LOJ #6202. 叶氏筛法(min_25 筛)

题意求 $[L, R]$ 之间的素数之和 . $L≤10^{10},2×10^{10} \le R \le 10^{11}$ 题解一个有点裸的 min_25筛 ? 现在我只会筛素数的前缀和 , 合数的过几天再学吧 . 首先推荐一波 yyb大佬博客这个人很强 , 别那么fake就好啦令 $F(x) = x$ 显然此处 $F(x)$ 是完全积性函数 . 我们需要求的就是 \[\displaystyle \sum_{i=1}^{n} [i \in Prime] F(i)\] .…

LOJ 6053 简单的函数——min_25筛

题目:https://loj.ac/problem/6053 min_25筛:https://www.cnblogs.com/cjyyb/p/9185093.html 这里把计算 s( n , j ) 需要的“质数部分的贡献”分成两部分算,令 $ g(n,j)=\sum\limits_{i=1}^{n}[i \in P or min_i > p_j]i $ , $ h(n,j)=\sum\limits_{i=1}^{n}[i \in P or min_i > p_j]1 $ ,其中 P…

LOJ.6235.区间素数个数(Min_25筛)

题目链接 $Description$ 给定$n$,求$1\sim n$中的素数个数. $2\leq n\leq10^{11}$. $Solution$ Min_25筛.只需要求出$g(n,|P|)$. 跑的好慢啊QAQ //5283ms 11.62M #include <cmath> #include <cstdio> #include <algorithm> typedef long long LL; const int N=317000<…

LOJ.6053.简单的函数(Min_25筛)

题目链接 Min_25筛见这里: https://www.cnblogs.com/cjyyb/p/9185093.html https://www.cnblogs.com/zhoushuyu/p/9187319.html https://www.cnblogs.com/SovietPower/p/10101811.html $Description$ 给定$n$,求积性函数$f(p^c)=p\oplus c$的前缀和.$\oplus$表示异或运算. \(n\leq 10^{10}…

loj 6053 简单的函数 —— min_25筛

题目:https://loj.ac/problem/6053 参考博客:http://www.cnblogs.com/zhoushuyu/p/9187319.html 算 id 也可以不存下来,因为 $ \left \lfloor \frac{i}{n} \right \rfloor $ 的取值是连续的,当 $ i \leqslant \sqrt{n} $ 时取值就是 $ i $: 而 $ i > \sqrt{n} $ 时,因为 $ i $ 越大,\( \left \lflo…

【LOJ#572】Misaka Network 与求和（莫比乌斯反演，杜教筛，min_25筛）

[LOJ#572]Misaka Network 与求和(莫比乌斯反演,杜教筛,min_25筛) 题面 LOJ \[ans=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n f(gcd(i,j))^k\] 其中$f(x)$表示$x$的次大质因子. 题解这个数据范围不是杜教筛就是$min\_25$筛了吧... 看到次大质因子显然要$min\_25$筛了吧... 莫比乌斯反演的部分比较简单,懒得写过程了. \[ans=\sum_{T=1}^n [\frac{n}{T}]^2\sum_…

【LOJ#6682】梦中的数论（min_25筛）

[LOJ#6682]梦中的数论(min_25筛) 题面 LOJ 题解注意题意是$j|i$并且$(j+k)|i$, 不难发现$j$和$(j+k)$可以任意取$i$的任意因数,且$j\lt j+k$,所以答案就是: \[Ans=\sum_{i=1}^n {\sigma(i)\choose 2}\] 所以要做的就是筛$\sigma^2(i)$和$\sigma(i)$的前缀和. $\sigma(i)$这个东西就是\(\displaystyle \sum_{i=1}^…

数论（8）：min_25 筛（扩展埃氏筛）

min_25 筛介绍我们考虑这样一个问题. \[ans=\sum_{i = 1}^nf(i)\\ \] 其中 $1 \le n \le 10^{10}$ 其中 $f(i)$ 是一个奇怪的函数.并不像 $μ(i),φ(i),iφ(i)$那样具有那么好的性质.但是满足以下条件: 若 $p$为质数,则 $f(p)$是一个关于 $p$的多项式,比如 $μ(p)=−1,φ(p)=p−1$. 若 $p$为质数,$e$为正整数,则 $f(pe)$可以很快求出.(通常是…

min_25筛

min_25筛用来干啥? 考虑一个积性函数$F(x)$,用来快速计算前缀和\[\sum_{i=1}^nF(i)\] 当然,这个积性函数要满足$F(x),x\in Prime$可以用多项式表示同时,$F(x^k),x\in Prime$要能够快速计算答案需要预处理的东西先不考虑求前缀和的问题,考虑一个积性函数$F(x)$ 求解\[\sum_{i=1}^n[i\in Prime]F(i)\] 直接求我也会懵逼的,还是找一个函数来算算,假设$F(x)=x^k$ 那么,求解\…

[复习]莫比乌斯反演,杜教筛,min_25筛

[复习]莫比乌斯反演,杜教筛,min_25筛莫比乌斯反演做题的时候的常用形式: \[\begin{aligned}g(n)&=\sum_{n|d}f(d)\\f(n)&=\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})g(d)\end{aligned}\] 实际上还有 \[\begin{aligned}g(n)&=\sum_{d|n}f(d)\\f(n)&=\sum_{d|n}\mu(\frac{n}{d})g(d)\end{aligned}\] 证明可以看看这里,…

Min_25 筛学习笔记

原文链接https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/Min-25.html 前置技能埃氏筛法整除分块(这里有提到) 本文概要 1. 问题模型 2. Min_25 筛 3. 模板题以及模板代码问题模型有一个积性函数 $f$ ,对于所有质数 $p$,$f(p)$ 是关于 $p$ 的多项式,$f(p^k)$ 非常容易计算(不一定是关于 p 的多项式). 求 $$\sum_{i=1}^{n} f(i)$$ $n\leq 10^{10}$ ${\rm Time\…

关于 min_25 筛的入门以及复杂度证明

min_25 筛是由 min_25 大佬使用后普遍推广的一种新型算法,这个算法能在 $O({n^{3\over 4}\over log~ n})$ 的复杂度内解决所有的积性函数前缀和求解问题(个人感觉套上素数定理证明的复杂度的话应该要把下面的 log 改成 ln ,不过也差不多啦~) 其实 min_25 筛的入门TXC 大佬的 blog 已经写的非常棒了QVQ 所以搬博客的话鉴于博主太懒了就不干了...直接帮 TXC 大佬安利博客完事这篇博客主要的目的是证明网上大多没有的 min_25 筛…

LOJ6053 简单的函数【Min_25筛】【埃拉托斯特尼筛】

先定义几个符号: []:若方括号内为一个值,则向下取整,否则为布尔判断集合P:素数集合. 题目分析: 题目是一个积性函数.做法之一是洲阁筛,也可以采用Min_25筛. 对于一个可以进行Min_25筛法的积性函数,它需要满足与洲阁筛相同的条件,即: 对于$f(p), p \in P$,它可以多项式表出.对于$f(p^k),p \in P$可以被快速计算出. 这道题中$f(p) = p-1$再对$2$进行修正即可. 对于1的情况我们单独考虑,现在我们对答案进行一些变换. $$\sum_{i=2}^…

Min_25 筛

Min_25 筛 yyb好神仙啊干什么用的可以在$O(\frac{n^{\frac 34}}{\log n})$的时间内求积性函数$f(x)$的前缀和. 别问我为什么是这个复杂度要求$f(p)$是一个关于$p$的简单多项式,$f(p^c)$可以快速计算. 怎么做啊首先我们需要对每个$x=\lfloor\frac ni\rfloor$求出$\sum_{i=1}^x[i是质数]f(i)$. 怎么求呢? 先线性筛出$\sqrt n$范围内的质数,设$P_j$…

模板 - 数学 - 数论 - Min_25筛

终于知道发明者的正确的名字了,是Min_25,这个筛法速度为亚线性的$O(\frac{n^{\frac{3}{4}}}{\log x})$,用于求解具有下面性质的积性函数的前缀和: 在 $p$ 处是简单的低次多项式在 $p^c$ 处可以快速求值貌似积性函数是指取一个积性函数 $f(x)$ ,其在质数的位置上取值与所求函数相同.所以可以用来求n以内的质数的个数(取常函数 $f(x)=1$ )以及质数的和(取恒等函数 $f(x)=x$ ). 参考资料: loj#6235.…

min_25筛入门

目录 1.什么是min_25筛 2.前置知识 2.1.数论函数 2.2.埃拉托色尼筛 2.3.欧拉筛 3.min_25筛 3.1.计算质数贡献 3.2.计算总贡献 3.3.实现 4.例题 4.1.[LOJ]区间素数个数 4.2.[LG P4213]杜教筛 1.什么是min_25筛 min_25 筛和洲阁筛.杜教筛一样,是一种低于线性的用于求积性函数前缀和的筛法.常用 min_25 筛的时间复杂度为$O(\frac{n^{\frac34}}{\log n})$,而经过优化可以…

Min_25 筛与杜教筛

杜教筛  是  的前缀和,,  同理. 假设 $ × = ℎ$ ,并且 $, $ 易求出, 难求出. 那么 \[H () = \sum_{ \cdot ≤} () () = \sum_{≤} () (\frac {} {})\\ = f(1)\cdot () + \sum_{2≤≤} () (\frac {} {})\] 有: \[f(1)\cdot G(n)=H(n)-\sum_{2≤≤} () (\frac {} {}) \] 整除分块,可以在…

GDUFE-OJ 1359校庆素数埃氏筛法

Problem Description: 包含33的素数称为校庆素数. 她想知道在L和R之间(包含L和R)有多少个校庆素数. 比如 2333 就是一个校庆素数. Input: 输入的第一行包括一个T(T <= 50),代表有T组数据. 每组数据输入两个整数L和R (1<= L <= R <= 500000). Output: 对于每组数据,输出"Case #x: y"(不包括引号),其中x代表数据的编号,从1开始,y代表该组数据的结果. Sample Input…

[模板]Min_25筛

用途快速($O(\frac{n^{3/4}}{logn})$)地计算一些函数f的前缀和,以及(作为中间结果的)只计算质数的前缀和一般要求f(p)是积性函数,$f(p)$是多项式的形式,且$f(p^k)$可以快速计算做法首先考虑求出范围内的质数的取值的和如果有$f(p)=\sum{a_ip^i}$ 那么我们构造$h_i(x)=x^i$,不难发现$h_i$是完全积性的就是说,把f在质数的时候的式子拆开,然后让它在不是质数的时候也成立考虑求其中的一个h,接下来设$pri_j$是第j个质数…

Min_25 筛小结

Min_25 筛这个东西,完全理解花了我很长的时间,所以写点东西来记录一些自己的理解. 它能做什么对于某个数论函数 $f$,如果满足以下几个条件,那么它就可以用 Min_25 筛来快速求出这个函数的前缀和. 它是一个积性函数对于一个质数 $p$ ,$f(p)$ 的表达式必须是一个项数比较小的多项式.即 $\displaystyle f(p) = \sum a_ip^{b_i}$. 对于一个质数 $p$ ,$f(p^k)$ 的表达式必须可以由 $f(p)$ 快速得到…

Min_25筛学习笔记

这儿只是一个简单说明/概括/总结. 原理见这: https://www.cnblogs.com/cjyyb/p/9185093.html https://www.cnblogs.com/zhoushuyu/p/9187319.html 首先计算\[g(n,j)=\sum_if(i),\quad i是质数\ 或\ i的最小质因子严格大于P_j\\g(n,j)=\begin{cases}g(n,j-1)&P_j^2\gt n\\ g(n,j-1)-f(P_j)\left[g(\frac{n}{P_j…

关于min_25筛的一些理解

关于min_25筛的一些理解如果想看如何筛个普通积性函数啥的,就别往下看了,下面没有的(QwQ). 下文中,所有的$p$都代表质数,$P$代表质数集合. 注意下文中定义的最小/最大质因子都是默认所有质因子本质不同. 即$2*2*3*4*5*5$的最小/次小质因子都是$2$,最大/次大质因子都是$5$. step1. 适用条件与思想 min_25筛用于求积性函数前缀和,即$\sum_{i=1}^n f(i)$ . min_25筛相比于传统筛法来说(如莫比乌斯反演.杜教筛)…

埃氏筛法求素数&构造素数表求素数

埃氏筛法求素数和构造素数表求素数是一个道理. 首先,列出从2开始的所有自然数,构造一个序列: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ... 取序列的第一个数2,它一定是素数,然后用2把序列的2的倍数筛掉: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ... 取新序列的第一个数3,它一定是素数,然后用3把序列的3的倍…

LOJ3069. 「2019 集训队互测 Day 1」整点计数（min_25筛）

题目链接 https://loj.ac/problem/3069 题解复数真神奇. 一句话题意:令 $f(x)$ 表示以原点 $(0, 0)$ 为圆心,半径为 $x$ 的圆上的整点数量,求 $\sum_\limits{i = 1}^N f(i)^k \bmod P$ 的值. 令 $g(x) = \frac{f(x)}{4}$,那么我们需要求 $\left(4^k\sum_\limits{i = 1}^Ng(i)^k\right) \bmod P$.打表可得 \(g(x)…

Codeforces Round #270 A. Design Tutorial: Learn from Math【数论/埃氏筛法】

time limit per test 1 second memory limit per test 256 megabytes input standard input output standard output One way to create a task is to learn from math. You can generate some random math statement or modify some theorems to get something new and…

LOJ6235 区间素数个数（min_25筛）

题目链接:LOJ 题目大意:看到题目名字应该都知道是啥了吧. $1\le N\le 10^{11}$. 阉割版 min_25 筛.发现答案实际上就是 min_25 筛中 $g(N,pl)$ 的值.(取次数 $k=0$ 即可) 在这里再写一遍式子.(用久了应该要背了) $g(n,0)=n-1$ $g(n,j)=\begin{cases}g(n,j-1)&p_j^2>n\\g(n,j-1)-(g(\lfloor\dfrac{n}{p_j}\rfloor,j)-(j-1))&p_j^2\l…

LOJ6053 简单的函数（min_25筛）

题目链接:LOJ 题目大意:从前有个积性函数 $f$ 满足 $f(1)=1,f(p^k)=p\oplus k$.(异或)求其前 $n$ 项的和对 $10^9+7$ 取模的值. $1\le n\le 10^{10}$. 这种奇怪但是简洁的积性函数求和,首选 min_25 筛. 首先可以发现,对于质数 $p$,$p\ge 3$ 时 $f(p)=p-1$,$p=2$ 时 $f(p)=p+1$. 所以可以先把 $f(2)$ 看做 $1$,这样方便处理 $g$,最后计算 $S$ 时再加个 $2$ 就好了.…