Codeforces 题面传送门 & 洛谷题面传送门 NaCly_Fish:<简单>的生成函数题 然鹅我连第一步都没 observe 出来 首先注意到如果我们按题意模拟那肯定是不方便计算贡献的,因此考虑对题目的问法进行一些转化.<显然>,对于一种操作序列而言,其操作完之后答案的值,就是原来 \(a_i\) 的乘积减去操作后所有 \(a_i\) 的乘积,因为每次操作前后答案与所有 \(a_i\) 的乘积之和是个定值.因此问题可以转化为,求操作之后所有 \(a_i\) 的乘积的…

[CF891E]Lust 题意:给你一个长度为n的序列$a_i$,对这个序列进行k次操作,每次随机选择一个1到n的数x,令$res+=\prod\limits_{i!=x}a_i$(一开始res=0),然后$a_i$--.问最终res的期望值.答案在模意义下对$10^9+7$取模. $n\le 5000,k\le 10^9$ 题解:首先需要发现,假如第i个数被减的次数为$b_i$,则$res=\prod\limits_i a_i-\prod\limits_i (a_i-b_i)$.这个用归纳法容…

传送门 设在某一次操作之后的\(a\)数组变为了\(a'\)数组,那么\(\prod\limits_{i \neq x} a_i = \prod a_i - \prod a_i'\).那么就不难发现我们需要求的是进行这\(k\)次操作之后的\(a\)数组所有数的乘积的期望值. 注意到当第\(i\)个数被减去\(p_i\)次,那么方案数就是\(\frac{k!}{\prod p_i!}\),那么考虑指数型生成函数求解.那么第\(i\)个数的生成函数就是\(\sum\limits_{j \geq 0…

洛谷 Codeforces 思路 看到计数和\(998244353\),可以感觉到这是一个DP+生成函数+NTT的题. 设\(s_i\)表示\(i\)是否在集合中,\(A\)为\(s\)的生成函数,即\(A(x)=\sum_n s_nx^n\). 设\(f_n\)为有\(n\)分时二叉树的个数. 考虑枚举左子树大小和根节点权值,得到 \[ f_n=[n=0]+\sum_{i=1}^{mx} s_i \sum_{j=0}^{n-i} f_jf_{n-i-j} \] 然后记\(F(x)\)为\(f\…

题目传送门 传送点I 传送点II 传送点III 题目大意 每个点的权值$c\in {c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{n}}$,问对于每个$1\leqslant s\leqslant m$有多少种不同的这样的有根二叉树满足所有点的点权和等于$s$. 先考虑一下怎么用dp来做. 设$f_{n}$表示点权和为$n$的满足条件的二叉树的个数,那么有: $f_{n} = \sum_{c \in C}\sum_{i = 0}^{n - c}f_{i}f_{n - c - i}$ 初值满足$…

3625: [Codeforces Round #250]小朋友和二叉树 Time Limit: 40 Sec  Memory Limit: 256 MBSubmit: 650  Solved: 283[Submit][Status][Discuss] Description 我们的小朋友很喜欢计算机科学,而且尤其喜欢二叉树.考虑一个含有n个互异正整数的序列c[1],c[2],...,c[n].如果一棵带点权的有根二叉树满足其所有顶点的权值都在集合{c[1],c[2],...,c[n]}中,我们…

[BZOJ 3625] [Codeforces 438E] 小朋友的二叉树 (DP+生成函数+多项式开根+多项式求逆) 题面 一棵二叉树的所有点的点权都是给定的集合中的一个数. 让你求出1到m中所有权值为i的二叉树的个数. 两棵树不同当且仅当树的形态不一样或者是树的某个点的点权不一样 分析 设\(c(i)\)表示数值i是否在集合中.\(f(i)\)表示权值为i的二叉树的个数.那么 \[f(n)=\sum_{i=1}^n c(i) \sum_{j=0}^{n-i} f(j)f(n-i-j)\] 其…

Codeforces 题面传送门 & 洛谷题面传送门 一道肥肠套路的题目. 首先这题涉及博弈论.注意到这里每一个棋子的移动方式都是独立的,因此可以考虑 SG 定理.具体来说,我们先求出每个棋子放在每个位置的 SG 函数--这个是非常好求的,具体方法就是建反图拓扑排序,求集合的 MEX 时可以 map 存,也可以直接枚举,复杂度 \(m\sqrt{m}\) 或 \(m\sqrt{m}\log m\)(反正我使用的 map 没有 TLE 就是了) 于是问题转化为,有多大概率满足开始游戏时,所有棋子放…

题目大意: 两个人玩取数游戏,第一个人分数一开始是a,第二个分数一开始是b,接下来t轮,每轮两人都选择一个[-k,k]范围内的整数,加到自己的分数里,求有多少种情况使得t轮结束后a的分数比b高.  (1 ≤ a, b ≤ 100, 1 ≤ k ≤ 1000, 1 ≤ t ≤ 100) 1.我一开始的想法是DP出玩i轮得分是j的方案数.然后状态数最多有t*(2*k*t)那么多,最坏情况下会有2e7那么多的状态,转移必须是O(1)的. dp[i][j]=sum(dp[i-1][j-k....j+k]…

CF Round250 E. The Child and Binary Tree 题意:n种权值集合C, 求点权值和为1...m的二叉树的个数, 形态不同的二叉树不同. 也就是说:不带标号,孩子有序 \(n,m \le 10^5\) sro vfk picks orz 和卡特兰数很像啊,\(f_i\)权值为i的方案数,递推式 \[ f[i] = \sum_{i\in C} \sum_{j=0}^{m-i}f[j]f[n-i-j] \] 用OGF表示他 \[ C(x)=\sum_{i\in C}x…