Prob. 给定 \(m\) 个相同球,\(n\) 个不同的盒子. 求在这 \(n\) 个盒子中放不超过 \(m\) 个球的方案数,并对 \(p\) 取模. 其中 \(1 \leq n, m \leq 10^9, 1 < p < 10^6\),且 \(p\) 为质数. Sol. 考虑先大力写出原题对应的组合数的柿子. 那就先来看一个经典模型:求 \(x\) 个不同盒子中放 \(y\) 个球允许盒子空着的方案数. 我们可以运用插板法.总共 \(y - 1\) 个空位,插入 \(x - 1\) 块…

记录全思路过程和正解分析.全思路过程很 navie,不过很下饭不是嘛.会持续更新的(应该). 「CF1521E」Nastia and a Beautiful Matrix Thought. 要把所有数容纳下就一定至少有,\(\sum \limits _{i = 1 \to k} a_i < n^2\).但这个限制太弱了可恶. 考虑一种构造,一排全放数字,一排隔一个放一个.感觉可以做到最优. 接下来考虑普适化的细节,即需要满足对角线数组不同. 全放数字的就直接往上怼,不够换下一个数字,顺序填即可.…

题目背景 题目背景与题目描述无关.签到愉快. 「冷」 他半靠在床沿,一缕感伤在透亮的眼眸间荡漾. 冷见惆怅而四散逃去.经历嘈杂喧嚣,感官早已麻木.冷又见空洞而乘隙而入.从里向外,这不是感官的范畴. 他暗笑,笑自己多情. 「暖」 正恍惚,忽见她闪进门帘. 慢步,靠近,站定,俯身.一抹浅笑挟带着闪闪泪光刻印在时光里. 沉醉于这美好,四周空气开始有了温度,刚刚好的温度. 「坠」 起身,伸出手,他想轻抚过那朝思暮想的面颊. 但他做不到,他发现他在坠落,没有尽头. 深渊是主犯,不断向下延伸,贪婪地吞噬这尘…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   给定一棵包含 \(n\) 个点,有点权和边权的树.设当前位置 \(s\)(初始时 \(s=1\)),每次在 \(n\) 个结点内随机选择目标结点 \(t\),付出「\(s\) 到 \(t\) 的简单路径上的边权之和」\(\times\)「\(t\) 的点权」的代价,标记(可以重复标记)点 \(t\) 并把 \(s\) 置为 \(t\).求每个点至少被标记一次时(其中 \(1\) 号结点一开始就被标记)代价之和的期望.答案对…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   给定你初始拥有的钱数 \(C\) 以及 \(N\) 台机器的属性,第 \(i\) 台有属性 \((d_i,p_i,r_i,g_i)\),分别是出售时间.售价.转卖价.单日工作收益.机器在买入或转卖当天不提供收益,且你同一时刻最多拥有一台机器,在 \((D+1)\) 天时必须转卖拥有的机器.求第 \((D+1)\) 天你拥有的最大钱数.\(n\le10^5\). \(\mathcal{Solution}\)   比较自然的想法…

\(\mathcal{Description}\)   OurOJ.   给定序列 \(\{a_n\}\) 和一个二元运算 \(\operatorname{op}\in\{\operatorname{and},\operatorname{or},\operatorname{xor}\}\),对于 \(i\in[2,n]\),求出 \(\max_{j\in[1,i)}\{a_i\operatorname{op} a_j\}\) 以及 \(|\arg\max_{j\in[1,i)}\{a_i\ope…

\(\mathcal{Description}\)   link.   有一个 \(n\) 个结点的无向图,给定 \(n-1\) 组边集,求从每组边集选出恰一条边最终构成树的方案树.对 \(10^9+7\) 取模.   \(2\le n\le17\),边集大小 \(0\le m_i\le\frac{n(n-1)}2\). \(\mathcal{Solution}\)   \(n\) 很小,考虑容斥.枚举这 \(n-1\) 个边集的子集,将子集内的边集的边加入图,用矩阵树定理求出生成树个数,容斥一…

\(\mathcal{Description}\)   OurTeam & OurOJ.   给定一棵 \(n\) 个顶点的树,每个顶点标有字符 ( 或 ).将从 \(u\) 到 \(v\) 的简单有向路径上的字符串成括号序列,记其正则匹配的子串个数为 \(\operatorname{ans}(u,v)\).求: \[\sum_{u=1}^n\sum_{v=1}^n\operatorname{ans}(u,v)\bmod998244353 \]   \(n\le2\times10^5\). \(…

\(\mathcal{Description}\)   link.   给定一个捕食网络,对于每个物种,求其灭绝后有多少消费者失去所有食物来源.(一些名词与生物学的定义相同 w.)   原图结点数 \(n\le65534\),边数 \(m\le10^6\),图保证无有向环. \(\mathcal{Solution}\)   支配树板题.将原图反向建边,令一个"超级生产者"结点,指向所有生产者,然后求出该图的支配树.每个物种的答案就是其子树大小 \(-1\).   以下会讲解对于有向无环…

\(\mathcal{Description}\)   link.   给定带权简单无向图,求其最小生成树个数.   顶点数 \(n\le10^2\),边数 \(m\le10^3\),相同边权的边数不超过 \(10\). \(\mathcal{Solution}\)   先说一个引理:对于一个图的任意两棵最小生成树,其边权集合相等.   简单证明一下,设有两个最小生成树的边权集合 \(\{\dots,a,b,\dots\},\{\dots,c,d,\cdots\}\)(省略号处相等,不降排列).…