FFT及其框图实现 \(FFT\)的全称为快速傅里叶变换,但是\(FFT\)并不是一种变换,而是实现\(DFT\)的一种快速算法.当\(N\)比较大时,使用\(FFT\)可大大减少进行\(DFT\)变换的计算量. \(N\)点的\(DFT\)所需的计算量为: \[ X[k]=\sum_{n=0}^{N-1}x[n]W_N^{kn} \] 乘法:\(N^2\)次,加法:\(N(N-1)\)次.每当\(N\)提高一倍,计算量增大四倍. 基\(2\)时域抽取 假设有一长度为\(2N\)的有限长序列\(…

最近闲着无聊研究了下\(FFT\)的常数优化,大概就是各种\(3\)次变\(2or1.5\)次之类的,不过没见过啥题卡这个的吧. 关于\(FFT\)可以看这里:浅谈FFT&NTT. 关于复数 设\(x=a+bi\),其中\(i\)是虚数单位,那么我们用\(\bar x\)表示\(x\)的共轭复数,即\(\bar x=a-bi\). 共轭复数有一个这样的性质: \[ \overline{ab}=\bar a \cdot \bar b \] 证明展开就好了,这个是下面优化的关键. 设\(\omega…

任意模数FFT 这是一个神奇的魔法,但是和往常一样,在这之前,先 \(\texttt{orz}\ \color{orange}{\texttt{matthew99}}\) 问题描述 给定 2 个多项式 \(F(x), G(x)\) ,请求出 \(F(x) * G(x)\). 系数对 p 取模,\(2 \le p \le 10^9+9\) 拆系数FFT 我们考虑令\(M\)为\(\sqrt{p}\),那么我们可以将原本的多项式拆成4个. \(F(x)=A(x)*M+B(x)\) \(G(X)=C(…

题意:两个人van石头剪子布的游戏一共n盘,假设A赢了a盘,B赢了b盘,那么得分是gcd(a,b),求得分的期望*\(3^{2*n}\) 题解:根据题意很明显有\(ans=3^{n}*\sum_{a=0}^{n}\sum_{b=0}^{n-a}gcd(a,b)C(n,a)C(n-a,b)\) \(ans=\sum_{d=1}^nd\sum_{a=0}^n\sum_{b=0}^{n-a}[gcd(a,b)==d]C(n,a)C(n-a,b)\) 假设\(f(d)=\sum_{a=0}^n\sum_…

HNOI2019 白兔之舞 dance 显然\(n=3\)就是\(n=1\)的扩展版本,先来看看\(n=1\)怎么做. 令\(W=w[1][1]\),显然答案是:\(ans_t=\sum_{i\mod k=t}^{L}W^i\binom{L}{i}\) \(=\sum_{i=0}^{L}[k|(i-t)]W^i\binom{L}{i}\) 这时用一个单位根反演. 回顾一下,单位根是fft时用到的东西,\(\omega_{n}=\cos\frac{2\pi}{n}+\sin\frac{2\pi}{…

本章导读 电子系统中常用的显示设备有数码管.LCD液晶以及VGA显示器等.其中数码管又可分为段式显示(7段.米字型等)以及点阵显示(8*8.16*16等),LCD液晶的应用可以分为字符式液晶(1602.12864等)以及真彩液晶屏,VGA显示器一般是现在的电脑显示器.芯航线开发板对以上三种设备均提供了硬件接口. 本章将实现FPGA驱动数码管动态显示并提取出实现的电路结构,从电路结构入手编写代码,仿真对设计进行验证.最终板级调试时使用In system sources and probes edi…

题目 求逆续对个数为\(k\)的\(n\)阶排列个数\(mod \ 1e9+7\) $1 \le n  ,  k \le 10^5 $ 题解 $f_{i,j} = \sum_{k=0}^{i-1} f_{i-1,j-k} $ 则有\(F_i(x) = F_{i-1}(x) * \sum_{j=0}^{i-1}x^j = F_{i-1}(x)\frac{1-x^i}{1-x}\) $F(x)  =  \frac{\prod_{i=1}^{n}1-x^i}{(1-x)^n} $ 分母可以直接展开成$…

题意:(复制sunset的)有\(T\)天,每天有\(K\)个小时,第\(i\)天有\(D+i−1\)道菜,第一个小时你选择\(L\)道菜吃,接下来每个小时你可以选择吃一道菜或者选择\(A\)个活动中的一个参加,不能连续两个小时吃菜,问每天的方案数之和.\(K\),\(A\)预先给定,\(Q\)次询问,每次给\(D\),\(L\),\(T\). 题解:显然\(ans=\sum_{i=D}^{D+T-1}\binom{i}{L}F(i)\),其中\(F(i)\)是一个不超过\(k-1\)次的多项式…

LINK:5.15 T1 对于60分的暴力 都很水 就不一一赘述了. 由于是询问所有点的这种信息 确实不太会. 想了一下 如果只是询问子树内的话 dsu on tree还是可以做的. 可以自己思考一下. 如果强行dsu的时候做 会发现点对和点对之间难以解决. 考虑正解 点分治: 当x为分治中心还是需要统计点对和点对之间的贡献. 和刚才几乎一样.不过这个时候可以发现 需要对每个点都求一个答案. 对于深度为w的点 那么 贡献为\(\sum_{j=w}^{n}c_{j-w}a_j\) 其中\(c_x\…

Description Solution 设y[i+k]=y[i]+n. 由于我们要最优解,则假如将x[i]和y[σ[i]]连线的话,线是一定不会交叉的. 所以,$ans=\sum (x_{i}-y_{i+s}+c)^{2}$ 拆开得$ans=\sum (x_{i}^{2}+y_{i+s}^{2}+c^{2}-2x_{i}y_{i+s}+2x_{i}c-2y_{i+s}c)$ 其中,$x_{i}y_{i+s}$是卷积形式. 我们把经过处理的y数组reverse一下,和x数组进行卷积(这里用ntt…