[LGP2791] 幼儿园篮球题

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[LGP2791] 幼儿园篮球题

你猜猜题怎么出出来的? 显然第$i$场的答案为 \[ \frac{1}{\binom{n_i}{m_i}\binom{n_i}{k_i}}\sum_{x=0}^{k_i}\binom{n_i}{m_i}\binom{m_i}{x}\binom{n_i-m_i}{k_i-x}x^L =\frac{1}{\binom{n_i}{k_i}}\sum_{x=0}^{k_i}\binom{m_i}{x}\binom{n_i-m_i}{k_i-x}x^L\\ \] 利用斯特林数进行变换 \[ \sum_…

【洛谷2791】幼儿园篮球题（第二类斯特林数，NTT）

[洛谷2791]幼儿园篮球题(第二类斯特林数,NTT) 题面洛谷题解对于每一组询问,要求的东西本质上就是: \[\sum_{i=0}^{k}{m\choose i}{n-m\choose k-i}i^L\] 如果没有后面那个部分,就是一个范德蒙恒等式,所以就要把这个$i^L$直接拆掉. 然后直接拿第二类斯特林数来拆: \[i^L=\sum_{j=0}^L\begin{Bmatrix}L\\j\end{Bmatrix}{i\choose j}j!\] 于是就把答案拆成了: \[\begi…

洛谷 P2791 幼儿园篮球题

洛谷 P2791 幼儿园篮球题 https://www.luogu.org/problemnew/show/P2791 我喜欢唱♂跳♂rap♂篮球要求的是:$\sum_{i=0}^kC_m^iC_{n-m}^{k-i}i^L$ 这个$i^L$很烦,就把第二类斯特林数的式子套进去 $\sum_{i=0}^kC_m^iC_{n-m}^{k-i}i^L$ \(\sum_{i=0}^kC_m^iC_{n-m}^{k-i}\sum_{j=0}^iC_{i}^j\begin{Bmatrix}L…

【题解】幼儿园篮球题(范德蒙德卷积+斯特林+NTT)

[题解]幼儿园篮球题(NTT+范德蒙德卷积+斯特林数) 题目就是要我们求一个式子(听说叫做超几何分布?好牛逼的名字啊) \[ \sum_{i=1}^{S}\dfrac 1 {N \choose n_i}\sum_{j=0}^{k_i}{m_i \choose j}{n_i-m_i\choose k_i- j}j^L \] 实际上$S $很小,所以本质上就是求 \[ \sum_{j=0}^{k_i}{m_i \choose j}{n_i-m_i\choose k_i- j}j^L \] 为了方便我…

luogu P2791 幼儿园篮球题

传送门先看我们要求的是什么,要求的期望就是总权值/总方案,总权值可以枚举进球的个数$i$,然后就应该是$\sum_{i=0}^{k} \binom{m}{i}\binom{n-m}{k-i}i^l$,总方案是$\binom{n}{k}$ 直接做显然不行,然后式子里有个$i^l$,把它拆开,也就是$\sum_{j=0}^{l} \binom{i}{j}S_{l,j}j!$,代入原式\[\sum_{i=0}^{k}\binom{m}{i}\binom{n-m}{k-i}\sum…

洛谷 P2791 - 幼儿园篮球题（第二类斯特林数）

题面传送门首先写出式子: \[ans=\sum\limits_{i=0}^m\dbinom{m}{i}\dbinom{n-m}{k-i}·i^L \] 看到后面有个幂,我们看它不爽,因此考虑将其拆开,具体来说,根据普通幂转下降幂的式子: \[i^L=\sum\limits_{j=1}^L\begin{Bmatrix}L\\j\end{Bmatrix}\dbinom{i}{j}·j! \] 我们可以得到 \[ans=\sum\limits_{i=0}^m\dbinom{m}{i}\dbinom{…

【洛谷2791】幼儿园篮球题第二类斯特林数+NTT

求 $\sum_{i=0}^{k}\binom{m}{i}\binom{n-m}{k-i}i^L$ $(1\leqslant n,m\leqslant 2\times 10^7,1\leqslant L\leqslant 2\times 10^5)$ 这个式子比较简洁,然后也没啥可推的,所以我们将 $i^L$ 展开. 那么原式为 \(\sum_{i=0}^{k}\binom{m}{i}\binom{n-m}{k-i}\sum_{j=0}^{i}\binom{i}{j}S(L,j)\t…