P4717 [模板]快速沃尔什变换 #include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define int long long #define sc(x) scanf("%lld",&(x)); #define si signed <<+; int A[maxn]; int B[maxn]; int C[maxn]; #define mod 998244353 #define inv2 ((mod+1)/2) i…

也许更好的阅读体验 本文主要内容是对武汉市第二中学吕凯风同学的论文<集合幂级数的性质与应用及其快速算法>的理解 定义 集合幂级数 为了更方便的研究集合的卷积,引入集合幂级数的概念 集合幂级数也是形式幂级数的一种,只是集合的一种表现形式,无需考虑收敛或发散的含义 定义一个集合 \(S\) 的集合幂级数为 \(f\) ,那么我们就可以把集合 \(S\) 表示为如下形式 \(\begin{aligned}f=\sum _{T\subseteq S}f_{T}\cdot x^{T}\end{align…

后面的图片将会告诉: 如何推出FWT的公式tf 如何推出FWT的逆公式utf 用的是设系数,求系数的方法! ========================================================= 以一种高度思考 http://picks.logdown.com/posts/179290-fast-walsh-hadamard-transform 加和乘的定义 大小为1时的公式 https://blog.csdn.net/zhshrs/article/details/5…

知识点简单总结--FWT(快速沃尔什变换),FST(快速子集变换) 闲话 博客园的markdown也太傻逼了吧. 快速沃尔什变换 位运算卷积 形如 $ f[ i ] = \sum\limits_{ j \oplus k = i} g[ j ] * h[ k ] $ 的形式的式子. 正常计算是 $ n^{ 2 } $ . 与运算卷积 众所周知有 $ ( i \& j ) == k \longleftrightarrow ( i \& k == k ) \& \& ( j \&…

实在是 美丽的数学啊 关于傅里叶变换的博客 讲的很细致 图片非常易于理解http://blog.jobbole.com/70549/ 大概能明白傅里叶变换是干吗的了 但是还是不能明白为什么用傅里叶变换来算多项式求和 在多项式中,DFT就是系数表式转换成点值表示的过程. 我们熟知的是多项式的系数表示法,通过给定一组  来确定一个唯一的多项式: 而多项式还可以有另一种表示法,称为点值表示法: 其中 可以证明,对一组互不相同的该方法也可以唯一地表示一个多项式. 为什么要引入点值表示法这个并不"直观&q…

u1s1 距离省选只剩 5 days 了,现在学新算法真的合适吗(( 位运算卷积 众所周知,对于最普通的卷积 \(c_i=\sum\limits_{j+k=i}a_jb_k\),\(a_jb_k\) 的贡献累加到 \(c_{j+k}\) 上,因此这种卷积又被称为加法卷积. 但是对于某些卷积,\(a_jb_k\) 的贡献就不是累加到 \(j+k\) 上了,有一类卷积,\(a_jb_k\) 的贡献会累加到 \(j\otimes k\) 上,其中 \(\otimes\) 是某种位运算,即 \(\&,|…

写在最前面:本文是我阅读了多篇相关文章后对它们进行分析重组整合而得,绝大部分内容非我所原创.在此向多位原创作者致敬!!!一.傅立叶变换的由来关于傅立叶变换,无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述,但是大都是些故弄玄虚的文章,太过抽象,尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列,让人很难能够从感性上得到理解,最近,我偶尔从网上看到一个关于数字信号处理的电子书籍,是一个叫Steven W. Smith, Ph.D.外国人写的,写得非常浅显,里面有七章由浅入深地专门讲述关于离散信号的傅立叶…

自从去年下半年接触三维重构以来,听得最多的词就是傅立叶变换,后来了解到这个变换在图像处理里面也是重点中的重点. 本身自己基于高数知识的理解是傅立叶变换是将一个函数变为一堆正余弦函数的和的变换.而图像处理里则强调它是将图像信息从空间域往频率域转化的重要手段.最近从头学起数字图像处理,看完傅立叶变换之后,对于其中的计算方法快速傅立叶变换产生了好奇.于是搜索了下FFT,发现杭电上有几个这样的题目,其中点击率最高的是hdu1402*大数乘法. 大数乘法本来是一个n方的算法,经过FFT之后可以变为nlog…

快速傅里叶变换 & 快速数论变换 [update 3.29.2017] 前言 2月10日初学,记得那时好像是正月十五放假那一天 当时写了手写版的笔记 过去近50天差不多忘光了,于是复习一下,具体请看手写版笔记 参考文献:picks miskcoo menci 阮一峰 Fast Fourier Transform 单位复数根 虚数 复数 \(i\),表示逆时针旋转90度 \(a+bi\),对应复平面上的向量 复数加法 同向量 复数乘法 "模长相乘,幅角相加",\((a+bi)*(…

已知多项式f(x)=a0+a1x+a2x2+...+am-1xm-1, g(x)=b0+b1x+b2x2+...+bn-1xn-1.利用卷积的蛮力算法,得到h(x)=f(x)g(x),这一过程的时间复杂度为O(n2).但是,利用分治策略和插值法来求解h(x),可以将时间复杂度降低至O(nlogn),从而大幅提升算法的效率.此求值算法将被应用于FFT算法中. 一.多项式求值 首先,由lagrange插值法可以知道,对于一个n-1次多项式,只要给定n个不同的点(xi, yi),我们就可以计算出多项式…

\(2019.2.18upd:\) \(LINK\) 之前写的比较适合未接触FFT的人阅读--但是有几个地方出了错,大家可以找一下233 啊-本来觉得这是个比较良心的算法没想到这么抽搐这个算法真是将一个人的自学能力锻炼到了极致\(qwq\) 好的,那我们就开始我们的飞飞兔\(FFT\)算法吧! 偷偷说一句,\(FFT\)的代码十分的短哦~并且如果你不喜欢看算法,你可以翻到最下面看心得哟! 写在前面 ·好多你不理解的地方在代码里就只有半行. ·三个引理中,只有消去引理跟算法的实现没有关系--消去引…

BZOJ 2194 快速傅立叶变换之二 题意 给出两个长为\(n\)的数组\(a\)和\(b\),\(c_k = \sum_{i = k}^{n - 1} a[i] * b[i - k]\). 题解 我们要把这个式子转换成多项式乘法的形式. 一个标准的多项式乘法是这样的: \[c_k = \sum_{i = 0}^{k} a[i] * b[k - i]\] 来看看原式: \[c_k = \sum_{i = k}^{n - 1} a[i] * b[i - k]\] 将a翻转得到a': \[c_k…

快速莫比乌斯变换(FMT) 原文出处:虞大的博客.此仅作蒟蒻本人复习用~ 给定两个长度为n的序列 \(a_0, a_1, \cdots, a_{n-1}\)和\(b_0, b_1, \cdots, b_{n-1}\),你需要求出一个序列\(c_0, c_1, \cdots, c_{n-1}\),其中\(c_k\)满足:\(c_k = \sum\limits_{i \mid j = k} a_i b_j\).其中|表示按位或.\(n \leq 10^6\)表示序列长度. 显然发现\(i∣j=k\)…

多项式 系数表示法 设\(f(x)\)为一个\(n-1\)次多项式,则 \(f(x)=\sum\limits_{i=0}^{n-1}a_i*x_i\) 其中\(a_i\)为\(f(x)\)的系数,用这种方法计算两个多项式相乘(逐位相乘)复杂度为\(O(n^2)\) 点值表示法 根据小学知识,一个\(n-1\)次多项式可以唯一地被\(n\)个点确定 即,如果我们知道了对于一个多项式的\(n\)个点\((x_1,y_1),(x_2,y_2)--(x_n,y_n)\) 那么这个多项式唯一满足,对任意\…

[简介] 快速傅里叶变换(FFT)运用了单位复根的性质减少了运算,但是每个复数系数的实部和虚部是一个余弦和正弦函数,因此系数都是浮点数,而浮点数的运算速度较慢且可能产生误差等精度问题,因此提出了以数论为基础的具有循环卷积性质的快速数论变换(NTT). 在FFT中,通过$n$次单位复根即$\omega^n=1$的$\omega$来运算,而对于NTT来说,则是运用了素数的原根来运算. [原根] [定义] 对于两个正整数$a,m$满足$gcd(a, m)=1$,由欧拉定理可知,存在正整数$d\leq…

Intro: 本篇博客将会从朴素乘法讲起,经过分治乘法,到达FFT和NTT 旨在能够让读者(也让自己)充分理解其思想 模板题入口:洛谷 P3803 [模板]多项式乘法(FFT) 朴素乘法 约定:两个多项式为\(A(x)=\sum_{i=0}^{n}a_ix^i,B(x)=\sum_{i=0}^{m}b_ix^i\) Prerequisite knowledge: 初中数学知识(手动滑稽) 最简单的多项式方法就是逐项相乘再合并同类项,写成公式: 若\(C(x)=A(x)B(x)\),那么\(C(x…

NVIDIA GPU的快速傅立叶变换 cuFFT库提供GPU加速的FFT实现,其执行速度比仅CPU的替代方案快10倍.cuFFT用于构建跨学科的商业和研究应用程序,例如深度学习,计算机视觉,计算物理,分子动力学,量子化学以及地震和医学成像.使用cuFFT,应用程序会自动受益于常规性能的改进和新的GPU架构.cuFFT库包含在NVIDIA HPC SDK和CUDA Toolkit中. cuFFT设备扩展 cuFFT设备扩展(cuFFTDx)允许应用程序将FFT内联到用户内核中.与cuFFT主机AP…

一.简介 前置知识:多项式乘法与 FFT. FFT 涉及大量 double 类型数据操作和 \(\sin,\cos\) 运算,会产生误差.快速数论变换(Number Theoretic Transform,简称 NTT)在 FFT 的基础上,优化了常数及误差. NTT 其实就是把 FFT 中的单位根换成了原根. NTT 解决的是多项式乘法带模数的情况,可以说有些受模数的限制,多项式系数应为整数. 二.原根 与 NTT 「算法笔记」基础数论 2 中提及了原根的部分内容. 对于质数 \(p\),若…

NTT 先学习FFT 由于FFT是使用复数运算,精度并不好,而且也无法取模,所以有了NTT(快速数论变换). 建议先完全理解FFT后再学习NTT. 原根 NTT使用与单位根性质相似的原根来代替单位根. 定义:设\(m\)是正整数,\(a\)是整数,若\(a\)模\(m\)的阶等于\(φ(m)\),则称\(a\)为模\(m\)的一个原根. 如果你不知道阶 定义:对于\(an≡1(modp)an≡1(modp)\)最小的\(n\),我们称之为\(a\)模\(p\)的阶,记做\(δp(a)\) 如果你…

前言: $FWT$是用来处理位运算(异或.与.或)卷积的一种变换.位运算卷积是什么?形如$f[i]=\sum\limits_{j\oplus k==i}^{ }g[j]*h[k]$的卷积形式(其中$\oplus$为位运算)就是位运算卷积.如果暴力枚举的话,时间复杂度是$O(n^2)$,但运用$FWT$来解决就可达到$O(nlog_{n})$的时间复杂度.$FST$则是借助$FWT$来进行的对子集卷积的优化,相当于$FWT$的一个应用. FWT 与卷积 对于与运算,有一个结论:$(i\&j)\&am…

题面:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4589 题意 求选恰好n个数,满足每个数都是不大于m的质数,且它们的异或和为0的方案数. 解法 设f(i,j)为选了i个数,异或和为j的方案数,转移如下: \[ f(i,j)=\sum_{k\bigoplus{p}=j}{f(i-1,k)*[p\quad is\quad prime]} \] 我们发现这是一个异或卷积的形式,状态向量一开始只有0的地方是1,它与一个只有质数下标处值为1的向量卷…

题目描述 给出一个长度为 $n$ 的序列 $\{s\}$ ,对于所有满足以下条件的五元组 $(a,b,c,d,e)$ : $1\le a,b,c,d,e\le n$ : $(s_a|s_b)\&s_c\&(s_d\text{^}s_e)=2^i$ ,其中 $i$ 为非负整数 : $s_a\&s_b=0$ . 求 $f(s_a|s_b)\times f(s_c)\times f(s_d\text{^}s_e)$ 的和模 $10^9+7$,其中 $f(i)$ 表示斐波那契数列的第 $i…

定义 FWT是一种快速完成集合卷积运算的算法. 它可以用于求解类似 $C[i]=\sum\limits_{j⊗k=i}A[j]*B[k]$ 的问题. 其中⊗代表位运算中的|,&,^的其中一种. 求解(正变换) 设F(A)是对于A的一种变换. 并且F(A)要求满足:  $F(A)*F(B)=F(A⊗B)$ ①  $k*F(A)=F(k*A)$   ②   $F(A+B)=F(A)+F(B)$  ③ (A,B长度相同) 鉴于FWT和FFT长得特别像(而且求解的问题也比较类似),我们可以借鉴一下FFT…

概述 FWT的大体思路就是把要求的 C(x)=A(x)×B(x)  即 \( c[i]=\sum\limits_{j?k=i} (a[j]*b[k]) \) 变换成这样的:\( c^{'}[i]=a^{'}[i]*b^{'}[i] \). 只要知道 c'[ i ] 和 c[ i ] 的关系,就能把 A(x).B(x) 变成 A'(x).B'(x) ,从而算出 C'(x) ,再把 C'(x) 变成 C(x). 或卷积 定义\( c^{'}[i]=\sum\limits_{j | i=i} c[j]…

开头Orz hy,Orz yrx 部分转载自hy的博客 快速沃尔什变换,可以快速计算两个多项式的位运算卷积(即and,or和xor) 问题模型如下: 给出两个多项式$A(x)$,$B(x)$,求$C(x)$满足$C[i]=\sum\limits_{j⊗k=i}A[j]*B[k]$. 约定记号 $⊗$表示某种位运算(and,or和xor中的一种),若$a$,$b$是两个整数,则$a⊗b$表示对这两个数按位进行位运算:若$A$,$B$是两个多项式,则$A⊗B$表示对这两个多项式做如上卷积:两个多项式…

说明: 傅里叶级数.傅里叶变换.离散傅里叶变换.短时傅里叶变换...这些理解和应用都非常难,网上的文章有两个极端:“Esay”  Or  “Boring”!如果单独看一两篇文章就弄懂傅里叶,那说明你真的是大神了. 本博文是经过查阅网上几十篇大神的博客.文章.书籍等进行的一个汇总,希望对初学者和我自己一个入门和总结,所以本博文并非原创,抄袭+汇总+修改+总结! 主要参考: 1.傅里叶变换到小波变换的风趣讲解:https://zhuanlan.zhihu.com/p/22450818 2.一篇外文的…

NTT&FFT 预先知识:无 我觉得我们可以从NTT/FFT讲起? 两个其实本质相同,都是求 多项式乘积 的算法 FFT \((x,y)\)指复数,我们可以不用管它 首先我们构造单位根\(\omega_n\)=\((cos(2\pi/n),sin(2\pi/n))\) 而\((\omega _n)^i=(cos(2\pi/n\cdot i),sin(2\pi/n\cdot i))\) 伟大的数学家们告诉我们\((\omega_n)^n=1\) 也就是说\(\omega_n\)实际上是一个\(n\…

实数DFT,复数DFT,FFTFFT是计算DFT的快速算法,但是它是基于复数的,所以计算实数DFT的时候需要将其转换为复数的格式,下图展示了实数DFT和虚数DFT的情况,实数DFT将时域中N点信号转换成2个(N/2+1)点的频域信号,其中1个(N/2+1)点的信号称之为实部,另一个(N/2+1)点的信号称之为虚部,实部和虚部分别是正弦和余弦信号的幅度. 相比较而言,复数DFT将2个N点的时域信号转换为2个N点的频域信号.时域和频域中,1个N点信号是实部,另1个N点信号是虚部.如果要计算N点实数D…

$FFT$好美啊 参考资料: 1.算法导论 2.Miskcoo 3.Menci 4.虚数的意义-阮一峰 简单说一下,具体在下面的图片 实现: 可以用$complex$也可以手写 和计算几何差不多 注意$complex*complex$ $omega[k]=w(n,k)$  $omegaInv[k]=w(n,-k)$是共轭复数 先预处理 递推可能有精度问题 $transform$ 先把位置弄好了,方法是直接求二进制逆序,单向交换 然后枚举$l$为当前合并后的长度,$m=l>>1$就是当前要合并的…

3992: [SDOI2015]序列统计 Time Limit: 30 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 1017  Solved: 466[Submit][Status][Discuss] Description 小C有一个集合S,里面的元素都是小于M的非负整数.他用程序编写了一个数列生成器,可以生成一个长度为N的数列,数列中的每个数都属于集合S. 小C用这个生成器生成了许多这样的数列.但是小C有一个问题需要你的帮助:给定整数x,求所有可以生成出的,且满足数列中…