设数列 $\sed{x_n}$ 满足 $0<x_1<\pi$, $x_{n+1}=\sin x_n\ (n=1,2,\cdots)$. (1) 证明 $\dps{\vlm{n}x_n}$ 存在, 并求其极限; (2) 计算 $\dps{\vlm{n}\sex{\cfrac{x_{n+1}}{x_n}}^{\frac{1}{x_n^2}}}$; (3) 证明 $\dps{\vlm{n}\sqrt{\cfrac{n}{3}}x_n=1}$. 证明: (1) 由 $0<x_{n+1}=\sin…

设 $f(x)$ 在 $\bbR$ 上连续, 又 $$\bex \phi(x)=f(x)\int_0^x f(t)\rd t \eex$$ 单调递减. 证明: $f\equiv 0$. 证明: 设 $$\bex g(x)=\cfrac{\sez{\int_0^x f(t)\rd t}^2}{2}, \eex$$ 则 $g'(x)=\phi(x)$ 递减, 而 $$\bex g'(x)\sedd{\ba{ll} \geq g'(0)=0,&x<0,\\ \leq g'(0)=0,&x&…

证明不等式: $$\bex 1+x\ln\sex{x+\sqrt{1+x^2}}>\sqrt{1+x^2},\quad x>0. \eex$$ 证明: 令 $x=\tan t,\ 0<t<\cfrac{\pi}{2}$, 而只要证明 $$\bex 1+\tan t\ln\sex{\sec t+\tan t}>\sec t. \eex$$ 令 $$\bex f(t)=1+\tan t\ln\sex{\sec t+\tan t}-\sec t, \eex$$ 则 $f(0)=0$…

(2014-04-18 from 352558840@qq.com [南开大学 2014 年高等代数考研试题]反对称矩阵的组合) 设 ${\bf A},{\bf B}$ 都是反对称矩阵, 且 ${\bf A}$ 可逆, 则 $|{\bf A}^2-{\bf B}|>0$. 证明: 由 ${\bf A}^T=-{\bf A}$ 知 $$\bex |{\bf A}|=|{\bf A}^T|=(-1)^n |{\bf A}|. \eex$$ 故 $n$ 为偶数 (否则, $|{\bf A}|=0$,…

设 $f(x)=x^2\ln(x+1)$, 求 $f^{(n)}(0)$. 解答: 利用 Leibniz 公式易知 $f'(0)=f''(0)=0$, $f^{(n)}(0)=(-1)^{n-3} n(n-1)\ (n\geq 3)$.…

$$\bex q>3\ra \sen{\n f}_{L^\infty} \leq C(q)\sez{ 1+\sen{\n f}_{BMO} \ln^\frac{1}{2}\sex{e+\sen{\n f}_{W^{1,q}}+\sen{f}_{L^\infty}} }. \eex$$ $$\bex m\geq 3\ra \sen{\n f}_{L^\infty}\leq C\sez{ 1+\sen{\n f}_{BMO} \ln^\frac{1}{2} \sex{1+\sen{\n f}_{H^…

(1) $$\bex \sen{D^k f}_{\dot B^s_{p,q}}\sim \sen{f}_{\dot B^{s+k}_{p,q}}. \eex$$ (2) $$\beex \bea &\quad s>0,\ q\in [1,\infty],\quad p_1,r_1\in [1,\infty],\ \cfrac{1}{p}=\cfrac{1}{p_1}+\cfrac{1}{p_2}=\cfrac{1}{r_1}+\cfrac{1}{r_2}\\ &\ra \sen{fg…

$$\bex \supp \hat u\subset \sed{2^{j-2}\leq |\xi|\leq 2^j} \ra \cfrac{1}{C}2^{jk}\sen{f}_{L^p} \leq \sen{D^k f}_{L^p}\leq C2^{jk} \sen{f}_{L^p}; \eex$$ $$\bex \supp \hat u\subset \sed{|\xi|\leq 2^j} \ra \sen{f}_{L^q}\leq C2^{jn\sex{\frac{1}{p}-\frac{…

For $f\in H^s(\bbR^3)$ with $s>\cfrac{3}{2}$, we have $$\bex \sen{f}_{L^\infty}\leq C\sex{1+\sen{f}_{\dot B^0_{\infty,\infty}}}\ln \sex{1+\sen{f}_{H^s}},\quad s>\cfrac{3}{2}. \eex$$ see [D. Chae, P. Degond, J.G. Liu, Well-posedness for Hall-magnetoh…

设非负严格增加函数 $f$ 在区间 $[a,b]$ 上连续, 有积分中值定理, 对于每个 $p>0$ 存在唯一的 $x_p\in (a,b)$, 使 $$\bex f^p(x_p)=\cfrac{1}{b-a}\int_a^b f^p(t)\rd t. \eex$$ 试求 $\dps{\vlm{p}x_p}$. 解答: 由 H\"older 不等式, $$\beex \bea f^p(x_p)&=\cfrac{1}{b-a}\int_a^b f^p(t)\cdot 1\rd t\\…