第一问是来搞笑的.由欧拉函数的计算公式容易发现φ(i2)=iφ(i).那么可以发现φ(n2)*id(n)(此处为卷积)=Σd*φ(d)*(n/d)=nΣφ(d)=n2 .这样就有了杜教筛所要求的容易算前缀和的两个函数.一通套路即可. #include<iostream> #include<cstdio> #include<cmath> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<algorith…

题目 很久很久以前,有一只神犇叫yzy; 很久很久之后,有一只蒟蒻叫lty; 输入格式 请你读入一个整数N;1<=N<=1E9,A.B模1E9+7; 输出格式 请你输出一个整数A=\sum_{i=1}^N{\mu (i^2)}; 请你输出一个整数B=\sum_{i=1}^N{\varphi (i^2)}; 输入样例 1 输出样例 1 1 题解 首先很明显= = \[ans1 = 1\] 然后重点是\(ans2\) 我们会发现这样一个性质: \[\varphi(i^2) = i*\varphi(…

首先题目中给出的代码打错了,少了个等于号,应该是 G=0; for(i=1;i<=N;i++) for(j=1;j<=N;j++) { G = (G + lcm(i,j)) % 1000000007; } 然后就是大力推公式: \[ \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}lcm(i,j) \] \[ =\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\frac{ij}{gcd(i,j)} \] \[ =\sum_{d=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}\sum_…

一道杜教筛的板子题. 两个都是积性函数,所以做法是一样的.以mu为例,设\( f(n)=\sum_{d|n}\mu(d) g(n)=\sum_{i=1}^{n}f(i) s(n)=\sum_{i=1}^{n}\mu(i) \),然后很显然对于mu\( g(n)=1\),对于phi\( g(n)=n*(n+1)/2 \),然后可以这样转化一下: \[ g(n)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|n}\mu(d) \] \[ =\sum_{d=1}^{n}\mu(d)\left \lflo…

以后这种题能用phi的就不要用mu-mu往往会带着个ln然后被卡常致死 把题目要求转换为前缀和相减的形式,写出来大概是要求这样一个式子: \[ \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{i}\frac{j}{gcd(i,d)} \] 注意j的限制是i \[ \sum_{d=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{i}[gcd(i,j)==d]\frac{j}{d} \] \[ \sum_{d=1}^{n}\sum_{i=1}^{\left \lfloor \fr…

和bzoj 3944比较像,但是时间卡的更死 设\( f(n)=\sum_{d|n}\phi(d) g(n)=\sum_{i=1}^{n}f(i) s(n)=\sum_{i=1}^{n}\phi(i) \),然后很显然对于mu\( g(n)=1\),对于\( g(n)=n*(n+1)/2 \),然后可以这样转化一下: \[ g(n)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|n}\phi(d) \] \[ =\sum_{d=1}^{n}\phi(d)\left \lfloor \frac{n}…

题目描述 给出 $n$ 和 $p$ ,求 $(\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^nij\gcd(i,j))\mod p$ . $n\le 10^{10}$ . 题解 欧拉函数(欧拉反演)+杜教筛 推式子: $$\begin{align}&\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^nij\gcd(i,j)\\=&\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^nij\sum\limits_{d|…

bzoj[2818]Gcd Description 给定整数N,求1<=x,y<=N且Gcd(x,y)为素数的数对(x,y)有多少对. Input 一个整数N Output 如题 Sample Input 4 Sample Output 4 HINT hint对于样例(2,2),(2,4),(3,3),(4,2) 1<=N<=10^7 题解一(自己yy) phi[i]表示与x互质的数的个数 即gcd(x,y)=1 1<=y<x ∴对于x,y 若a为素数 则gcd(xa,…

今天zky学长讲数论,上午水,舒爽的不行..后来下午直接while(true){懵逼:}死循全程懵逼....(可怕)Thinking Bear. 2190: [SDOI2008]仪仗队 Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 259 MB Submit: 2092 Solved: 1325 [Submit][Status][Discuss] Description 作为体育委员,C君负责这次运动会仪仗队的训练.仪仗队是由学生组成的N * N的方阵,为了保证队伍在行进中整…

[bzoj2818]: Gcd 考虑素数p<=n gcd(xp,yp)=p 当 gcd(x,y)=1 xp,yp<=n满足条件 p对答案的贡献: 预处理前缀和就好了 /* http://www.cnblogs.com/karl07/ */ #include <cstdlib> #include <cstdio> #include <cstring> #include <cmath> #include <algorithm> using…