Longge's problem   Description Longge is good at mathematics and he likes to think about hard mathematical problems which will be solved by some graceful algorithms. Now a problem comes: Given an integer N(1 < N < 2^31),you are to calculate ∑gcd(i,…

传送门 Longge's problem Time Limit: 1000MS   Memory Limit: 65536K Total Submissions: 7327   Accepted: 2416 Description Longge is good at mathematics and he likes to think about hard mathematical problems which will be solved by some graceful algorithms.…

Longge's problem Time Limit: 1000MS   Memory Limit: 65536K Total Submissions: 6383   Accepted: 2043 Description Longge is good at mathematics and he likes to think about hard mathematical problems which will be solved by some graceful algorithms. Now…

思路:首先给出几个结论: 1.gcd(a,b)是积性函数: 2.积性函数的和仍然是积性函数: 3.phi(a^b)=a^b-a^(b-1); 记 f(n)=∑gcd(i,n),n=p1^e1*p2^e2……; 则 f(n)=∑d*phi(n/d) (d是n的约数)           =∑(pi*ei+pi-ei)*pi^(ei-1). 代码如下: #include<iostream> #include<cstdio> #include<cmath> #include&…

Description Longge is good at mathematics and he likes to think about hard mathematical problems which will be solved by some graceful algorithms. Now a problem comes: Given an integer N(1 < N < 2^31),you are to calculate ∑gcd(i, N) 1<=i <=N. …

题意:求∑gcd(i,n),1<=i<=n思路:f(n)=∑gcd(i,n),1<=i<=n可以知道,其实f(n)=sum(p*φ(n/p)),其中p是n的因子.为什么呢?原因如下:1到n中有m个数字和n拥有公共的最大因子p,那么就需要把m*p加入答案中.问题是如何计算m的个数.因为假设某个数i与n的最大公约数为p,那么gcd(i,n) = p,可以得到gcd(i/p,n/p)=1.也就是说,有多少个i,就有多少个i/p与n/p互质.那么显然m即为n/p的欧拉函数φ(n/p). 知…

http://poj.org/problem?id=3090 法雷级数 法雷级数的递推公式非常easy:f[1] = 2; f[i] = f[i-1]+phi[i]. 该题是法雷级数的变形吧,答案是2*f[i]-1. #include <stdio.h> #include <iostream> #include <map> #include <set> #include <stack> #include <vector> #inclu…

2705: [SDOI2012]Longge的问题 Time Limit: 3 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 2553  Solved: 1565[Submit][Status][Discuss] Description Longge的数学成绩非常好,并且他非常乐于挑战高难度的数学问题.现在问题来了:给定一个整数N,你需要求出∑gcd(i, N)(1<=i <=N). Input 一个整数,为N. Output 一个整数,为所求的答案. Sample Inp…

A - Farey Sequence Time Limit:1000MS     Memory Limit:65536KB     64bit IO Format:%I64d & %I64u Submit Status Practice POJ 2478 Description The Farey Sequence Fn for any integer n with n >= 2 is the set of irreducible rational numbers a/b with 0 &l…

Farey Sequence Time Limit: 1000MS   Memory Limit: 65536K Total Submissions: 14291   Accepted: 5647 Description The Farey Sequence Fn for any integer n with n >= 2 is the set of irreducible rational numbers a/b with 0 < a < b <= n and gcd(a,b)…

2705: [SDOI2012]Longge的问题 Time Limit: 3 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 1959  Solved: 1229[Submit][Status][Discuss] Description Longge的数学成绩非常好,并且他非常乐于挑战高难度的数学问题.现在问题来了:给定一个整数N,你需要求出∑gcd(i, N)(1<=i <=N). Input 一个整数,为N. Output 一个整数,为所求的答案. Sample Inp…

题目描述 Longge的数学成绩非常好,并且他非常乐于挑战高难度的数学问题.现在问题来了:给定一个整数N,你需要求出∑gcd(i, N)(1<=i <=N). 输入 一个整数,为N. 输出 一个整数,为所求的答案. 样例输入 6 样例输出 15 题解 欧拉函数 易得知满足gcd(n,x)==i的小于等于n的x的个数为phi(n/i), 并且欧拉函数可以在O(√n)的时间内快速求出.. 于是可以先求出所有n的因子,再用欧拉函数得出答案. 由于因子是成对出现的,所以因子并不需要枚举到n,只需枚举到…

/** 大意: 计算f(n) = ∑ gcd(i, N) 1<=i <=N. 思路: gcd(i,x*y) = gcd(i,x) * gcd(i, y ) 所以gcd 为积性函数 又因为积性函数的和函数 也是积性函数(具体数学,了解即可) f(n) = f(p1^a1 * p2^a2 * p3^a3*......* pn^an ) = f(p1^a1) * f(p2^a2) * f(p3* a3) ...... 现在我们先单独考虑一个 f(p1^a1) f(p^k)=1*φ(p^k)+ p*φ…

题意 题目链接 Sol 开始用反演推发现不会求\(\mu(k)\)慌的一批 退了两步发现只要求个欧拉函数就行了 \(ans = \sum_{d | n} d \phi(\frac{n}{d})\) 理论上来说复杂度是\(O(n)\)的,但是\(d\)的值十分有限.在\(2^{32}\)内最多的约数也只有1920个. /* */ #include<bits/stdc++.h> #define LL long long #define int long long const int MAXN =…

Relatives AC代码 Relatives Time Limit: 1000MS   Memory Limit: 65536K Total Submissions: 16186   Accepted: 8208 Description Given n, a positive integer, how many positive integers less than n are relatively prime to n? Two integers a and b are relativel…

题意: 求sigma phi(n) 思路: 线性递推欧拉函数 (维护前缀和) //By SiriusRen #include <cstdio> using namespace std; #define maxn 1000005 #define int long long int n,p[maxn+100],s[maxn+100],phi[maxn+100],tot; void Phi(){ for(int i=2;i<=maxn;i++){ if(!s[i])p[++tot]=i,phi…

求 \(\sum\limits_{i=1}^{n}gcd(i,n)\) Solution 化简为 \(\sum\limits_{i|n}^{n}φ(\dfrac{n}{i})i\) 筛出欧拉函数暴力求答案即可 #include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define int long long int phi(int n) { int m = floor(sqrt(n + 0.5)), ans = n; for (int i = 2; i &l…

找新朋友 Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others) Total Submission(s): 10097    Accepted Submission(s): 5328 Problem Description 新年快到了,“猪头帮协会”准备搞一个聚会,已经知道现有会员N人,把会员从1到N编号,其中会长的号码是N号,凡是和会长是老朋友的,那么该会员的号码肯定和N有大于1的公…

欧拉函数 φ(n) 定义:[1,N]中与N互质的数的个数 //互质与欧拉函数 /* 求欧拉函数 按欧拉函数计算公式,只要分解质因数即可 */ int phi(int n){ int ans=n; ;i<=sqrt(n);i++){ ){ ans=ans/i*(i-); ) n/=i; } } ) ans=ans/n*(n-); return ans; } 性质:1.[1,n]中与n互质的数的和为 n*φ(n)/2; 2.欧拉函数是积性函数    3.p|n && p*p|n =>…

这题有两种解法,1是根据欧拉函数性质:素数的欧拉函数值=素数-1(可根据欧拉定义看出)欧拉函数定义:小于x且与x互质的数的个数 #include<map> #include<set> #include<cmath> #include<queue> #include<stack> #include<vector> #include<cstdio> #include<cassert> #include<iom…

Bamboo Pole-vault is a massively popular sport in Xzhiland. And Master Phi-shoe is a very popular coach for his success. He needs some bamboos for his students, so he asked his assistant Bi-Shoe to go to the market and buy them. Plenty of Bamboos of…

题意: 给你一个欧拉函数值 phi(n),问最小的n是多少. phi(n) <= 100000000 , n <= 200000000 解题思路: 对于欧拉函数值可以写成 这里的k有可能是等于0的,所以不能直接将phi(n)分解质因子.但是可以知道(Pr - 1)是一定存在的,那就直接枚举素数,满足phi(n) % (Pr-1)的都加进去,然后对这些素数进行爆搜...说到底还是暴力啊...想不到什么巧妙的办法了,最后需要注意的是,一遍枚举完各个素数后phi(n)除后还剩now,现在要判断(no…

找出N*N范围内可见格点的个数. 只考虑下半三角形区域,可以从可见格点的生成过程发现如下规律: 若横纵坐标c,r均从0开始标号,则 (c,r)为可见格点 <=>r与c互质 证明: 若r与c有公因子1<b<min(r,c),则(c/b, r/b)在线段(0, 0)(c, r)上,则(c, r)不是可见格点.(充分性) 若r与c互质,显然线段上不存在整点,则(c, r)不是可见格点.(必要性) φ(n)表示不超过n且与n互素的正整数的个数,称为n的欧拉函数值 也就是横坐标增1后纵坐标合…

给出一篇有关素数线性筛和区间筛的博客,有兴趣的读者可以自取. 本题大意: 给定两个四位的素数,没有前导零,每次变换其中的一位,最终使得两个素数相等,输出最小变换次数.要求变换过程中的数也都是素数. 本题思路: 求最小步数,用BFS,判断素数,用欧拉筛打表. 参考代码: #include <cstdio> #include <queue> #include <map> #include <cstring> using namespace std; ; + ;…

题目链接:http://poj.org/problem?id=2480 题目大意: 题解: 我一直很欣赏数学题完美的复杂度 #include<cstring> #include<algorithm> #include<cstdio> #include<iostream> #include<cmath> using namespace std; typedef long long ll; <<)+; ll n; int main() {…

链接:http://poj.org/problem?id=3090 题意:在坐标系中,从横纵坐标 0 ≤ x, y ≤ N中的点中选择点,而且这些点与(0,0)的连点不经过其它的点. 思路:显而易见,x与y仅仅有互质的情况下才会发生(0,0)与(x,y)交点不经过其它的点的情况,对于x,y等于N时,能够选择的点均为小于等于N而且与N互质的数,共Euler(N)个,而且不重叠.所以能够得到递推公式aa[i]=aa[i]+2*Euler(N). 代码: #include <iostream> #i…

题目链接:http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2705 题意: 求 sigma(gcd(i,n), 1<=i<=n<2^32) 只有一组数据,很好搞,答案就是sigma(phi(n/d)),直接搜就行了. //STATUS:C++_AC_8MS_11284KB #include <functional> #include <algorithm> #include <iostream> //#i…

题意: 给一个L,求长度最小的全8数满足该数是L的倍数. 分析: 转化为求方程a^x==1modm. 之后就是各种数学论证了. 代码: //poj 3696 //sep9 #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; typedef long long ll; ll L; ll factor[65536]; ll mul(ll x,ll y,ll p) { ll ret=0; while(y){ if(y…

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2705 撕逼题.不就是枚举gcd==d,求和phi[ n/d ]么. 然后预处理sqrt (n)的阶乘,RE得不行.发现用到了大于sqrt (n)的阶乘. 然后翻看TJ. 发现phi可以现求!就用那个式子.我竟然都忘了! 注意最后剩下的一个大于sqrt (i)的质因数. #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstrin…

Description Given n, a positive integer, how many positive integers less than n are relatively prime to n? Two integers a and b are relatively prime , y > , z > such that a = xy and b = xz. Input There are several test cases. For each test ,,,. A li…