题目链接 https://www.luogu.org/problemnew/show/P4777 分析 扩展\(CRT\)就是解决模数不互质的情况,说是扩展\(CRT\),其实都是扩欧... 先来考虑两个方程的情况:\(x \equiv a \mod b\)和\(x \equiv c \mod d\) 由方程1得\(x=tb+a\),代入方程2中得\(tb+a \equiv c \mod d\), 把它变得更像方程:\(t \times b+t' \times d = c-a\) 解得\(t'\…

一般来讲,crt(中国剩余定理)比较常见,而ex_crt(拓展中国剩余定理)不是很常用 但是noi 2018偏偏考了这么个诡异的东西... 所以这里写一个ex_crt模板 模型: 求一个x满足上述方程,其中a1,a2...an不一定互质 解法: 设存在一特解x0满足前k个方程组,且LCM(a1,a2...ak)=M 则前k个方程的通解x=x0+k·M(k∈Z) 这是很显然的,因为 (1<=i<=k) 那么第k+1个方程等价于:求使的t值 这显然可以使用ex_gcd求解(移项即可) 那么剩余部分…

清除一个误区 虽然中国剩余定理和拓展中国剩余定理只差两个字,但他俩的解法相差十万八千里,所以会不会CRT无所谓 用途 求类似$$\begin{cases}x \equiv b_{1}\pmod{a_{1}} \\x \equiv b_{2}\pmod{a_{2}} \\...\\x \equiv b_{n}\pmod{a_{n}} \\ \end{cases}$$的线性同余方程组的解 具体过程 假设现在我们只有两个同余方程$$x \equiv b_{1}\pmod{a_{1}}$$ $$x \e…

You are given two arithmetic progressions: a1k + b1 and a2l + b2. Find the number of integers x such that L ≤ x ≤ R and x = a1k' + b1 = a2l' + b2, for some integers k', l' ≥ 0. Input The only line contains six integers a1, b1, a2, b2, L, R (0 < a1, a…

拓展中国剩余定理 前言 记得半年前还写过关于拓展中国剩余定理的博客...不过那时对其理解还不是比较深刻,写的也比较乱. 于是趁学校复习之机,再来重温一下拓展中国剩余定理(以下简称ExCRT) 记得半年前还写过关于拓展中国剩余定理的博客...不过那时对其理解还不是比较深刻,写的也比较乱. 于是趁学校复习之机,再来重温一下拓展中国剩余定理(以下简称ExCRT) 一些理论准备 拓展欧几里得解不定方程 对于不定方程\(a*x+b*y=gcd(a,b)\),视a,b为常数,我们有一种通用的方法来求一组特解…

题意 裸题 思路 题中的模数之间并不互质,所以应该用拓展中国剩余定理. 但是交上去会炸,__int128过不了,所以用高精度的板子或者java大数都挺好过的. 这里推荐java大数,因为高精度板子用起来没用java的方便. #include <bits/stdc++.h> using namespace std; constexpr int base = 1000000000; constexpr int base_digits = 9; struct bigint { // value ==…

放一个写的不错的博客:https://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/8425731.html POJ好像不能用__int128. #include <iostream> #include <stdio.h> typedef long long ll; const int maxn=1e6+10; ll m[maxn],r[maxn]; void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y) { if (b==0) { x=1; y=…

中国剩余定理,又叫孙子定理. 作为一个梗广为流传.其实它的学名叫中国单身狗定理. 中国剩余定理 中国剩余定理是来干什么用的呢? 其实就是用来解同余方程组的.那么什么又是同余方程组呢. 顾名思义就是n个同余方程. 形如 如果只有一个方程的话那么是很容易用exgcd来解决. 但如果变成n个就需要用到CRT了. 下面我们言归正传. 首先我们要知道只有满足m1,m2,mn两两互质才能运用CRT. 首先,我们令M=Πni=1. 令Mi=M/mi,这样我们就可以满足Mi%mk=0(k!=i). 然后我们在构…

中国剩余定理 CRT 推导 给定\(n\)个同余方程 \[ \left\{ \begin{aligned} x &\equiv a_1 \pmod{m_1} \\ x &\equiv a_2 \pmod{m_2} \\ &... \\ x &\equiv a_n \pmod{m_n} \end{aligned} \right. \] \(m_1, m_2 , ... , m_n\)两两互质 令\(M = \prod_{i=1}^{n} m_i\),求\(x \mod M\)…

引入 常想起在空间里见过的一些智力题,这个题你见过吗: 一堆苹果,\(3\)个\(3\)个地取剩\(1\)个,\(5\)个\(5\)个地取剩\(1\)个,\(7\)个\(7\)个地取剩\(2\)个,苹果最少有几个? 够焦头烂额的(雾 大力算可知至少有16个. 我们把它抽象成数学问题: 求满足 \[\begin{cases}x\equiv1\pmod{3}\\x\equiv1\pmod{5}\\x\equiv2\pmod{7}\end{cases}\] 的最小正整数\(x\). 感性地猜到有一个长…