传送门 题意: 染色图是无向完全图,且每条边可被染成k种颜色中的一种.两个染色图是同构的,当且仅当可以改变一个图的顶点的编号,使得两个染色图完全相同.问N个顶点,k种颜色,本质不同的染色图个数(模质数N≤53,P<109). 想了一节课和一中午又看了课件 相同类型的循环合并的想法很巧妙 首先,点的置换对应唯一边的置换,我们可以枚举所有点的置换,找出每个置换下边置换的循环有多少个,然后套$Polya$公式 但是复杂度带叹号 我们发现,很多点置换类型是一样的,我们可以对$n$搜索划分来枚举点置换的类…

1815: [Shoi2006]color 有色图 Time Limit: 4 Sec  Memory Limit: 64 MBSubmit: 136  Solved: 50[Submit][Status] Description Input 输入三个整数N,M,P 1< = N <= 53 1< = M < = 1000 N< P < = 10^ 9 Output 即总数模P后的余数 Sample Input input 1 3 2 97 Sample Output…

题意 如果一张无向完全图(完全图就是任意两个不同的顶点之间有且仅有一条边相连)的每条边都被染成了一种颜色,我们就称这种图为有色图. 如果两张有色图有相同数量的顶点,而且经过某种顶点编号的重排,能够使得两张图对应的边的颜色是一样的,我们就称这两张有色图是同构的. 对于计算所有顶点数为 \(n\) ,颜色种类不超过 \(m\) 的图,最多有几张是两两不同构的图. 数据范围 \(n \le 53, 1 \le m \le 1000\) 题解 神仙题qwq 我们考虑对于点置换与其对应的边置换的关系: 对…

参考 https://wenku.baidu.com/view/fee9e9b9bceb19e8b8f6ba7a.html?from=search### 的最后一道例题 首先无向完全图是个若干点的置换,但是实际上要染色边,也就是要求边的置换 首先,通过dfs构造一个点的置换,然后再把每个置换分割加起来就是答案(实际上分割方案很少) 那么现在有一个点置换的长度(a1,a2,a3...),考虑边置换,一条边(pi,pj),如果pi,pj在不同的置换里,那么显然循环节是lcm(ai,aj),所以循环个…

BZOJ1815: [Shoi2006]color 有色图 Description Input 输入三个整数N,M,P 1< = N <= 53 1< = M < = 1000 N< P < = 10^ 9 Output 即总数模P后的余数 Sample Input input 1 3 2 97 Sample Output output 1 4 题解Here! 经典Polya计数. 不想再写一遍了,正解戳这里.…

题意 用 \(m\) 种颜色,给 \(n\) 个点的无向完全图的 \(\frac{n(n-1)}{2}\) 条边染色,两种方案相同当且仅当一种方案交换一些点的编号后可以变成另一种方案.问有多少本质不同的染色方案. \(n\le 53, m\le 1000, n<mod\le 10^9\) 且 \(mod\) 为质数. 分析 考虑 \(Polya​\) 定理. 假设已经枚举了一个点置换(对应唯一一种边置换),能否快速求出对应边的置换的循环个数? 对于两个点的循环(设长度分别为 \(l_1,l_2\…

题目 Beads of N colors are connected together into a circular necklace of N beads (N<=1000000000). Your job is to calculate how many different kinds of the necklace can be produced. You should know that the necklace might not use up all the N colors, a…

根据polya定理,答案应该是 \[ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}n^{gcd(i,n)} \] 但是这个显然不能直接求,因为n是1e9级别的,所以推一波式子: \[ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}n^{gcd(i,n)} \] \[ =\frac{1}{n}\sum_{d|n}n^d\sum_{i=1}^{n}[gcd(i,n)==d] \] \[ =\frac{1}{n}\sum_{d|n}n^d\sum_{i=1}^{\frac{d}{n}}[gc…

分析 三倍经验题,本文以[BZOJ1478][SGU282]Isomorphism为例展开叙述,主体思路与另外两题大(wan)致(quan)相(yi)同(zhi). 这可能是博主目前写过最长也是最认真的题解了. 题目中规定"若两个已染色的图,其中一个图可以通过结点重新编号而与另一个图完全相同, 就称这两个染色方案相同",说明这个置换群是定义在点上的,而染色方案是定义在边上的.把边的染色方案转化为点的染色方案不太现实,所以说我们可以考虑如何将点的置换转化为边的置换. 一个显然的结论是点的…

题目传送门:洛谷 P4128. 计数好题,原来是 13 年前就出现了经典套路啊.这题在当年应该很难吧. 题意简述: \(n\) 个点的完全图,点没有颜色,边有 \(m\) 种颜色,问本质不同的图的数量对质数 \(p>n\) 取模. 本质不同指的是在点的 \(n!\) 种不同置换下不同. 题解: 首先有 \(\mathrm{P\acute{o}lya}\) 定理:一类元素在一个置换群的作用下本质不同的元素(不同等价类)个数等于 \(\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}M(g)\).…