X问题 Time Limit: 1000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)Total Submission(s): 8365    Accepted Submission(s): 3037 Problem Description 求在小于等于N的正整数中有多少个X满足:X mod a[0] = b[0], X mod a[1] = b[1], X mod a[2] = b[2], …, X mod…

蒟蒻maomao终于学会\(CRT\)啦!发一篇博客纪念一下(还有防止忘掉) \(CRT\)要解决的是这样一个问题: \[x≡a_1​(mod m_1​)\] \[x≡a_2​(mod m_2​)\] \[x≡a_3​(mod m_3​)\] \[...\] \[x≡a_k​(mod m_k​)​\] 其中,\(m\)之间两两互质.这个问题有一个通解是\(\sum a_i * M * t_i / m_i\),其中\(t_i\)代表方程\(M * t_i / m_i ≡ 1\)的最小正整数解. 为…

原文链接https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/exCRT.html 扩展中国剩余定理 (exCRT) 的证明与练习 问题模型 给定同余方程组 $$\begin{cases}x&\equiv&x_1&\pmod {p_1}\\x&\equiv&x_2&\pmod {p_2}\\ &&\vdots\\x&\equiv&x_n&\pmod {p_n}\end{cases}$$ 求解 $…

P4777 [模板]扩展中国剩余定理(EXCRT) excrt模板 我们知道,crt无法处理模数不两两互质的情况 然鹅excrt可以 设当前解到第 i 个方程 设$M=\prod_{j=1}^{i-1}b[j]$ ,$ res$是前$ i-1 $个方程的最小解 则$ res+x*M$ 是前 $i-1 $个方程的通解 那么我们求的就是 $res+x*M ≡ a[i] (mod b[i])$ $<=> x*M - y*b[i] = a[i]-res$ 用exgcd求出的解为 t (当且仅当 gcd…

「NOI2018」屠龙勇士(EXCRT) 终于把传说中 \(NOI2018D2\) 的签到题写掉了... 开始我还没读懂题目...而且这题细节巨麻烦...(可能对我而言) 首先我们要转换一下,每次的 \(atk[i]\) 都可以用 \(multiset\) 找. 我们发现题目求的是 \(atk*x\equiv a_i(\text{mod}\ p_i)\),所以我们做一遍 \(exgcd\),求出同余方程. 然后就可以愉快的 \(EXCRT\) 了~ 不过发现一次要把龙的血量清零,所以一定要减到负…

传送门 原来NOI也会出裸题啊-- 用multiset求出对付每一个BOSS使用的武器威力\(ATK_i\),可以得到\(m\)个式子\(ATK_ix \equiv a_i \mod p_i\) 看起来可以直接魔改式子了-- 等一下!如果\(a_i > p_i\),\(ATK_ix<a_i\)没把BOSS打死怎么办QAQ 看数据范围,没有特性1(\(a_i \leq p_i\))的点似乎\(p_i=1\)?那不只要保证攻击次数能够把所有BOSS血量打到\(\leq 0\)就行了,,,于是这个顾…

前言: 中国剩余定理又名孙子定理.因孙子二字歧义,常以段子形式广泛流传. 中国剩余定理并不是很好理解,我也理解了很多次. CRT 中国剩余定理 中国剩余定理,就是一个解同余方程组的算法. 求满足n个条件的最小的x. 看起来很麻烦. 先找一个特殊情况:$m_1,m_2,...m_n$两两互质. 这个时候,构造$M=m_1*m_2*...m_n$; 令$M_i=M/m_i$; 所以,构造$n$个数,其中第$i$个数是除$i$之外的其他所有数的倍数,并且第$i$个数$mod m_i =1$ 即:$M_…

思路 中国剩余定理解决的是这样的问题 求x满足 \[ \begin{matrix}x \equiv a_1(mod\ m_1)\\x\equiv a_2(mod\ m_2)\\ \dots\\x\equiv a_n(mod\ m_n)\end{matrix} \] 在模数互质的情况下,解为 \[ x=\sum_ia_iM_iM_i^{-1}(mod M) \] 其中\(M=\prod_{i}m_i\),\(M_i=\frac{M}{m_i}\),\(M_i^{-1}\)为\(M_i\)在模\(m…

显然multiset求出每次用哪把剑.注意到除了p=1的情况,其他数据都保证了ai<pi,于是先特判一下p=1.比较坑的是还可能存在ai=pi,稍微考虑一下. 剩下的部分即解bix≡ai(mod pi)方程组.没有保证模数互质,于是excrt一发.excrt实际上就是不停exgcd合并两个方程. 这次是重开这题,调了半天还是一堆-1觉得这个题可能是搞不会了,最后才发现某个地方没开long long. #include<iostream> #include<cstdio> #i…

CRT从各种方面上都吊打exCRT啊...... 短,好理解... 考虑构造bi使得bi % pi = ai,bi % pj = 0.然后全加起来就行了. 显然bi的构造就是ai * (P/pi) * inv(P/pi). LL a = , p = MO - ; ; i <= ; i++) { a = (a + ans[i] * (p / mod[i]) % p * qpow(p / mod[i], mod[i] - , mod[i]) % p) % p; } exCRT: 是这样的,重新手推了…

清除一个误区 虽然中国剩余定理和拓展中国剩余定理只差两个字,但他俩的解法相差十万八千里,所以会不会CRT无所谓 用途 求类似$$\begin{cases}x \equiv b_{1}\pmod{a_{1}} \\x \equiv b_{2}\pmod{a_{2}} \\...\\x \equiv b_{n}\pmod{a_{n}} \\ \end{cases}$$的线性同余方程组的解 具体过程 假设现在我们只有两个同余方程$$x \equiv b_{1}\pmod{a_{1}}$$ $$x \e…

中国剩余定理CRT 中国剩余定理是要求我们解决这样的一类问题: \[\begin{cases}x\equiv a_1\pmod {b_1} \\x\equiv a_2 \pmod{b_2}\\...\\x\equiv a_n\pmod{b_n} \end{cases}\] 其中\(b_1,b_2,...,b_n\)互质. 我们先令\(m=\prod_{i=1}^{n}b_i,w_i=m/b_i\) 那么有\(gcd(m,w_i)==1\) 我们对于\(w_ix'+my'= 1\)解出来\(x',…

Description Input Output Sample Input 23 33 5 74 6 107 3 91 9 10003 23 5 64 8 71 1 11 1 Sample Output 59-1 Solution 当时同步赛的时候写出来了……只不过忘了是爆$long~long$还是小细节写爆了只有$75$…… 当时蠢的一比直接强上了一颗$splay$强行增加码量……现在觉得当时太蠢了然后就重写了一遍…… 首先对于这个题,每次使用的剑可以发现是固定的,这个可以使用$set$来求出…

EXCRT 不保证模数互质 \[\begin{cases} x \equiv b_1\ ({\rm mod}\ a_1) \\ x\equiv b_2\ ({\rm mod}\ a_2) \\ ... \\ x \equiv b_n\ ({\rm mod}\ a_n)\end{cases}\] CRT戳这里 来一手数学归纳法 设已经求出前 \(k - 1\) 组的一个解 \(q\) 设 \(M = \prod_{i = 1}^{k - 1}a_{i}\) 我们知道前 \(k - 1\) 组的通解…

题意 题目描述 给定\(n\)组非负整数\(a_i, b_i\),求解关于\(x\)的方程组 \[\begin{cases} x \equiv b_1\ ({\rm mod}\ a_1) \\ x\equiv b_2\ ({\rm mod}\ a_2) \\ ... \\ x \equiv b_n\ ({\rm mod}\ a_n)\end{cases}\]的最小非负整数解. 输入输出格式 输入格式: 输入第一行包含整数\(n\). 接下来\(n\)行,每行两个非负整数\(a_i, b_i\).…

前置知识 1. a%b=d,c%b=e, 则(a+c)%b=(d+e)%b(正确性在此不加证明) 2. a%b=1,则(d\(\times\)a)%b=d%b(正确性在此不加证明) 下面先看一道题(改编自曹冲养猪): 烤绿鸟的故事 题目描述: mian包是一个贪吃的孩子,这天,他买了一堆绿鸟吃.当然他的妈妈并不想让他吃太多食物(因为那样会发胖),为了避免老妈的唠叨,他决定不告诉他的妈妈绿鸟数量,而是将绿鸟的数量x用以下式子来描述 \[\begin{cases}x≡b_1 (mod a_1)\\x…

\(crt,Chinese\ Remainder\ Theorem\) 概述 前置技能:同余基础性质,\(exgcd\). \(crt\),中国剩余定理.用于解决模数互质的线性同余方程组.大概长这样: \[ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{lr} x\equiv a_1(mod\ m_1),\\ x\equiv a_2(mod\ m_2),\\ x\equiv a_3(mod\ m_3),\\ ......\\ x\equiv a_n(mod\ m_…

前言 由于 \(\{\mathrm{CRT}\}\subseteq\{\mathrm{exCRT}\}\),而且 CRT 又太抽象了,所以直接学 exCRT 了. 摘自 huyufeifei 博客 这么抽象的东西我怎么可能会写 前置技能 gcd/lcm exgcd 快速乘 参考资料 一篇未通过的洛谷日报 by AH_ljq 比较直观的 exCRT 学习笔记 by Milky Way 我之前写过的 exgcd 学习笔记 huyufeifei 对 CRT 的劝退 用途 用于求一个关于 \(x​\)…

题目大意:给你一些关于$x$的方程组:$$\begin{cases}x\equiv a_1\pmod{mod_1}\\x\equiv a_2\pmod{mod_2}\\\vdots\\x\equiv a_n\pmod{mod_n}\end{cases}$$求解$x$的最小非负整数解($\gcd(mod_1,mod_2,\cdots,mod_n)\not=1$) 题解:$EXCRT$,假设有两个方程$$\begin{cases}x\equiv x_1\pmod{A}\\x\equiv x_2\pm…

Description 有编号从1到n的n个小朋友在玩一种出圈的游戏,编号为i+1的小朋友站在编号为i小朋友左边.编号为1的小朋友站在编号为n的小朋友左边.首先编号为1的小朋友开始报数,接着站在左边的小朋友顺序报数,直到数到某个数字K时就出圈.直到所有的小朋友都出圈,则游戏完毕.游戏过程如下图所示. Input 第一行有一个正整数n, 2 <= n <= 20,第二行有n 个整数其中第i个整数表示编号为i 的小朋友第i个出圈. Output 求最小的K,如果不存在,则输出一个单词“NIE” S…

首先很明显剑的选择是唯一的,直接用multiset即可. 接下来可以发现每条龙都是一个模线性方程.设攻击第i条龙的剑的攻击力为$s_i$,则$s_ix\equiv a_i\ (mod\ p_i)$. 现在需要将方程化成$x\equiv c_i\ (mod\ m_i)$的形式,从而使用exCRT解决. 变式:$s_ix+p_iy=a_i$,先同除以$gcd(s_i,p_i)$,再使用exgcd解不定方程,求x的最小正整数解. 注意判无解,exCRT结束之后注意要使$x\geqslant max(\…

复习模板. 两两合并同余方程 $x\equiv C_{1} \ (Mod\ P_{1})$ $x\equiv C_{2} \ (Mod\ P_{2})$ 把它写成不定方程的形式: $x = C_{1} + P_{1} * y_{1}$ $x = C_{2} + P_{2} * y_{2}$ 发现上下两式都等于$x$ 所以$C_{1} + P_{1} * y_{1} = C_{2} + P_{2} * y_{2}$ 稍微移项一下,有$P_{1} * y_{1} + P_{2} * (-y_{2})…

中国剩余定理 别人的blog 假设现在有关于x的同余方程组(p1,p2均为质数) \(x=a_1\pmod {p_1}\) \(x=a_2\pmod {p_2}\) 可以转化成如下形式 \(x=a_1+k_1p_1\) \(x=a_2+k_2p_2\) 联立就有\(a_1+k_1p_1=a_2+k_2p_2\) 显然可以扩欧求一组特解,设为\(k_1',k_2'\) 那么全部的解可以表示成 \(k_1=k_1'+p_2t\) \(k_2=k_2'+p_1t\) 其中t为整数 回带就有\(x=a_…

BZOJ_5418_[Noi2018]屠龙勇士_exgcd+excrt Description www.lydsy.com/JudgeOnline/upload/noi2018day2.pdf 每次用哪吧剑显然用个set就搞定了. 对于每头龙,生命值ai,回血pi,剑的攻击力为atk,打的次数为ans. 显然有ans*atk-ai>=0&&pi|ans*atk-ai. ans*atk+pi*y=ai (y<=0). 要求y<=0的前提下ans尽量的小,是一个ax+by=n…

从最基础的开始. 1.gcd 这个不用说了吧--\(gcd(a,b) = gcd(b,a\%b)\),这个很显然. 2.exgcd 这玩意可以用来求形如\(ax+by = gcd(a,b)\)的不定方程的一组特解. 首先来证明一下为什么一定是有解的. 因为我们是像上面的gcd一样递归解决问题的,所以当\(b = 0\)时,我们返回a,此时方程必然有一个特解\(x = 1,y = 0\)成立. 我们假设现在已经求出了一组解\(x_1,y_1\),我们要求下一组解\(x_2,y_2\) 有\(ax_…

1.欧几里得算法(辗转相除法) 直接上gcd和lcm代码. int gcd(int x,int y){ ?x:gcd(y,x%y); } int lcm(int x,int y){ return x*y/gcd(x,y); } 2.扩欧:exgcd:对于a,b,一定存在整数对(x,y)使ax+by=gcd(a,b)=d ,且a,b互质时,d=1. x,y可递归地求得. 我懒得改返回值类型了 long long exgcd(long long a,long long b,long long &x,…

其实我没看懂题不如说根本没看--都说是excrt板子那就写个板子吧 注意开long long #include<iostream> #include<cstdio> using namespace std; const long long N=100005; long long n,r[N],m[N]; void exgcd(long long a,long long b,long long &d,long long &x,long long &y) { i…

题目大意:略 真是一波三折的一道国赛题,先学了中国剩余定理,勉强看懂了模板然后写的这道题 把取出的宝剑攻击力设为T,可得Ti*x=ai(mod pi),这显然是ax=c(mod b)的形式 这部分用exgcd求解x的最小正整数解 先把a,b,c除以gcd(a,b),如果c不能整除gcd(a,b)那么无解.此时a,b互质,用exgcd求得a的逆元,逆元乘回来gcd(a,b)就是x的最小正整数解,注意可能爆long long要用龟速乘 那么此时求得的x是仅仅对于这一个方程的,我们要把它带到excrt…

excrt板子题 #include <cmath> #include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> #define ll long long #define N 100010 #define rint register int #define ll long long #define il inline using namespace std; //re int n; ll A[N],B[N…

扩展中国剩余定理,是求解形如:$x\equiv a_{1}($ mod $b_{1})$$x\equiv a_{2}($ mod $b_{2})$$x\equiv a_{3}($ mod $b_{3})$$x\equiv a_{i}($ mod $b_{i})$...$x$ 的解(最小非负整数解) 考虑只有一个等式,显然,$x$ 的解可以为 $a_{i}$,而$x+t*b_{i}$ 可以表示出 $x$ 的所有解.考虑我们已经得到一个解 $x$,和一个可以构造出通解的参数 $M$,将该解与下一个方…