# include <cstdio> # include <cstring> # include <cstdlib> # include <iostream> # include <vector> # include <queue> # include <stack> # include <map> # include <complex> # include <set> # includ…

传送门 这次fftfftfft乱搞居然没有被卡常? 题目简述:给你nnn个数,每三个数ai,aj,ak(i<j<k)a_i,a_j,a_k(i<j<k)ai​,aj​,ak​(i<j<k)组成的所有和以及这些和出现的次数. 读完题直接让我联想到了昨天写过的一道用fftfftfft优化点分治合并的题 ,这不是差不多嘛? 只是这一次的容斥要麻烦一些. 我们令原数列转化成的系数序列为{an}\{a_n\}{an​} 那么如果允许重复答案就应该是an3a_n^3an3​ 然后展…

题目链接 首先忽略 i < j < k这个条件.那么我们构造多项式$$A(x) = \sum_{1现在我们考虑容斥:1. $ (\sum_{}x)^3 = \sum_{}x^3 + 3\sum_{}x^2 y + 6\sum_{}xyz $ 2. $ (\sum_{}x^2)(\sum_{}x) = \sum_{}x^3 + \sum_{}x^2 y $3. $ (\sum_{}x)^3 = \sum_{}x^3 $由上面三个式子 我们可以推导出$ \sum_{}xyz = \frac {(\…

题目大意 有\(n\)把斧头,不同斧头的价值都不同且都是\([0,m]\)的整数.你可以选\(1\)~\(3\)把斧头,总价值为这三把斧头的价值之和.请你对于每种可能的总价值,求出有多少种选择方案. 选\(2\)把斧头时,\((a,b)\)和\((b,a)\)视为一种方案.选\(3\)把斧头时,\((a,b,c),(b,c,a),(c,a,b),(c,b,a),(b,a,c),(a,c,b)\)视为一种方案. \(m\leq 40000\). 题解 考虑生成函数. ​ 设\(X\)是每种斧头取一…

思路比较直观.设A(x)=Σxai.先把只选一种的统计进去.然后考虑选两种,这个直接A(x)自己卷起来就好了,要去掉选同一种的情况然后除以2.现在得到了选两种的每种权值的方案数,再把这个卷上A(x).得到这个后考虑去重,其中重复的就是选了两个相同的和另外一个,那么再把选两个相同的生成函数搞出来卷上A,减掉选三个相同的.把这个东西减掉之后再除以3.说了半天也不知道在说啥,总之是容斥原理很基础的应用. 有些卡精度,用long double才过,可能是我写丑了. #include<iostream>…

[传送门] FFT第一题! 构造多项式 $A(x) = \sum x ^ {s_i}$. 不考虑题目中 $i < j < k$ 的条件,那么 $A^3(x)$ 每一项对应的系数就是答案了. 考虑容斥. $$(\sum x)^3 = \sum x^3 + 3 \sum x^2 y + 6\sum xyz$$ $$(\sum x^2) (\sum x)= \sum x^3 + \sum x^2 y$$ 所以 $$\sum xyz = \dfrac{(\sum x)^3 - 3 (\sum x^2)…

题目描述 樵夫的每一把斧头都有一个价值,不同斧头的价值不同.总损失就是丢掉的斧头价值和. 他想对于每个可能的总损失,计算有几种可能的方案. 注意:如果水神拿走了两把斧头a和b,(a,b)和(b,a)视为一种方案.拿走三把斧头时,(a,b,c),(b,c,a),(c,a,b),(c,b,a),(b,a,c),(a,c,b)视为一种方案. 输入 第一行是整数N,表示有N把斧头. 接下来n行升序输入N个数字Ai,表示每把斧头的价值. 输出 若干行,按升序对于所有可能的总损失输出一行x y,x为损失值,…

The Preliminary Contest for ICPC Asia Shanghai 2019 C Triple(FFT+暴力) 传送门:https://nanti.jisuanke.com/t/41400 题意: 给你三个数组a,b,c,要你求有多少个三元组(i,j,k),使得 \[ \begin{array}{l}{\left|A_{i}-B_{j}\right| \leq C_{k}, \text { and }} \\ {\left|B_{j}-C_{k}\right| \leq…

题目 Source http://www.spoj.com/problems/TSUM/ Description You're given a sequence s of N distinct integers.Consider all the possible sums of three integers from the sequence at three different indicies.For each obtainable sum output the number of diff…

You're given a sequence s of N distinct integers.Consider all the possible sums of three integers from the sequence at three different indicies.For each obtainable sum output the number of different triples of indicies that generate it.Constraints:N…

解析: 这东西其实就是指数型母函数? 所以刚开始读入的值我们都把它前面的系数置为1. 然后其实就是个多项式乘法了. 最大范围显然是读入的值中的最大值乘三,对于本题的话是12W? 用FFT优化的话,达到了O(nlogn),显然可过. 但是这里有一个问题,就是如何处理重复的部分. 重复的部分我们考虑用容斥原理来解决. 为了方便描述我们不妨设三个多项式. 第一个是仅取一个而构成的多项式.->x 第二个是仅取相同的两个而构成的多项式.->y 第三个是仅取相同的三个而构成的多项式.->z 对于本题…

[BZOJ 3771] Triple(FFT+生成函数) 题面 给出 n个物品,价值为别为\(w_i\)且各不相同,现在可以取1个.2个或3个,问每种价值和有几种情况? 分析 这种计数问题容易想到生成函数. 设生成函数\(A(x)=\sum_{i=1}^{n} x^{w_i}\),指数为价值,系数为选的方案数.A表示每种物品取1个的方案数.同理,我们可以写出每种物品取2个和3个的生成函数. \(B(x)=\sum_{i=1}^{n} x^{2w_i}\) \(C(x)=\sum_{i=1}^{n…

传送门 生成函数经典题. 题意简述:给出nnn个数,可以从中选1/2/31/2/31/2/3个,问所有可能的和对应的方案数. 思路: 令A(x),B(x),C(x)A(x),B(x),C(x)A(x),B(x),C(x)表示选111个,222个,333个的生成函数,ans1(x),ans2(x),ans3(x)ans1(x),ans2(x),ans3(x)ans1(x),ans2(x),ans3(x)表示选111个,222个,333个答案的生成函数. 那么ans1(x)=A(x)ans1(x)=…

题意:给你n个数字,对于任意s,s满足\(s=u_i+u_j+u_k,i<j<k\),要求出所有的s和对应满足条件的i,j,k的方案数 Solution: 构造一个函数:\(A(x)=\sum_{i=0}^{n-1}a_ix^i\),这是一个多项式 对于每一个\(u_i\),我们把这个多项式中的\(x^{u_i}\)的系数\(a_{u_i}\)加上一 也就是说,对于任意\(x^i\),它的系数为i在给出序列中出现的次数 多项式的三次方为: \[ C(x)=A(x)^3\\ C(x)=\sum_…

瞎搞居然1A,真是吃鲸 n的范围只有聪明人能看见--建议读题3遍 首先看计数就想到生成函数,列出多项式A(x),然后分别考虑123 对于选一个的直接计数即可: 对于选两个的,\( A(x)^2 \),然后注意这里两个选一样的是不合法的,各出现了一次,所以减掉,然后这里是有顺序的,所以最后再除以2(就是(1,2)和(2,1)算两次): 对于选三个的,\( A(x)^3 \),然后去掉不合法的,设D(x)为每个斧头选两次的生成函数(也就是价格*2),然后A(x)*D(x)就表示前两个斧头重复选取的方…

[BZOJ3771]Triple Description 我们讲一个悲伤的故事. 从前有一个贫穷的樵夫在河边砍柴. 这时候河里出现了一个水神,夺过了他的斧头,说: “这把斧头,是不是你的?” 樵夫一看:“是啊是啊!” 水神把斧头扔在一边,又拿起一个东西问: “这把斧头,是不是你的?” 樵夫看不清楚,但又怕真的是自己的斧头,只好又答:“是啊是啊!” 水神又把手上的东西扔在一边,拿起第三个东西问: “这把斧头,是不是你的?” 樵夫还是看不清楚,但是他觉得再这样下去他就没法砍柴了. 于是他又一次答:“…

It is a small fun problem to solve. Since only a max sum is required (no need to print path), we can only keep track of the max value at each line. Basically it is still a human labor simulation work. To be more specifically, we need keep track of a…

题意:n个数,任取三个加起来,问每个可能的结果的方案数. 题解:构造母函数ABC,比如现在有 1 2 3 三个数.则 其中B表示同一个数加两次,C表示用三次.然后考虑去重. A^3表示可重复地拿三个.(无顺序) 然后我们去掉拿了两个相同的方案A*B,由于有三种顺序(xxy,xyx,yxx) 所以*3 最后再加上多减了的 拿三个相同的的方案C,一共减了三次,多减了两次所以*2 最后除以3*2*1去掉顺序 然后fft即可 坑:数据有负数,所以读入需要+2e4预处理trk,最后减去6e4,因为每一项都…

题目链接 \(Description\) 有\(n\)个物品(斧头),每个物品价值不同且只有一件,问取出一件.两件.三件物品,所有可能得到的价值和及其方案数.\((a,b),(b,a)\)算作一种方案. \(Solution\) 尝试用母函数去表示.\(A\)表示取一个物品对应方案数和价值的母函数,即\[A=x^{v_1}+x^{v_2}+x^{v_3}\ldots\] 那么取两件就是\(A^2\),取三件是\(A^3\).因为是组合,而这么求的是排列,所以\[Ans=A+\frac{A^2}{…

Time Limit: 20 Sec  Memory Limit: 64 MBSubmit: 911  Solved: 528[Submit][Status][Discuss] Description 我们讲一个悲伤的故事. 从前有一个贫穷的樵夫在河边砍柴. 这时候河里出现了一个水神,夺过了他的斧头,说: “这把斧头,是不是你的?” 樵夫一看:“是啊是啊!” 水神把斧头扔在一边,又拿起一个东西问: “这把斧头,是不是你的?” 樵夫看不清楚,但又怕真的是自己的斧头,只好又答:“是啊是啊!” 水神又…

题面在这里 description 某\(B\)姓\(OJ\)权限题 给出\(n\)个正整数\(a[i]\),求\(i<j<k\)且\(S=a[i]+a[j]+a[k]\)的三元组\((i,j,k)\)的个数 需要对所有可能的\(S\)进行求解 data range \[n\le 40000,|a[i]|\le 20000\] solution 考虑构造生成函数求解 构造\(A(x)=\sum_{i=1}^{n}x^{a[i]},B(x)=\sum_{i=1}^{n}x^{2\times a[…

题目描述 题解: 很吊的容斥+$FFT$,但是并不难. 首先,由于有重复,我们要容斥. 怎么办? 记录三个多项式, 只取一个:$w1$; 相同物体拿两个:$w2$; 相同物体拿三个:$w3$; 然后答案能推出来是$(w1*w1*w1-3*w1*w2+2*w3)/6$; 然后$FFT$瞎搞就行了. 注意有负数,同时扩大再瞎搞. 代码: #include<cmath> #include<cstdio> #include<cstring> #include<algori…

题目大意 给你一棵树,有\(n\)个点.还给你了一个整数\(k\). 设\(S\)为树上某些点的集合,定义\(f(S)\)为最小的包含\(S\)的联通子图的大小. \(n\)个点选\(k\)个点一共有\(\binom{n}{k}\)中方案,请你求出所有方案的\(f(S)\)的和\(\mod 924844033\). 出题人觉得这样就太简单了,他决定让你求出所有\(k=1\ldots n\)的答案. \(n\leq 200000\) 题解 似乎对于每个\(k\)没办法快速求出答案. 我们考虑一个点…

文章目录 多项式的运算 多项式的加减法,数乘 多项式乘法 多项式求逆 多项式求导 多项式积分 多项式取对 多项式取exp 多项式开方 多项式的除法/取模 分治FFT 生成函数 相关题目 多项式的运算 多项式的加减法,数乘 这个大家应该都会吧 不推了. 直接上代码: friend inline poly operator+(const poly&a,const poly&b){ poly ret(max(a.deg(),b.deg())); for(ri i=0;i<=a.deg();…

再探快速傅里叶变换(FFT)学习笔记(其三)(循环卷积的Bluestein算法+分治FFT+FFT的优化+任意模数NTT) 目录 再探快速傅里叶变换(FFT)学习笔记(其三)(循环卷积的Bluestein算法+分治FFT+FFT的优化+任意模数NTT) 写在前面 一些约定 循环卷积 DFT卷积的本质 Bluestein's Algorithm 例题 分治FFT 例题 FFT的弱常数优化 复杂算式中减少FFT次数 例题 利用循环卷积 小范围暴力 例题 快速幂乘法次数的优化 FFT的强常数优化 DF…

4555: [Tjoi2016&Heoi2016]求和 题意:求\[ \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^i S(i,j)\cdot 2^j\cdot j! \\ S是第二类斯特林数 \] 首先你要把这个组合计数肝出来,于是我去翻了一波<组合数学> 分治fft做法见上一篇,本篇是容斥原理+fft做法 组合计数 斯特林数 \(S(n,i)\)表示将n个不同元素划分成i个相同集合非空的方案数 考虑集合不相同情况\(S'(n,i)=S(n,i)*i!\),我们用容斥原理推♂倒她…

题意:n个物品,可以用1/2/3个不同的物品组成不同的价值,求每种价值有多少种方案(顺序不同算一种) [生成函数]: 构造这么一个多项式函数g(x),使得n次项系数为a[n]. 普通型生成函数用于解决多重集的组合问题 生成函数的x无实际意义 通常可以化为一个简单的式子 组合数的生成函数 A(x)=(1+x)^n  C(n,k)=a[k] 可以这么想,一次要么选择1要么选择x,选择x系数就会+1 生成函数系数为方案数,次数为价值 A(x) 选一个 B(x) A每项平方 选两个 C(x) A每项三次…

3771: Triple Time Limit: 20 Sec  Memory Limit: 64 MBSubmit: 547  Solved: 307 Description 我们讲一个悲伤的故事. 从前有一个贫穷的樵夫在河边砍柴. 这时候河里出现了一个水神,夺过了他的斧头,说: “这把斧头,是不是你的?” 樵夫一看:“是啊是啊!” 水神把斧头扔在一边,又拿起一个东西问: “这把斧头,是不是你的?” 樵夫看不清楚,但又怕真的是自己的斧头,只好又答:“是啊是啊!” 水神又把手上的东西扔在一边,拿…

Triple Time Limit: 20 Sec  Memory Limit: 64 MBSubmit: 847  Solved: 482[Submit][Status][Discuss] Description 我们讲一个悲伤的故事. 从前有一个贫穷的樵夫在河边砍柴. 这时候河里出现了一个水神,夺过了他的斧头,说: “这把斧头,是不是你的?” 樵夫一看:“是啊是啊!” 水神把斧头扔在一边,又拿起一个东西问: “这把斧头,是不是你的?” 樵夫看不清楚,但又怕真的是自己的斧头,只好又答:“是啊是…

题目大意: 给出\(n\)个互不相同的物品,每个物品有价值\(x_i(x_i \leq 40000)\)如果可以从中取一个或两个或三个物品.问能够组合出来的所有价值和对应的方案数,全部输出.取值时,\((a,b)\)和\((b,a)\)算作一种 题解: 不要说什没有给\(n\)的范围什么的,题目表明了\(n \leq 40000\) 我们首先想到的是直接取 我们构造出只取一个物品时的母函数 \[A(x) = x + x^2 + x^3 + ...\] 然后我们取两个物品的时候的母函数就可以用乘积…