欧几里得算法求最大公约数（gcd）

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浅谈欧几里得算法求最大公约数(GCD)的原理及简单应用

一.欧几里得算法及其证明 1.定义: 欧几里得算法又称辗转相除法,用于求两数的最大公约数,计算公式为GCD(a,b)=GCD(b,a%b): 2.证明: 设x为两整数a,b(a>=b)的最大公约数,那么x|a,x|b; ①由整数除法具有传递性(若x能整除a,x能整除b,那么x可整除a,b的任意线性组合)知x|a-b; ②设x不是b的因子,则x不是b和a-b的公因子:设x不是a的因子,则x不是b和a-b的公因子:所以可以得出GCD(a,b)=GCD(b,a-b); ③由a>=b知,a可表示为a=…

欧几里得算法求最大公约数（gcd）

关于欧几里得算法求最大公约数算法, 代码如下: int gcd( int a , int b ) { if( b == 0 ) return a ; else gcd( b , a % b ) ; } 证明: 对于a,b,有a = kb + r (a , k , b , r 均为整数),其中r = a mod b . 令d为a和b的一个公约数,则d|a,d|b(即a.b都被d整除), 那么 r =a - kb ,两边同时除以d 得 r/d = a/d - kb/d = m (m为整数,因为r也…

欧几里得算法求最大公约数-《Algorithms Fourth Edition》第1章

最大公约数(Greatest Common Divisor, GCD),是指2个或N个整数共有约数中最大的一个.a,b的最大公约数记为(a, b).相对应的是最小公倍数,记为[a, b]. 在求最大公约数的几种方法中,欧几里得算法(辗转相除法)最为出名: 计算(a, b), 若b是0,则最大公约数为a:否则.将a除以b得到余数r,a和b的最大公约数就是b和r的最大公约数,即:(a, b) = (b, r) public static int gcd(int a ,int b){ if(b ==…

关于欧几里得算法求最大公约数，即OJ1029的参考解法

#include <stdio.h> int main(int argc, char *argv[]) { int a,b,c; scanf("%d %d",&a,&b); ) { c=a%b; a=b; b=c; } printf("%d\n",a); ; }…

[算法]求满足要求的进制(辗转相除（欧几里得算法），求最大公约数gcd)

题目 3在十进制下满足若各位和能被3整除,则该数能被3整除. 5在十六进制下也满足此规律. 给定数字k,求多少进制(1e18进制范围内)下能满足此规律,找出一个即可,无则输出-1. 题解写写画画能找到规律,即是求与k互质的数x,x进制下即能满足上述规律. 相关求最大公约数:辗转相除法(又叫欧几里得算法) 欧几里德定理: gcd(a, b) = gcd(b , a mod b) ,对于正整数a.b. 其中a.b大小无所谓.当a值小于b值时,算法的下一次递归调用就能够将a和b的值交换过来. 代码…

浅谈Stein算法求最大公约数(GCD)的原理及简单应用

一.Stein算法过程及其简单证明 1.一般步骤: s1:当两数均为偶数时将其同时除以2至至少一数为奇数为止,记录除掉的所有公因数2的乘积k: s2:如果仍有一数为偶数,连续除以2直至该数为奇数为止: s3:用更相减损法(辗转相减法),即GCD(a,b)=GCD(a-b,b),或辗转相除法求出两奇数的最大公约数d: s4:原来两数的最大公约数即为d*k: 2.简单证明: s1:即为求出两数为2的幂次方的最大公因数k: s2:当化简后两数一奇一偶时,显然奇数是不含偶数因子的,那么另一化简后偶数的所…

欧几里得算法:从证明等式gcd(m, n) = gcd(n, m mod n)对每一对正整数m, n都成立说开去

写诗或者写程序的时候,我们经常要跟欧几里得算法打交道.然而有没要考虑到为什么欧几里得算法是有效且高效的,一些偏激(好吧,请允许我用这个带有浓重个人情感色彩的词汇)的计算机科学家认为,除非程序的正确性在数学上得到了完全严格的证实,否则我们不能认为程序是正确的.既然存在即合理,因此下面我就详细得解说一下欧几里得算法,它为什么是正确的算法(算法过程就不给出了,有了思想,无论是迭代还是循环实现应该都不成问题),为什么有那么好的时间复杂性. 首先还是证明上述命题:注意到证明了该命题就证明了欧几里得算法的正…