二次剩余定理及Cipolla算法入门到自闭

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二次剩余定理及Cipolla算法入门到自闭

二次剩余定义: 在维基百科中,是这样说的:如果q等于一个数的平方模 n,则q为模 n 意义下的二次剩余.例如:x2≡n(mod p).否则,则q为模n意义下的二次非剩余. Cipolla算法:一个解决二次剩余强有力的工具,用来求得上式的x的一个算法. 需要学习的数论及数学基础:勒让德符号.欧拉判别准则和复数运算. 勒让德符号:判断n是否为p的二次剩余,p为奇质数. 欧拉定理为xφ(p)≡1(mod p) 当p为素数时,可知φ(p)=p-1,转化为xp-1≡1(mod p) 开根号后为 x(p−1…

二次剩余Cipolla算法学习笔记

对于同余式 \[x^2 \equiv n \pmod p\] 若对于给定的$n, P$,存在$x$满足上面的式子,则乘$n$在模$p$意义下是二次剩余,否则为非二次剩余我们需要计算的是在给定范围内所有满足条件的$x$,同时为了方便,我们只讨论$p$是奇质数的情况前置定理 $x^2 \equiv (x+p)^2 \pmod p$ 证明:$x^2 \equiv x^2 + 2xp + p^2 \pmod p$显然成立对于\(x^2 \equiv n \pmod…

Cipolla算法学习小记

转自:http://blog.csdn.net/doyouseeman/article/details/52033204 简介 Cipolla算法是解决二次剩余强有力的工具,一个脑洞大开的算法. 认真看懂了,其实是一个很简单的算法,不过会感觉得出这个算法的数学家十分的机智. 基础数论储备二次剩余首先来看一个式子x2≡n(modp),我们现在给出n,要求求得x的值.如果可以求得,n为mod p的二次剩余,其实就是n在mod p意义下开的尽方.Cipolla就是一个用来求得上式的x的一个算法.…

贝叶斯公式由浅入深大讲解—AI基础算法入门

1 贝叶斯方法长久以来,人们对一件事情发生或不发生的概率,只有固定的0和1,即要么发生,要么不发生,从来不会去考虑某件事情发生的概率有多大,不发生的概率又是多大.而且概率虽然未知,但最起码是一个确定的值.比如如果问那时的人们一个问题:“有一个袋子,里面装着若干个白球和黑球,请问从袋子中取得白球的概率是多少?”他们会想都不用想,会立马告诉你,取出白球的概率就是1/2,要么取到白球,要么取不到白球,即θ只能有一个值,而且不论你取了多少次,取得白球的概率θ始终都是1/2,即不随观察结果X 的变化而变…

贝叶斯公式由浅入深大讲解—AI基础算法入门【转】

本文转载自:https://www.cnblogs.com/zhoulujun/p/8893393.html 1 贝叶斯方法长久以来,人们对一件事情发生或不发生的概率,只有固定的0和1,即要么发生,要么不发生,从来不会去考虑某件事情发生的概率有多大,不发生的概率又是多大.而且概率虽然未知,但最起码是一个确定的值.比如如果问那时的人们一个问题:“有一个袋子,里面装着若干个白球和黑球,请问从袋子中取得白球的概率是多少?”他们会想都不用想,会立马告诉你,取出白球的概率就是1/2,要么取到白球,要么取…

Cipolla算法学习笔记

学习了一下1个$\log$的二次剩余.然后来水一篇博客. 当$p$为奇素数的时候,并且$(n, p) \equiv 1 \pmod{p}$,用Cipolla算法求出$x^2 \equiv n \pmod{p}$的一组解. 寻找一个$a$,使得$a^2 - n$是一个二次非剩余. 期望只用2次就能找到. 令$\omega \equiv \sqrt{a^2 - n} \pmod{p}$,显然这个值不存在,我们强行扩域. 那么$(a + \omega)^{(p + 1) / 2}$即为一组解. 证明如…