令h(0)=1,h(1)=1,卡塔兰数数满足递归式:h(n)= h(0)*h(n-1) + h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (其中n>=2),这是n阶递推关系;还可以化简为1阶递推关系: 如h(n)=(4n-2)/(n+1)*h(n-1)(n>1) h(0)=1该递推关系的解为:h(n)=C(2n,n)/(n+1)=P(2n,n)/(n+1)!=(2n)!/(n!*(n+1)!) (n=1,2,3,...) #include <iostream> ];…

卡塔兰数(Catalan) 原理: 令h(0)=1,h(1)=1. 卡塔兰数满足递推式:h(n)=h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0)(n>=2) 比如: h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2 h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=1*2+1*1+2*1=5 另类递推式:h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1); 递推关系的解为: h(n)=c(2n,n)/(n+1) (n=…

author: cust-- ZKe --------------------- 这里以连乘积加括号问题为背景: 由于矩阵的乘积满足结合律,且矩阵乘积必须满足左边矩阵的列数的等于右边矩阵的行数,不同的计算顺序,需要的乘法运算次数不一样.加括号可以改变计算顺序,合理安排计算顺序可以大大降低计算次数. 给乘积算式加括号的方法数是一个计数问题.它的模型是卡特兰数. 比如有矩阵A,B,C,D,有五种加括号方式 ((A*B)*C)*D (A*(B*C))*D (A*B)*(C*D) A*(B*(C*D))…

[HNOI2009]有趣的数列 题目描述 我们称一个长度为2n的数列是有趣的,当且仅当该数列满足以下三个条件: (1)它是从1到2n共2n个整数的一个排列{ai}: (2)所有的奇数项满足a1<a3<...<a2n-1,所有的偶数项满足a2<a4<...<a2n: (3)任意相邻的两项a2i-1与a2i(1<=i<=n)满足奇数项小于偶数项,即:a2i-1<a2i. 现在的任务是:对于给定的n,请求出有多少个不同的长度为2n的有趣的数列.因为最后的答案…

题面 题解 把题意变换一下,从(0,0)走到(n,m),每次只能网右或往上走,所以假设最大前缀和为f(n),那么走的时候就要到达但不超过 y = x-f(n) 这条线, 我们可以枚举答案,然后乘上方案数. 根据卡塔兰数的通项公式公式的推导过程, 可以得出方案数的解法, 对于这道题的图中,求碰到过红线的方案数则是把第一次碰到红线后的步骤都沿红线轴对称折叠过去,那么就唯一对应一个从(0,0)走到(m+f(n),n-f(n))的方案,方案数就为C(n+m,n-f(n)) (这里是组合数) 我们再容斥一…

一.简介 设$h(0)=1$,$h(1)=1$,Catalan数满足递推式 $h(n) = h(0) \ast h(n-1) + h(1)\ast h(n-2) + \cdots + h(n-1)\ast h(0) $ 等价递推式: $h(n) = C_{2n}^{n} / (n + 1)$,$ (n=0,1,2,...)$ $h(n)=C_{2n}^{n}-C_{2n}^{n-1}$,$(n=0,1,2,...)$ 二.例题 1. Unique Binary Search Trees 2. U…

内容部分来自以下博客: Cyberspace_TechNode 邀月独斟 一个大叔 表示感谢! Catalan数的引入: 一个长度为2N的序列,里面有N个+1,N个-1 它的任意前缀和均非负,给定N,求有多少个这样的序列 2n个人排队买票,其中n个人持50元,n个人持100元.每张票50元,且一人只买一张票.初始时售票处没有零钱找零.请问这2n个人一共有多少种排队顺序,不至于使售票处找不开钱 可以发现这两个问题的本质是一样的(括号匹配问题),它们的答案都是卡特兰数 定义:令h(0)=1,h(1)…

一.定义: 卡特兰数是一组满足下面递推关系的数列: 二.变形: 首先,设h(n)为Catalan数的第n+1项,令h(0)=1,h(1)=1,Catalan数满足递推式: h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)*h(0) (n>=2) 可化简为1阶递推关系: h(n)=(4n-2)/(n+1)*h(n-1)  (n>=2) 想看证明的点这里:https://blog.csdn.net/guoyangfan_/article/details/82…

题目链接:https://www.luogu.org/problemnew/show/P1044 转载于:https://www.luogu.org/blog/QiXingZhi/solution-p1044 题目背景 栈是计算机中经典的数据结构,简单的说,栈就是限制在一端进行插入删除操作的线性表. 栈有两种最重要的操作,即pop(从栈顶弹出一个元素)和push(将一个元素进栈). 栈的重要性不言自明,任何一门数据结构的课程都会介绍栈.宁宁同学在复习栈的基本概念时,想到了一个书上没有讲过的问题,…

题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php? pid=1133 [题意] 电影票50块一张 有m个人手里正好有50块,n个人手里正好有100块,售票厅開始没有钱.问,有多少种排队的方式,能够让每一个人都买上票. (假设售票厅没有50块零钱,则持有100块的人买不了票) [分析] 显然.当m<n的时候,有0种排列方式. 当m>=n的时候: 用0.代表手里仅仅有50块的人,1,代表手里仅仅有100块的. 则0110100 这样的情况不能满足条件(到第三个人…