Description 在2016年,佳媛姐姐刚刚学习了第二类斯特林数,非常开心. 现在他想计算这样一个函数的值: S(i, j)表示第二类斯特林数,递推公式为: S(i, j) = j ∗ S(i − 1, j) + S(i − 1, j − 1), 1 <= j <= i − 1. 边界条件为:S(i, i) = 1(0 <= i), S(i, 0) = 0(1 <= i) 你能帮帮他吗? Input 输入只有一个正整数 Output 输出f(n).由于结果会很大,输出f(n)…

题面 传送门 思路 首先,我们发现这个式子中大部分的项都和$j$有关(尤其是后面的$2^j\ast j!$),所以我们更换一下枚举方式,把这道题的枚举方式变成先$j$再$i$ $f(n)=\sum_{j=0}^n2^j\ast j!\sum_{i=0}^nS_i^j$ 第二类斯特林数有一个基于组合意义的公式: $S_i^j=\frac1{j!}\sum_{k=0}^j(-1)^kC_j^k(j-k)^i=\sum_{k=0}^j\frac{(-1)^k(j-k)^i}{k!(j-k)!}$ 把这…

[题意]给定n,求Σi=0~nΣj=1~i s(i,j)*2^j*j!,n<=10^5. [算法]生成函数+排列组合+多项式求逆 [题解]参考: [BZOJ4555][Tjoi2016&Heoi2016]求和-NTT-多项式求逆 $ans=\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{i}s(i,j)*2^j*j!$ 令$g(n)=\sum_{j=0}^{n}s(n,j)*2^j*j!$ 则ans是Σg(i),只要计算出g(i)的生成函数就可以统计答案. g(n)可以理解为将n个数划分…

​ 第一篇博客,请大家多多关照.(鞠躬 BZOJ4555 TJOI2016 HEOI2016 求和 题意: ​ 给定一个正整数\(n\)(\(1\leqq n \leqq100000\)),求: \[ \begin{align*} f(n)=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^i \begin{Bmatrix}i\\j\end{Bmatrix}\times2^j\times(j!) \end{align*} \] 题解: ​ 第二类斯特林数公式题,题目中很良心地给了我们第二类斯特林数的…

题目 在2016年,佳媛姐姐刚刚学习了第二类斯特林数,非常开心. 现在他想计算这样一个函数的值: S(i, j)表示第二类斯特林数,递推公式为: S(i, j) = j ∗ S(i − 1, j) + S(i − 1, j − 1), 1 <= j <= i − 1. 边界条件为:S(i, i) = 1(0 <= i), S(i, 0) = 0(1 <= i) 你能帮帮他吗? 输入格式 输入只有一个正整数 输出格式 输出f(n).由于结果会很大,输出f(n)对998244353(7…

Description 在2016年,佳媛姐姐刚刚学习了第二类斯特林数,非常开心. 现在他想计算这样一个函数的值: $$f(n)=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^i S(i,j)\times 2^j\times(j!)$$ $S(i,j)$表示第二类斯特林数,递推公式为:$S(i,j)=j\times S(i-1,j)+S(i-1,j-1),1\leq j\leq i-1$.边界条件为:$S(i,i)=1(0\leq i),S(i,0)=0(1\leq i)$你能帮帮他吗? Inp…

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4555 关于第二类斯特林数:https://www.cnblogs.com/Wuweizheng/p/8638858.html 关于这道题:https://blog.csdn.net/werkeytom_ftd/article/details/51909966 把 ∑i 移到后面那一步很不错,在后面就是个等比数列求和,就消去一个 O(n) 了: 注意等比数列求和公式当 q=1 时不适用. 代…

传送门 首先,因为在\(j>i\)的时候有\(S(i,j)=0\),所以原式可以写成\[Ans=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^nS(i,j)\times 2^j\times j!\] \[Ans=\sum_{j=0}^n2^j\times j!\sum_{i=0}^nS(i,j)\] 根据第二类斯特林数的通项公式代入,有\[Ans=\sum_{j=0}^n2^j\times j!\sum_{i=0}^n\sum_{k=0}^j\frac{(-1)^k}{k!}\frac{(j-k…

题目链接 \(Description\) 求 \[\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^iS(i,j)2^jj!\]对998244353取模后的结果. \(n<=10^5\) \(Solution\) \(S(i,j)\)在这里就非常碍事,怎么把它写成一个多项式的形式呢? 第二类斯特林数还有一种容斥的写法 \[S(n,m)=\frac{1}{m!}\sum_{i=0}^m(-1)^iC_m^i(m-i)^n\] 把它带到要求的式子里去 \[\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^i…

正题 题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4091 题目大意 给出\(n\),求 \[\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^i\begin{Bmatrix}i\\j\end{Bmatrix}2^jj! \] 解题思路 看题解才知道\(2^jj!\)对这\(n\log n\)做法没有任何意义,卡了好久. 首先斯特林数的通项公式是 \[\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}=\frac{1}{m!}\sum_{k=0}^m(…