gcd, exgcd的证明

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Gcd&Exgcd算法学习小记

Preface 对于许多数论问题,都需要涉及到Gcd,求解Gcd,常常使用欧几里得算法,以前也只是背下来,没有真正了解并证明过. 对于许多求解问题,可以列出贝祖方程:ax+by=Gcd(a,b),用Exgcd解之即可到答案,Exgcd即扩展欧几里得算法.他还能求乘法逆元,同余方程通解.没有你想得到的,只有你做不到的. 这里是对于两个算法的学习小记 Content 欧几里得算法算法介绍由百度百科得欧几里德算法又称辗转相除法,用于计算两个正整数a,b的最大公约数. 从整数的除法可知:对任给二整…

gcd&&exgcd&&斐蜀定理

gcd就是求a和b最大公约数,一般方法就是递推.不多说,上代码. 一.迭代法 int gcd(int m, int n) { ) { int c = n % m; n = m; m = c; } return n; } 二.递归法 int Gcd(int a, int b) { ) return a; return Gcd(b, a % b); } 但exgcd是个什么玩意??? 百度了一下,百科这么讲的: 对于不完全为 0 的非负整数 a,b,gcd(a,b)表示 a,b 的最大公约数,必然…

Gcd&Exgcd

欧几里得算法: \[gcd(a,b)=gcd(b,a\bmod b)\] 证明: 显然(大雾) 扩展欧几里得及证明: 为解决一个形如 \[ax+by=c\] 的方程. 根据裴蜀定理,当且仅当 \[gcd(a,b)|c\] 时方程有解. 然后解这个方程... 我觉得大概就是: 我们设 \[ax_1+by_1=gcd(a,b)\] \[bx_2+(a\bmod b) y_2=gcd(b,a\bmod b)\] 根据欧几里得以及$a\bmod b=a-\lfloor a/b\rfloor$有 \[…

最大公约数(gcd):Euclid算法证明

Euclid gcd规则的证明

Euclid 规则:如果x和y都是正整数,而且x>=y,那么gcd(x,y)=gcd(x mod y, y) 假设x和y的gcd为a,那么必然有 x=a*n1 y=a*n2(gcd(n1,n2)=1) 那么我们求 x mod y =>a*n1 mod a*n2 令x mod y=m,那么必然满足 x=n3*y+m =>a*n1=n3*a*n2+m =>m=a*(n1-n2*n3) 那么gcd(x mod y,y)就变成了gcd(a*(n1-n2*n3), a*n2), 如果gcd(…

关于欧几里得算法（gcd）的证明

求a,b的最大公约数我们经常用欧几里得算法解决,也称辗转相除法, 代码很简短, int gcd(int a,int b){ return (b==0)?a:gcd(b,a%b); } 但其中的道理却很深刻,完全理解不简单,以前都只是记一下代码,今天研究了很久,才差不多理解了其中的原因从代码可以看出,gcd(a,b)=gcd(b,a%b),关键就在于证明这个等式证明如下, 设c=gcd(a,b),则a=kc,b=nc(n,c为正整数), 设r=a%b,可得r=a-mb(m为a/b向下取整),…

约数,gcd,exgcd.

很多题都是要求出什么最大公约数或者最小公倍数什么的,也有一些题目是和约数个数有关的,所以需要总结一下. 首先最大公约数和最小公倍数怎么求呢? 当然是观察法了,对于一些很聪明的孩纸他们一般随便一看就秒出答案,当然更聪明的孩纸知道最小公倍数并不容易求出. 所以需要先看出最大公约数,然后两数乘积/他们的最大公约数就是最小公倍数了. 我?我当然是上述方法求了.那样很快的.当然对于一些比较复杂的就要采取一些方法了. 如短除法,这样的方法实现很快的. 当求最大公约数的时候把列出的一个集合中的数字公共的约数全…

关于欧几里德算法（gcd）的证明

求a,b的最大公约数我们经常用欧几里得算法解决,也称辗转相除法, 代码很简短, int gcd(int a,int b){ return (b==0)?a:gcd(b,a%b); } 但其中的道理却很深刻,完全理解不简单,以前都只是记一下代码,今天研究了很久,才差不多理解了其中的原因从代码可以看出,gcd(a,b)=gcd(b,a%b),关键就在于证明这个等式证明如下, 设c=gcd(a,b),则a=kc,b=nc(n,c为正整数), 设r=a%b,可得r=a-mb(m为a/b向下取整),…

读入并查集 gcd/exgcd 高精度快速幂

ios_base::sync_with_stdio(); cin.tie(); ], nxt[MAXM << ], Head[MAXN], ed = ; inline void addedge(int u, int v) { to[++ed] = v; nxt[ed] = Head[u]; Head[u] = ed; } #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cst…

gcd && exgcd算法

目录欧几里德算法与扩展欧几里德算法 1.欧几里德算法 2.扩展欧几里德算法欧几里德算法与扩展欧几里德算法 1.欧几里德算法 #include<bits/stdc++.h> using namespace std; int gcd(int a,int b) { if(b==0) return a; else return gcd(b,a%b); } //return b == 0 ? a : gcd(b, a % b); int main() { int m,n; while(cin>…

gcd以及exgcd入门讲解

gcd就是最大公约数,gcd(x, y)一般用(x, y)表示.与此相对的是lcm,最小公倍数,lcm(x, y)一般用[x, y]表示. 人人都知道:lcm(x, y) = x * y / gcd(x, y) 证明起来也不是很难: (这真的是我自己写的,因为博客园不支持这格式……) 至于gcd的求法,想必各位在高中都学过辗转相除法和更相减损之术,这里只讲辗转相除法(更相减损之术略慢) 首先不妨设 x ≤ y,则gcd(x, y) =gcd(x, x +y) = gcd(x, y - x).所…

数论入门2——gcd,lcm,exGCD,欧拉定理,乘法逆元,(ex)CRT,(ex)BSGS,(ex)Lucas,原根,Miller-Rabin,Pollard-Rho

数论入门2 另一种类型的数论... GCD,LCM 定义$gcd(a,b)$为a和b的最大公约数,$lcm(a,b)$为a和b的最小公倍数,则有: 将a和b分解质因数为$a=p1^{a1}p2^{a2}p3^{a3}...pn^{an},b=p1^{b1}p2^{b2}p3^{b3}...pn^{bn}$,那么$gcd(a,b)=\prod_{i=1}^{n}pi^{min(ai,bi)},lcm(a,b)=\prod_{i=1}^{n}pi^{max(ai,bi)}$(0和任何…

gcd（欧几里得算法）与exgcd（扩展欧几里得算法）

欧几里得算法: 1.定义:gcd的意思是最大公约数,通常用扩展欧几里得算法求原理:gcd(a, b)=gcd(b, a%b) 2.证明: 令d=gcd(a, b) => a=m*d,b=n*d 则m*d=t*n*d+a%b => a%b=d*(m-t*n) gcd(b, a%b)=gcd(n*d, (m-t*n)*d) 令gcd(n, m-t*n)=e => n=x*e,m-t*n=y*e 则m-x*e*n=y*e => m=e*(x*n+y) 由gcd(n, m…

一个关于gcd的等式的证明

证:$a > b$ 且 $gcd(a,b)=1$,有 $gcd(a^n-b^n, a^m-b^m) = a^{gcd(n, m)} - b^{gcd(n,m)}$. 证明: 假设 $n > m$,$r = n \% m$. 根据辗转相除法, $a^n - b^n = (a^m-b^m)(a^{n-m} + a^{n-2m}b^m + ...+) + a^rb^{n-r} - b^n$, $gcd(a^n-b^n, a^m-b^m) = gcd(a^m-b^m, a^rb^{n-r}-b^n)…

Re：Exgcd解二元不定方程

模拟又炸了,我死亡 $exgcd$(扩展欧几里德算法)用于求$ax+by=gcd(a,b)$中$x,y$的一组解,它有很多应用,比如解二元不定方程.求逆元等等,这里详细讲解一下$exgcd$的原理. 了解$exgcd$算法前,需要$gcd$算法做铺垫.gcd,又称辗转相除法,用于计算两个整数 $a,b$ 的最大公约数. $gcd$函数的基本性质: $gcd(a,b)=gcd(b,a) $ $gcd(a,b)=gcd(-a,b) $ $gcd(a,b)=gcd(|a|,|b|)$ $gcd(a,b…

EXGCD 扩展欧几里得

推荐:https://www.zybuluo.com/samzhang/note/541890 扩展欧几里得,就是求出来ax+by=gcd(x,y)的x,y 为什么有解? 根据裴蜀定理,存在u,v使得au+bv=gcd(x,y) 证明: 这里面,c,e,就是所谓的u,v 对于ax+by=gcd(a,b) 因为gcd(a,b)=gcd(b,a%b) ax+by=gcd(a,b) bx1+(a%b)y1=gcd(b,a%b) 可以变成:ax+by=bx1+(a%b)y1 就是:ax+by=bx1+(…

模拟赛 T1 费马小定理+质因数分解+exgcd

求:$a^{bx \%p}\equiv 1(\mod p)$ 的一个可行的 $x$. 根据欧拉定理,我们知道 $a^{\phi(p)}\equiv 1(\mod p)$ 而在 $a^x\equiv 1(\mod p)$ 这个式子中 $x$ 是存在很多个解的. 这些解之间存在着循环节,使得任意解 $x$ 可以被表示成循环节的倍数. 我们设这个循环节为 $cir$. 由于已知 $\phi(p)$ 一定是一个可行解,所以最小循环节一定是 $\phi(p)$ 的约数. 然后我们就可以对 $\phi(p)…