原文链接https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/51Nod1222.html 题意 给定 $a,b$, 求 $$\sum_{n=a}^b \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^i [{\rm lcm } (i,j) = n]$$ $$a,b\leq 10^{11}$$ $${\rm Time \ Limit } = 6s$$ 题解 本题做法很多. Min_25 筛 先差分一下,转化成求前缀和. 先把原题的统计无序数对转化成统计有序数对,最终 $an…

题目链接 https://loj.ac/problem/3069 题解 复数真神奇. 一句话题意:令 \(f(x)\) 表示以原点 \((0, 0)\) 为圆心,半径为 \(x\) 的圆上的整点数量,求 \(\sum_\limits{i = 1}^N f(i)^k \bmod P\) 的值. 令 \(g(x) = \frac{f(x)}{4}\),那么我们需要求 \(\left(4^k\sum_\limits{i = 1}^Ng(i)^k\right) \bmod P\).打表可得 \(g(x)…

终于知道发明者的正确的名字了,是Min_25,这个筛法速度为亚线性的\(O(\frac{n^{\frac{3}{4}}}{\log x})\),用于求解具有下面性质的积性函数的前缀和: 在 \(p\) 处是简单的低次多项式 在 \(p^c\) 处可以快速求值 貌似积性函数是指取一个积性函数 \(f(x)\) ,其在质数的位置上取值与所求函数相同.所以可以用来求n以内的质数的个数(取常函数 \(f(x)=1\) )以及质数的和(取恒等函数 \(f(x)=x\) ). 参考资料: loj#6235.…

题目来源: Project Euler 基准时间限制:6 秒 空间限制:131072 KB 分值: 640  定义F(n)表示最小公倍数为n的二元组的数量. 即:如果存在两个数(二元组)X,Y(X <= Y),它们的最小公倍数为N,则F(n)的计数加1. 例如:F(6) = 5,因为[2,3] [1,6] [2,6] [3,6] [6,6]的最小公倍数等于6.   给出一个区间[a,b],求最小公倍数在这个区间的不同二元组的数量. 例如:a = 4,b = 6.符合条件的二元组包括: [1,4]…

51nod1222 http://210.33.19.103/contest/1113/problem/2 同学的神仙做法: 首先考虑先去掉X<=Y的限制,也就是先计算满足要求的任意有序pair(X,Y)的数量,再用一些简单操作(略去)得到目标答案 化简式子可以得到$\sum_{d}\mu(d)\sum_a\sum_b\sum_c[abc<={\lfloor}\frac{n}{d^2}{\rfloor}]$ 可以强行给a,b,c规定一个顺序.设a是最小的,则a只需要枚举到$(\frac{n}{…

求$\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{i} [lcm(i, j) \le n]$因为这样不好求,我们改成求$\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} [lcm(i, j) \le n]$.这样求出来的值把除了(i, i)这样的点对以外所有点对都重复统计了一次.因此$ans = \frac{rnt + n}{2}$(先加上没有重复统计的点对个数,使得所有点对都重复统计了一次,然后再除2就是不重复统计的点对个数)接下来就是化式子了...$$\su…

题面 传送门 题解 我此生可能注定要和反演过不去了--死都看不出来为啥它会突然繁衍反演起来啊-- 设\(f(n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n[{ij\over\gcd(i,j)}\leq n]\),这是一个类似前缀的东西,除了\([i,i]\)型的之外每一个二元组都被算了\(2\)次,所以\({f(n)+n\over 2}\)就是\(lcm\)小于等于\(n\)的二元组个数,答案就是两个前缀和相减的形式 所以现在问题来了,该怎么计算\(f(n)\)呢-- 二话不说先推倒吧-…

原文链接https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/Min-25.html 前置技能 埃氏筛法 整除分块(这里有提到) 本文概要 1. 问题模型 2. Min_25 筛 3. 模板题以及模板代码 问题模型 有一个积性函数 $f$ ,对于所有质数 $p$,$f(p)$ 是关于 $p$ 的多项式,$f(p^k)$ 非常容易计算(不一定是关于 p 的多项式). 求 $$\sum_{i=1}^{n} f(i)$$ $n\leq 10^{10}$ ${\rm Time\…

[题意]给定a和b,求满足a<=lcm(x,y)<=b && x<y的数对(x,y)个数.a,b<=10^11. [算法]莫比乌斯反演+组合计数 [题解]★具体推导过程参考:51nod1222 最小公倍数计数 过程运用到的技巧: 1.将所有i和j的已知因子提取出来压缩上届. 2.将带有μ(k)的k提到最前面,从而后面变成单纯的三元组形式. 最终形式: $$ans=\sum_{k=1}^{\sqrt n} \mu(k)  \sum_{d}    \sum_{i} \s…

1222 最小公倍数计数 题意:求有多少数对\((a,b):a<b\)满足\(lcm(a,b) \in [1, n]\) \(n \le 10^{11}\) 卡内存! 枚举\(gcd, \frac{a}{gcd}, \frac{b}{gcd}\),然后\(\mu\)代入,就是 \[ \sum_{d=1}^{\sqrt{n}}\mu(d) \sum_i \sum_j \sum_k [ijk \le \frac{n}{d^2}] \] 问题就是怎么求后面的式子了 一开始我是 \[ f(n) = \s…