[BJOI2014]大融合(Link Cut Tree) 题面 给出一棵树,动态加边,动态查询通过每条边的简单路径数量. 分析 通过每条边的简单路径数量显然等于边两侧节点x,y子树大小的乘积. 我们知道裸的LCT只能维护链的信息,那么怎么维护子树大小呢?我们只需要对于节点x维护x的所有虚儿子的子树大小之和vir.那么查询的时候先split(x,y),这样x到y就成为了实链,其他与x相连的节点都是虚儿子.那么x一侧的子树大小就是vir[x]+1,y一侧的子树大小就是vir[y]+1 考虑虚子树大小…

\(\color{#0066ff}{ 题目描述 }\) 小Y家里有一个大森林,里面有n棵树,编号从1到n.一开始这些树都只是树苗,只有一个节点,标号为1.这些树都有一个特殊的节点,我们称之为生长节点,这些节点有生长出子节点的能力. 小Y掌握了一种魔法,能让第l棵树到第r棵树的生长节点长出一个子节点.同时她还能修改第l棵树到第r棵树的生长节点.她告诉了你她使用魔法的记录,你能不能管理她家的森林,并且回答她的询问呢? \(\color{#0066ff}{输入格式}\) 第一行包含 2 个正整数 n,…

题链: https://www.luogu.org/problemnew/show/P3348 题解: LCT,神题 首先有这么一个结论: 每次的1操作(改变生长点操作),一定只会会对连续的一段区间产生影响. (即不存在对两段不相连的区间都进行了该操作的情况,令这种情况为[2]) 简单来说就是因为该操作需要对应的那些树存在那个节点. 如果发生了情况[2],即表明区间[l1,r1],[l2,r2]有节点x,且[l1+1,r2-1]无节点x,且r2-1>=l1+1 但是我们的生长操作0操作每次进行的…

传送门 刷了那么久水题之后终于有一题可以来写写博客了. 但是这题太神仙了我还没完全弄懂-- upd:写完博客之后似乎懂了. 思路 首先很容易想到\(O(n^2\log n)\)乘上\(O(\frac{n}{\log n})\)的巨大常数的暴力做法(雾 然后可以发现这题支持把询问抽离出来最后做,那么我们可以先只关注修改操作. 可以发现一个点在\([l,r]\)的树上连上去和在所有树上都连上去其实没有太大区别,只是修改生长节点时要判一下是否存在,其他时候其实可以每一棵树上都连一个,因为不存在的点并不…

[NOI2014] 魔法森林 Description 给定一张图,每条边 \(i\) 的权为 \((a_i,b_i)\), 求一条 \(1 \sim n\) 路径,最小化 \(\max_{i\in P}{a_i} + \max_{i\in P}{b_i}\) Solution 如果我们限定最大的 \(b_i\) ,那么路径一定在以 \(a_i\) 为权的最小生成树上. Proof. 考虑反证,假设这条路径中有一条边不在 MST 上,那么这条非树边与树必然形成一个环,很显然用这条边换掉环上任意一条…

传送门 题解 题面大意: \(0.\)区间加节点 \(1.\)区间换根 \(2.\)单点询问距离 如果没有\(1\)操作,因为区间加节点都是加在下面,所以我们可以直接把\(n\)棵树压成一棵树,直接询问即可 有\(1\)操作怎么办? 上面挖掘了一点性质, 加节点加在下面,那么我们可以先把节点都加上去,再询问 那么把操作离线, 先按操作位置排序,再按操作排序(\(0,1\)先),再按时间排序 对于\(0,1\)操作都新建节点 \(0\)建实点 \(1\)建虚点 \(0\)操作的点将连向最后的\(1…

Luogu3348 BZOJ4573 LOJ2092 题解 对于每个\(1\)操作建一个虚点,以后的\(0\)操作都连在最近建好的虚点上.这样每次整体嫁接的时候,直接把这个虚点断掉它原来的父亲,再\(link\)过去就可以了 求在\(x\)位置的两点之间距离 , 只要之前的换点加点操作完成 , 就可以计算 , 而且也要马上计算 , 之后树的形态就又要变了 , 这样保证了复杂度 关于代码 : 先按思路把离线的事件处理出来 然后发现这种离线的利用虚点的转移只能用\(LCT\)维护 注意 : 只有实点…

洛谷题目传送门 思路分析 最简单粗暴的想法,肯定是大力LCT,每个树都来一遍link之类的操作啦(T飞就不说了) 考虑如何优化算法.如果没有1操作,肯定每个树都长一样.有了1操作,就来仔细分析一下对不同树的影响. 假设有一个1操作形如\(l\ r\ x\),那么从微观来看差异,我们只关注第l-1棵树和第l棵树.再假设以后都没有了0操作,那么我们可以认为,第l棵树是第l-1棵树把这个1操作以后嫁接在原来生长节点上的所有节点(以及所有子树)全部转而嫁接到x上.再看第r棵树和第r+1棵树,是不是可以认…

为了优化体验(其实是强迫症),蒟蒻把总结拆成了两篇,方便不同学习阶段的Dalao们切换. LCT总结--应用篇戳这里 概念.性质简述 首先介绍一下链剖分的概念(感谢laofu的讲课) 链剖分,是指一类对树的边进行轻重划分的操作,这样做的目的是为了减少某些链上的修改.查询等操作的复杂度. 目前总共有三类:重链剖分,实链剖分和并不常见的长链剖分 重链剖分 实际上我们经常讲的树剖,就是重链剖分的常用称呼. 对于每个点,选择最大的子树,将这条连边划分为重边,而连向其他子树的边划分为轻边. 若干重边连接在…

从这里开始 动态树问题和Link Cut Tree 一些定义 access操作 换根操作 link和cut操作 时间复杂度证明 Link Cut Tree维护链上信息 Link Cut Tree维护子树信息 小结 动态树问题和Link Cut Tree 动态树问题是一类要求维护一个有根树森林,支持对树的分割, 合并等操作的问题. Link Cut Tree(林可砍树?简称LCT)是解决这一类问题的一种数据结构. 一些无聊的定义 Link Cut Tree维护的是动态森林中每棵树的任意链剖分. P…