51nod 1594 Gcd and Phi(莫比乌斯反演)

题目链接传送门思路如果这题是这样的: \[ F(n)=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}\phi(gcd(i,j)) \] 那么我们可能会想到下面方法进行反演: \[ \begin{aligned} F(n)=&\sum\limits_{k=1}^{n}\phi(k)\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}[gcd(i,j)=k]&\\ =&\sum\limits_{k=1}^{n}…

51nod 1594 Gcd and Phi 反演

OTZ 又被吊打了...我当初学的都去哪了??? 思路:反演套路? 提交:$1$次题解: 求$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\varphi(gcd(\varphi(i),\varphi(j)))$ 设$c[i]=\sum_{j=1}^n[\varphi(j)==i]$ 有: $\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\varphi(gcd(i,j))*c[i]*c[j]$ 欧拉反演一下,把$gcd$扔出来 \(\sum_{i=1}^…

【CJOJ2512】gcd之和（莫比乌斯反演）

[CJOJ2512]gcd之和(莫比乌斯反演) 题面给定$n,m(n,m<=10^7)$ 求 \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mgcd(i,j)\] 题解首先把公因数直接提出来 \[\sum_{d=1}^nd\sum_{i=1}^{n/d}\sum_{j=1}^{m/d}[gcd(i,j)==1]\] 很明显设 \[f(x)=\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}[gcd(i,j)==x]\] \[g(x)=\sum_{x|d}f(d)\] \[g(…

【51nod】1594 Gcd and Phi

题解跟随小迪学姐的步伐,学习一下数论小迪学姐太巨了! 这道题的式子很好推嘛 $\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} \sum_{d|\phi(i),\phi(j)} \phi(d) [gcd(\frac{\phi(i)}{d},\frac{\phi(j)}{d}) == 1]$ \(\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} \sum_{d|\phi(i),\phi(j)} \phi(d) \sum_{t | \frac{\phi(i…

【Project Euler】530 GCD of Divisors 莫比乌斯反演

[题目]GCD of Divisors [题意]给定f(n)=Σd|n gcd(d,n/d)的前缀和F(n),n=10^15. [算法]莫比乌斯反演 [题解]参考:任之洲数论函数.pdf 这个范围显然杜教筛也是做不了的,而且考虑直接化简f(n)也遇到了困难,所以考虑将前缀和的Σ一起化简. $$F(n)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}(d,\frac{i}{d})$$ 这一步很常见的是第一重改为枚举倍数,但这样化简后面就推不下去了. 这道题必须最后转成$\sigma_0(n)$才…

[luogu P2586] GCD 解题报告 (莫比乌斯反演|欧拉函数)

题目链接:https://www.luogu.org/problemnew/show/P2568#sub 题目大意: 计算$\sum_{x=1}^n\sum_{y=1}^n [gcd(x,y)==prime]$ 题解: 解法一:莫比乌斯反演套路题其实这样就可以了,但是还可以优化一下子设T=dp 整除分块就好了,其实这就和 yy的gcd 一样了解法二:欧拉函数考虑上面的第一个式子可以化简成 tot是n以内质数的数量这是因为考虑到每次都两次计算了$\varphi(1)$…

bnu——GCD SUM （莫比乌斯反演）

题目:GCD SUM 题目链接:http://www.bnuoj.com/v3/problem_show.php?pid=39872 算法:莫比乌斯反演.优化 #include<stdio.h> #define N 100001 typedef long long LL; }; ; int mu[N]; LL f[N],ff[N]; //缩短时间 /* 莫比乌斯函数mu[i]的定义: 1. 如果 i 是素数,那么mu[i]为-1; 2. 如果 i 是由多个不同的素数组成的,那么mu[i]为-1…

GCD HDU - 1695 莫比乌斯反演入门

题目链接:https://cn.vjudge.net/problem/HDU-1695#author=541607120101 感觉讲的很好的一个博客:https://www.cnblogs.com/peng-ym/p/8647856.html 今天刚开始学莫比乌斯反演,先据我所了解的说一下. 首先是莫比乌斯函数. 1,mu(x).当x为1时,mu(1)等于1. 2,当x为素数时,mu(x)=-1. 3,当x能唯一分解成多个不同的素数相乘的时候(不能有重复的素数)mu(x)=(-1)的k次方,k…

HDU - 4675 GCD of Sequence (莫比乌斯反演+组合数学)

题意:给出序列[a1..aN],整数M和k,求对1-M中的每个整数d,构建新的序列[b1...bN],使其满足: 1. $1 \le bi \le M$ 2. $gcd(b 1, b 2, -, b N) = d$ 3. 恰好有k个位置 $bi!=ai$ 求对每个d,有多少种满足条件的序列分析:对于前两个条件,就是单纯的莫比乌斯反演. 令$F(d) = [d|gcd(b1...bN)]$ $f(d) = [gcd(b1...bN)]=d]$ 则$f(n) = \sum_{x…

【HDU4947】GCD Array（莫比乌斯反演+树状数组）

点此看题面大致题意: 一个长度为$n$的数组,实现两种操作:将满足$gcd(i,k)=d$的$a_i$加上$v$,询问$\sum_{i=1}^xa_i$. 对于修改操作的推式子莫比乌斯反演真是个神奇而又有趣的东西...... 考虑修改操作是将满足$gcd(i,k)=d$的$a_i$加上$v$,则若$d\not| k$,显然是不存在满足条件的$i$的,可以直接忽略这一修改操作(忘记判断结果调到心态爆炸......) 否则,也就相当于: \[a_i+=v\…

数学--数论--HDU 4675 GCD of Sequence(莫比乌斯反演+卢卡斯定理求组合数+乘法逆元+快速幂取模）

先放知识点: 莫比乌斯反演卢卡斯定理求组合数乘法逆元快速幂取模 GCD of Sequence Alice is playing a game with Bob. Alice shows N integers a 1, a 2, -, a N, and M, K. She says each integers 1 ≤ a i ≤ M. And now Alice wants to ask for each d = 1 to M, how many different sequences b…

UOJ#33. 【UR #2】树上GCD 点分治莫比乌斯反演

原文链接https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/UOJ33.html 题解首先我们把问题转化成处理一个数组 ans ,其中 ans[i] 表示 d(u,a) 和 d(v,a) 同时为 i 的倍数的 (u,v) 个数.(最后求答案的时候只要莫比乌斯反演回来就好了.) 注意一下我的代码中对于 (u,v) 有祖先关系的是分开考虑的. 先点分治. 对于一个点分中心 x ,我们把答案分两部分考虑. 1. 在子树 x 中满足 LCA(u,v) = x 的 (u,v)…

【51nod】1222 最小公倍数计数莫比乌斯反演+组合计数

[题意]给定a和b,求满足a<=lcm(x,y)<=b && x<y的数对(x,y)个数.a,b<=10^11. [算法]莫比乌斯反演+组合计数 [题解]★具体推导过程参考:51nod1222 最小公倍数计数过程运用到的技巧: 1.将所有i和j的已知因子提取出来压缩上届. 2.将带有μ(k)的k提到最前面,从而后面变成单纯的三元组形式. 最终形式: $$ans=\sum_{k=1}^{\sqrt n} \mu(k) \sum_{d} \sum_{i} \s…

51nod 1222 最小公倍数计数【莫比乌斯反演】

参考:https://www.cnblogs.com/SilverNebula/p/7045199.html 所是反演其实反演作用不大,又是一道做起来感觉诡异的题转成前缀和相减的形式 \[ \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}[\frac{i*j}{gcd(i,j)}\leq n] \] \[ \sum_{d=1}^{n}\sum_{i=1}^{\left \lfloor \frac{n}{d}\right \rfloor}\sum_{j=1}^{\left \lfloor…

SPOJ - PGCD Primes in GCD Table（莫比乌斯反演）

http://www.spoj.com/problems/PGCD/en/ 题意: 给出a,b区间,求该区间内满足gcd(x,y)=质数的个数. 思路: 设f(n)为 gcd(x,y)=p的个数,那么F(n)为 p | gcd(x,y)的个数,显然可得F(n)=(x/p)*(y/p). 这道题目因为可以是不同的质数,所以需要枚举质数, 但是这样枚举太耗时,所以在这里令t=pk, 这样一来的话,我们只需要预处理u(t/p)的前缀和,之后像之前的题一样分块处理就可以了. #include<iostr…

洛谷 - UVA11424 - GCD - Extreme (I) - 莫比乌斯反演 - 整除分块

https://www.luogu.org/problemnew/show/UVA11424 原本以为是一道四倍经验题来的. 因为输入的n很多导致像之前那样 $O(n)$ 计算变得非常荒谬. 那么我们就需要引入一个整除分块! 首先预处理欧拉函数的前缀和,然后丢进分块里面搞一搞. 那么就是 $O(n+t\sqrt{n})$ #include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define ll long long #define N 4000005…

51nod 1220 约数之和【莫比乌斯反演+杜教筛】

首先由这样一个式子:$ d(ij)=\sum_{p|i}\sum_{q|j}[gcd(p,q)==1]\frac{pj}{q} $大概感性证明一下吧我不会证然后开始推: \[ \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\sum_{p|i}\sum_{q|j}[gcd(p,q)==1]\frac{pj}{q} \] \[ \sum_{p=1}^{n}\sum_{q=1}^{n}[gcd(p,q)==1]\sum_{p|i}\sum_{q|j}\frac{pj}{q} \] \[…

51NOD 1584 加权约数和 [莫比乌斯反演转化 Trick]

1584 加权约数和题意:求$\sum_{i=1}^{N} \sum_{j=1}^{N} {\max(i,j)\cdot \sigma(i\cdot j)}$ 多组数据$n \le 10^6, T \le 50000$ 这道题有两步我感到非常神奇.tls好强啊. 首先,怎么处理$max(i,j)$ \[ max(i,j) = \sum_{k=1}^n[k\le i \ or\ k \le j] = n-\sum_{k=1}^n[k>i][k>j] \] 这样转化之后再代入,可以得…

Luogu2257 YY的GCD/BZOJ2818 Gcd加强版（莫比乌斯反演+线性筛）

一通套路之后得到求出中间那个函数的前缀和的话就可以整除分块了. 暴力求的话复杂度其实很优秀了,大约在n~nlogn之间. 不过可以线性筛做到严格线性.考虑其最小质因子,如果是平方因子那么只有其有贡献,否则由于多了一个质因子,将函数值取反并加上该质因子贡献. #include<iostream> #include<cstdio> #include<cmath> #include<cstdlib> #include<cstring> #includ…

CF1097F Alex and a TV Show 莫比乌斯反演、bitset

传送门发现自己对mobius反演的理解比较浅显-- 首先我们只需要维护每一个数的出现次数$\mod 2$的值,那么实际上我们只需要使用$bitset$进行维护,每一次加入一个数将其对应次数异或$1$.那么$2$操作就相当于将集合$x$对应的$bitset$赋值为$y$与$z$的异或和. 看到$3$操作中的gcd,考虑莫比乌斯反演.我们在加入一个数到集合中的时候,不是加入它本身,而是加入它的所有因子.这样我们的$3$操作的实质就是一个按位与操作了. 对于\…

BZOJ 3930 Luogu P3172 选数 (莫比乌斯反演)

手动博客搬家:本文发表于20180310 11:46:11, 原地址https://blog.csdn.net/suncongbo/article/details/79506484 题目链接: (Luogu)https://www.luogu.org/problemnew/show/P3172 (BZOJ)http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3930 题目大意: 给定N,M,L,R,从区间[L,R]内选出N个整数使得它们的gcd恰好为m…

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