用计数算法 描述:给对象中添加一个引用计数器,每当有一个地方引用它时,计数器值就加1:当引用失效时,计数器值就减1:任何时刻计数器值为0的对象就是不可能再被使用的. 特点:实现简单,判定效率高. 缺点:无法解决对象之间的相互循环引用的问题. 2.可达性分析算法 描述:通过一系列的成为“GC Roots”的对象作为引用起始点,从这些节点开始向下搜索,搜索所走过的路劲称为引用链,当一个对象到GC Roots没有任何引用链相连时,则证明此对象是不可用的. 可作为GC Roots的对象有: 虚拟机…

梅森素数 定义: if m是一个正整数 and 2^m-1是一个素数 then m是素数 if m是一个正整数 and m是一个素数 then M(m)=2^m-1被称为第m个梅森数 if p是一个素数 and M(p)是一个素数 then M(p)被称为梅森素数 Lucas-Lehmer判定法:判定一个梅森数是否是梅森素数 设p是素数,第p个梅森数为M(p)为2^p-1,r1 = 4,对于k >= 2 r(k) = r(k+1)^2-2(modM(p)), 0 <= r(k) <= M…

#include<iostream> #include<cstdio> #include<ctime> #include<string.h> #include<stdlib.h> #define LL long long using namespace std; const int S=20;//随机算法判定次数,S越大,判错概率越小 LL ans; //给定一个数,判断是否是素数(常用long long大数) LL mult_mod(LL a,…

今天我们来谈一谈素数的判定/筛法. 对于每一个OIer来说,在漫长的练习过程中,素数不可能不在我们的眼中出现,那么判定/筛素数也是每一个OIer应该掌握的操作,那么我们今天来分享几种从暴力到高效的判定法/筛法. 弱智的譬如从1枚举到n或者是枚举的\(\sqrt{n}\)的算法就不讲了. 1.欧拉筛 欧拉筛是最基本的一种线性筛法,预处理完成之后可以O(1)查询,适合于查询次数多,范围不大的情况. 基本思想:每个合数只让其最大因数(或最小质因数)标记. 为了保证这一点,我们开一个prime数组,把检…

可回收对象的判断方法 1.引用计数算法 2.可达性分析算法 引用计数算法 给对象中添加一个引用计数器,每当有一个地方引用它时,计数器值就加1:当引用失效时,计数器值就减1:任何时刻计数器为0的对象就是不可能再被使用的. 引用计数算法的缺陷:循环引用 可达性分析算法 可达性分析算法基本原理: 通过一些列的称为“GC Roots”的对象作为起始点,从这些节点开始进行向下搜索,搜索 所走过的路径成为引用链(Reference Chain),当一个对象到GC Roots没有任何引用连(用图论的话来说就是…

本题就是先推断能否够组成二分图,然后用匈牙利算法求出最大匹配. 究竟怎样学习一种新算法呢? 我也不知道什么方法是最佳的了,由于看书本和大牛们写的匈牙利算法具体分析,看了几乎相同两个小时没看懂,最后自己直接看代码,竟然不到半个小时看懂了.然后就能够直接拿来解题啦. 比方topcoder上有这个算法的非常具体的分析.真没看懂. 代码竟然比分析更清晰了?我也不好下结论. 可是我认为基本的思想还是有作用的. 说说我对这个算法的理解吧: 1 假设二分图分为两个集合 U, V,那么从一个集合U出发 2 U的…

题意:求${x^2} \equiv n\bmod p$ 解题关键: 定理:若$a$满足$w = {a^2} - n$是模$p$的二次非剩余,即,${x^2} = w\bmod p$无解,则${(a + \sqrt w )^{\frac{{p + 1}}{2}}}$是二次剩余方程${x^2} \equiv n\bmod p$的解. 证明: $\begin{array}{l}{x^2} \equiv {(a + \sqrt w )^{p + 1}} \equiv (a + \sqrt w ){(a…

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目录 二次剩余 勒让德符号(legendre symbol) Cipolla's Algorithm. 代码 end 二次剩余 给定y和奇质数p,求x,使得\(x^2≡y(mod p)\) 勒让德符号(legendre symbol) 以前看视频的截图 求解\(x^2\equiv a(mod\ p)\)时,我们可用勒让德符号来判定他是否有解 (前提,p必须为奇素数) \(\begin{pmatrix} \frac{a}{p} \end{pmatrix}=\begin{cases}0 (a\equ…

二次剩余 \(Cipolla\) 算法 概述 大概就是在模 \(p\) 意义下开根号,如求解方程\(x^2\equiv n(mod\ p)\). 这里只考虑 \(p\) 为素数的情况.若 \(p=2\) ,则\(x=0\ when\ n=0,x=1\ when\ n=1\). 若 \(p​\) 为奇素数,定义勒让德符号: \[ \lgroup\frac{n}{p}\rgroup =n^{\frac{p-1}{2}} \] 则根据欧拉准则, 对于 \(\lgroup \frac{n}{p} \rg…

公钥密码之RSA密码算法大素数判定:Miller-Rabin判定法! 先存档再说,以后实验报告还得打印上交. Miller-Rabin大素数判定对于学算法的人来讲不是什么难事,主要了解其原理. 先来灌输一下费马小定理:若p为素数,a是正整数且gcd(a,p)=1,则a^(p-1)%p=1.信息安全上俗称同余.本人时常将费马小定理与欧拉定理搞混淆,不过真的很类似.这里既是利用费马小定理来判定素数的. 当然了,费马小定理对于已知素数肯定是适用的,但不免存在一些伪素数也符合这个性质,所以我们需要随机数…

欧拉准则 模\(p\)意义下,\(a\)是二次剩余等价于\(a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1\),\(a\)不是二次剩余等价于\(a^{\frac{p-1}{2}}\equiv -1\). Cipolla算法 Cipolla 若\(a^2-n\)不是二次剩余,则\(n\)的二次剩余是\((a+\sqrt {a^2-n})^\frac{p+1}{2}\).其中计算时记录\(\sqrt{a^2-n}\)的系数,可证明最后其系数为\(0\). 随机\(a\)即可.时间复杂度为\(O(…

数学杂烩总结(多项式/形式幂级数+FWT+特征多项式+生成函数+斯特林数+二次剩余+单位根反演+置换群) 因为不会做目录所以请善用ctrl+F 本来想的是笔记之类的,写着写着就变成了资源整理 一些有的没的的前置 导数 \(f'(x)=\lim\limits_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{f(x+\triangle x)-f(x)}{\triangle x}\) \(\sin x:\cos x\) \(\cos x:-\sin x\) \(\ln x:\frac{…

部分引用自:http://blog.csdn.net/v5zsq/article/details/77255048 所以假设方程 x^2+x+1=0 在模p意义下的解为d,则答案就是满足(ai/aj) mod p = d的数对(i,j)的数量(i<j). 现在把问题转化为解这个模意义下的二次方程. x^2+x+1=0 配方:x^2+x+1/4+3/4=0 (x+1/2)^2+3/4=0 同乘4:(2x+1)^2+3=0 即(2x+1)^2=-3 (mod p) 换句话说,我们必须保证-3+p是p…

转载请说明出处:http://blog.csdn.net/cywosp/article/details/23397179     一致性哈希算法在1997年由麻省理工学院提出的一种分布式哈希(DHT)实现算法,设计目标是为了解决因特网中的热点(Hot spot)问题,初衷和CARP十分类似.一致性哈希修正了CARP使用的简 单哈希算法带来的问题,使得分布式哈希(DHT)可以在P2P环境中真正得到应用.        一致性hash算法提出了在动态变化的Cache环境中,判定哈希算法好坏的四个定义…

一致性哈希算法在1997年由麻省理工学院提出的一种分布式哈希(DHT)实现算法,设计目标是为了解决因特网中的热点(Hot spot)问题,初衷和CARP十分类似.一致性哈希修正了CARP使用的简单哈希算法带来的问题,使得分布式哈希(DHT)可以在P2P环境中真正得到应用. 一致性hash算法提出了在动态变化的Cache环境中,判定哈希算法好坏的四个定义: 1.平衡性(Balance):平衡性是指哈希的结果能够尽可能分布到所有的缓冲中去,这样可以使得所有的缓冲空间都得到利用.很多哈希算法都能够满足…

转载请说明出处:http://blog.csdn.net/cywosp/article/details/23397179 一致性哈希算法在1997年由麻省理工学院提出的一种分布式哈希(DHT)实现算法,设计目标是为了解决因特网中的热点(Hot spot)问题,初衷和CARP十分类似.一致性哈希修正了CARP使用的简 单哈希算法带来的问题,使得分布式哈希(DHT)可以在P2P环境中真正得到应用. 一致性hash算法提出了在动态变化的Cache环境中,判定哈希算法好坏的四个定义: 1.平衡性(Bal…

转载请说明出处:http://blog.csdn.net/cywosp/article/details/23397179     一致性哈希算法在1997年由麻省理工学院提出的一种分布式哈希(DHT)实现算法,设计目标是为了解决因特网中的热点(Hot spot)问题,初衷和CARP十分类似.一致性哈希修正了CARP使用的简 单哈希算法带来的问题,使得分布式哈希(DHT)可以在P2P环境中真正得到应用.      一致性hash算法提出了在动态变化的Cache环境中,判定哈希算法好坏的四个定义:…

一.简介: 一致性hash算法提出了在动态变化的Cache环境中,判定哈希算法好坏的四个定义: 1.平衡性(Balance) 2.单调性(Monotonicity) 3.分散性(Spread) 4.负载(Load) 普通的哈希算法(也称硬哈希)采用简单取模的方式,将机器进行散列,这在cache环境不变的情况下能取得让人满意的结果,但是当cache环境动态变化时,这种静态取模的方式显然就不满足单调性的要求(当增加或减少一台机子时,几乎所有的存储内容都要被重新散列到别的缓冲区中). 一致性哈希算法的…

一致性哈希算法 来自:http://blog.csdn.net/cywosp/article/details/23397179       一致性哈希算法在1997年由麻省理工学院提出的一种分布式哈希(DHT)实现算法,设计目标是为了解决因特网中的热点(Hot spot)问题,初衷和CARP十分类似.一致性哈希修正了CARP使用的简 单哈希算法带来的问题,使得分布式哈希(DHT)可以在P2P环境中真正得到应用.        一致性hash算法提出了在动态变化的Cache环境中,判定哈希算法好坏…

C - Prime number or not Time Limit:2000MS     Memory Limit:32768KB     64bit IO Format:%I64d & %I64u Submit Status Practice FZU 1649 Description Your task is simple.Give you a number N, you should judge whether N is a prime number or not. Input There…

 一致性哈希算法在1997年由麻省理工学院提出的一种分布式哈希(DHT)实现算法,设计目标是为了解决因特网中的热点(Hot spot)问题,初衷和CARP十分类似.一致性哈希修正了CARP使用的简 单哈希算法带来的问题,使得分布式哈希(DHT)可以在P2P环境中真正得到应用.        一致性hash算法提出了在动态变化的Cache环境中,判定哈希算法好坏的四个定义:   1.平衡性(Balance):平衡性是指哈希的结果能够尽可能分布到所有的缓冲中去,这样可以使得所有的缓冲空间都得到利用.…